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9.若单项式$2x^3y^4$与$-7x^2y^n$的次数相同，则n是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。解题思路为：先计算出已知单项式$2x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相同的条件，列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
1. 计算单项式$2x^3y^4$的次数：
$x$的指数是3，$y$的指数是4，因此次数为 $3+4=7$。
2. 计算单项式$-7x^2y^n$的次数：
$x$的指数是2，$y$的指数是$n$，因此次数为 $2+n$。
3. 由两个单项式次数相同，可得等式：
$2+n=7$
解得：$n=7-2=5$
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；等式的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生准确掌握单项式次数的定义，计算时注意不要将单项式的系数计入次数，只要理解概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。解题思路为：先计算出已知单项式$2x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相同的条件，列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
1. 计算单项式$2x^3y^4$的次数：
$x$的指数是3，$y$的指数是4，因此次数为 $3+4=7$。
2. 计算单项式$-7x^2y^n$的次数：
$x$的指数是2，$y$的指数是$n$，因此次数为 $2+n$。
3. 由两个单项式次数相同，可得等式：
$2+n=7$
解得：$n=7-2=5$
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；等式的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生准确掌握单项式次数的定义，计算时注意不要将单项式的系数计入次数，只要理解概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
10.若多项式$a(a - 1)x^3 + (a - 1)x + 1$是关于x的一次多项式，则a的值为(
A.0
B.1
C.0或1
D.不能确定
A
)。A.0
B.1
C.0或1
D.不能确定
答案
10.A
解析
【分析】
解题首先要明确一次多项式的定义：关于x的多项式中最高次项的次数为1，且一次项的系数不能为0。第一步先让高于1次的项消失，也就是三次项的系数等于0，求出a的可能取值；第二步再检验这些取值是否满足一次项系数不为0的要求，排除不符合的情况就能得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 多项式$a(a - 1)x^3 + (a - 1)x + 1$是关于x的一次多项式
∴ 需满足两个条件：三次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a(a-1)=0 \quad ①\\a-1≠0 \quad \quad ②\end{cases}$
由①可得：两个数相乘得0，则至少一个乘数为0，因此a=0或a=1
由②可得：a≠1
综上，a只能取0，故选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数、代数式系数的定义
【点评】
本题考查多项式次数的相关应用，易错点是求解时忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选C，解题时求出参数的可能值后要注意代回原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确一次多项式的定义：关于x的多项式中最高次项的次数为1，且一次项的系数不能为0。第一步先让高于1次的项消失，也就是三次项的系数等于0，求出a的可能取值；第二步再检验这些取值是否满足一次项系数不为0的要求，排除不符合的情况就能得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 多项式$a(a - 1)x^3 + (a - 1)x + 1$是关于x的一次多项式
∴ 需满足两个条件：三次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a(a-1)=0 \quad ①\\a-1≠0 \quad \quad ②\end{cases}$
由①可得：两个数相乘得0，则至少一个乘数为0，因此a=0或a=1
由②可得：a≠1
综上，a只能取0，故选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数、代数式系数的定义
【点评】
本题考查多项式次数的相关应用，易错点是求解时忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选C，解题时求出参数的可能值后要注意代回原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
11.有一个多项式$a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + ···$，按照这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？
答案
11.解:可以看出,从左到右a的指数逐次减1,b的指数逐次加1,所以第7项是$a^4b^6$,最后一项是$b^{10}$,这是一个关于a,b的十次十一项式,它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
解析
【分析】
遇到这类多项式规律探究题，我们可以分三部分逐一枚举前几项的特征找规律：首先看符号，其次看a的指数变化，最后看b的指数变化，将每部分的特征和项数对应起来。先列已知项和项数的对应关系：第1项是$a^{10}$，第2项是$-a^9b$，第3项是$a^8b^2$……，先分别总结符号、a的指数、b的指数随项数变化的规律，再用规律求解第7项、最后一项，再根据多项式次数、项数的定义判断多项式类型，最后整理通用规律即可。
【解析】
我们先逐项分析特征：
1. 符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正，可得规律：奇数项符号为正，偶数项符号为负；
2. a的指数规律：第1项a的指数是10，第2项是9，第3项是8，可得规律：a的指数=10 - (项数-1)，逐次减1；
3. b的指数规律：第1项b的指数是0（省略未写），第2项是1，第3项是2，可得规律：b的指数=项数-1，逐次加1；
