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14.计算:$15^{2}=$
$35^{2}=$
$55^{2}=$
(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^{2},95^{2}$的结果。
225
;$25^{2}=$625
;$35^{2}=$
1225
;$45^{2}=$2025
;$55^{2}=$
3025
。(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^{2},95^{2}$的结果。
答案
225 625 1 225 2 025 3 025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225$,$95^2=9\ 025$。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225$,$95^2=9\ 025$。
解析
【分析】
首先根据乘方的定义，先分别计算出$15^2$到$55^2$的结果，再观察底数的共同特征（个位都是5）以及计算结果与底数的对应关系：先看结果的末两位数字的共性，再看结果中除末两位外的数字和底数去掉个位5后的数字的数量关系，总结出通用规律后，直接套用规律即可快速算出$85^2$和$95^2$的结果。
【解析】
先计算各乘方的结果：
$15^2=15×15=225$
$25^2=25×25=625$
$35^2=35×35=1225$
$45^2=45×45=2025$
$55^2=55×55=3025$
(1) 观察上述结果和对应底数：
所有结果的后两位均为25；再看结果除后两位外的部分：
15去掉个位5后是1，$1×(1+1)=2$，对应225中25前面的2；
25去掉个位5后是2，$2×(2+1)=6$，对应625中25前面的6；
35去掉个位5后是3，$3×(3+1)=12$，对应1225中25前面的12；
以此类推，可得规律：个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2) 根据规律计算：
计算$85^2$：底数除个位外是8，$8×(8+1)=72$，后面拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$：底数除个位外是9，$9×(9+1)=90$，后面拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$，$95^2=9025$
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.数字规律探究
【点评】
本题既考查了有理数乘方的基础计算能力，又考查了观察、归纳的逻辑思维能力，通过从特殊的几个计算案例中总结出通用运算规律，能帮助学生大幅提升同类型运算的效率，培养从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.8
首先根据乘方的定义，先分别计算出$15^2$到$55^2$的结果，再观察底数的共同特征（个位都是5）以及计算结果与底数的对应关系：先看结果的末两位数字的共性，再看结果中除末两位外的数字和底数去掉个位5后的数字的数量关系，总结出通用规律后，直接套用规律即可快速算出$85^2$和$95^2$的结果。
【解析】
先计算各乘方的结果：
$15^2=15×15=225$
$25^2=25×25=625$
$35^2=35×35=1225$
$45^2=45×45=2025$
$55^2=55×55=3025$
(1) 观察上述结果和对应底数：
所有结果的后两位均为25；再看结果除后两位外的部分：
15去掉个位5后是1，$1×(1+1)=2$，对应225中25前面的2；
25去掉个位5后是2，$2×(2+1)=6$，对应625中25前面的6；
35去掉个位5后是3，$3×(3+1)=12$，对应1225中25前面的12；
以此类推，可得规律：个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2) 根据规律计算：
计算$85^2$：底数除个位外是8，$8×(8+1)=72$，后面拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$：底数除个位外是9，$9×(9+1)=90$，后面拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$，$95^2=9025$
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.数字规律探究
【点评】
本题既考查了有理数乘方的基础计算能力，又考查了观察、归纳的逻辑思维能力，通过从特殊的几个计算案例中总结出通用运算规律，能帮助学生大幅提升同类型运算的效率，培养从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.8
15.【综合与实践】已知：$(a×b)^2=a^2×b^2$；
$(a×b)^3=a^3×b^3$；
$(a×b)^4=a^4×b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1,b=-2$）。
（2）猜想：$(a×b)^{100}=$
$(a×b)^n=$
（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n×b^n=(a×b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$。
$(a×b)^3=a^3×b^3$；
$(a×b)^4=a^4×b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1,b=-2$）。
（2）猜想：$(a×b)^{100}=$
$a^{100}×b^{100}$
；$(a×b)^n=$
$a^n×b^n$
。（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n×b^n=(a×b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$。
答案
(1)略
(2)$a^{100}×b^{100}$ $a^n×b^n$
(3)$(-\dfrac{1}{6})^{2\ 026}×6^{2\ 027}=(-\dfrac{1}{6})^{2\ 026}×6^{2\ 026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2\ 026}×6=6$。
(2)$a^{100}×b^{100}$ $a^n×b^n$
(3)$(-\dfrac{1}{6})^{2\ 026}×6^{2\ 027}=(-\dfrac{1}{6})^{2\ 026}×6^{2\ 026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2\ 026}×6=6$。
解析
【分析】
（1）第一问验证等式成立，只需将a=1、b=-2分别代入各等式的左右两边计算，对比结果是否相等即可完成验证。（2）第二问可根据给出的前几个等式的共同规律，归纳总结出积的乘方的一般运算公式。（3）第三问逆用积的乘方运算性质，先把$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，使$(-\frac{1}{6})^{2026}$和$6^{2026}$指数相同，再套用$a^n×b^n=(a×b)^n$简化计算，最后计算剩余的乘法即可得到结果。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时：
①验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：左边$=(1×(-2))^2=(-2)^2=4$，右边$=1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
②验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：左边$=(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$，右边$=1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：左边$=(1×(-2))^4=(-2)^4=16$，右边$=1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立。
（2）根据已知等式的规律可猜想：$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$。
（3）计算$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6\\&=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6\\&=(-1)^{2026}×6\\&=1×6\\&=6\end{aligned}$
【答案】
（1）上述等式均成立；
（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算、有理数乘方计算、幂的运算逆用
【点评】
本题从特殊例子出发引导学生归纳积的乘方运算规律，同时考查规律的正用与逆用，逆用积的乘方公式可大幅简化高指数幂的运算，是乘方运算模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）第一问验证等式成立，只需将a=1、b=-2分别代入各等式的左右两边计算，对比结果是否相等即可完成验证。（2）第二问可根据给出的前几个等式的共同规律，归纳总结出积的乘方的一般运算公式。（3）第三问逆用积的乘方运算性质，先把$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，使$(-\frac{1}{6})^{2026}$和$6^{2026}$指数相同，再套用$a^n×b^n=(a×b)^n$简化计算，最后计算剩余的乘法即可得到结果。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时：
①验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：左边$=(1×(-2))^2=(-2)^2=4$，右边$=1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
②验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：左边$=(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$，右边$=1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：左边$=(1×(-2))^4=(-2)^4=16$，右边$=1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立。
（2）根据已知等式的规律可猜想：$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$。
（3）计算$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6\\&=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6\\&=(-1)^{2026}×6\\&=1×6\\&=6\end{aligned}$
【答案】
（1）上述等式均成立；
（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算、有理数乘方计算、幂的运算逆用
【点评】
本题从特殊例子出发引导学生归纳积的乘方运算规律，同时考查规律的正用与逆用，逆用积的乘方公式可大幅简化高指数幂的运算，是乘方运算模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