且每一项中a的指数+b的指数=10，固定不变。
接下来求解对应问题：
① 求第7项：项数是7，为奇数，符号为正；a的指数=10-(7-1)=4；b的指数=7-1=6，所以第7项是$a^4b^6$；
② 求最后一项：a的指数最小为0，此时对应的项数是10+1=11，即总共有11项，第11项为奇数项，符号为正；a的指数=0，b的指数=11-1=10，所以最后一项是$b^{10}$；
③ 判断多项式类型：这个多项式最高次数是10，总共有11个项，所以是十次十一项式；
④ 通用规律：第n项（n为1到11的正整数）的符号是$(-1)^{n+1}$，a的指数是$11-n$，b的指数是$n-1$，所以第n项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【答案】
第7项是$a^4b^6$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式相关概念，规律探究，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生从符号、字母指数两个维度逐一归纳变化特征，同时要求熟练掌握多项式次数、项数的判定方法，能很好地锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类多项式规律探究题，我们可以分三部分逐一枚举前几项的特征找规律：首先看符号，其次看a的指数变化，最后看b的指数变化，将每部分的特征和项数对应起来。先列已知项和项数的对应关系：第1项是$a^{10}$，第2项是$-a^9b$，第3项是$a^8b^2$……，先分别总结符号、a的指数、b的指数随项数变化的规律，再用规律求解第7项、最后一项，再根据多项式次数、项数的定义判断多项式类型，最后整理通用规律即可。
【解析】
我们先逐项分析特征：
1. 符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正，可得规律：奇数项符号为正，偶数项符号为负；
2. a的指数规律：第1项a的指数是10，第2项是9，第3项是8，可得规律：a的指数=10 - (项数-1)，逐次减1；
3. b的指数规律：第1项b的指数是0（省略未写），第2项是1，第3项是2，可得规律：b的指数=项数-1，逐次加1；
且每一项中a的指数+b的指数=10，固定不变。
接下来求解对应问题：
① 求第7项：项数是7，为奇数，符号为正；a的指数=10-(7-1)=4；b的指数=7-1=6，所以第7项是$a^4b^6$；
② 求最后一项：a的指数最小为0，此时对应的项数是10+1=11，即总共有11项，第11项为奇数项，符号为正；a的指数=0，b的指数=11-1=10，所以最后一项是$b^{10}$；
③ 判断多项式类型：这个多项式最高次数是10，总共有11个项，所以是十次十一项式；
④ 通用规律：第n项（n为1到11的正整数）的符号是$(-1)^{n+1}$，a的指数是$11-n$，b的指数是$n-1$，所以第n项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【答案】
第7项是$a^4b^6$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式相关概念，规律探究，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生从符号、字母指数两个维度逐一归纳变化特征，同时要求熟练掌握多项式次数、项数的判定方法，能很好地锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
12.若代数式$(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，求$a,b$的值。
答案
12.$a=-2,b=1$
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确核心逻辑：若代数式的值与字母x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数都为0（此时无论x取何值，含x的项的运算结果都是0，不会影响整个代数式的最终值）。解题可按三步进行：第一步对原式去括号，第二步合并同类项，将含x的二次项、一次项分别整理合并，第三步令所有含x的项的系数等于0，分别列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
解：先对代数式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)\\=&x^2 + ax - 2y + 7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
∵ 代数式的值与字母x的取值无关
∴ 所有含x的项的系数均为0，即：
$1 - b = 0$，$a + 2 = 0$
分别解得：$b=1$，$a=-2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式加减运算，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式加减章节的典型基础题型，解题核心是正确理解“代数式的值与某字母取值无关”的本质，即该字母的所有同次项的系数都为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确核心逻辑：若代数式的值与字母x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数都为0（此时无论x取何值，含x的项的运算结果都是0，不会影响整个代数式的最终值）。解题可按三步进行：第一步对原式去括号，第二步合并同类项，将含x的二次项、一次项分别整理合并，第三步令所有含x的项的系数等于0，分别列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
解：先对代数式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)\\=&x^2 + ax - 2y + 7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
∵ 代数式的值与字母x的取值无关
∴ 所有含x的项的系数均为0，即：
$1 - b = 0$，$a + 2 = 0$
分别解得：$b=1$，$a=-2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式加减运算，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式加减章节的典型基础题型，解题核心是正确理解“代数式的值与某字母取值无关”的本质，即该字母的所有同次项的系数都为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
