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13.【数学应用】如图，在边长为x的正方形硬纸片上剪去两个直径为x的半圆，所剩部分(图中阴影部分)的面积是多少？
答案
13.$x^2-\frac{π x^2}{4}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路解题。首先观察图形特征：空白部分是两个直径为x的半圆，两个半圆刚好可以拼接成一个完整的圆，因此只需分别求出正方形的面积和拼接后整圆的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：已知正方形的边长为$ x $：
1. 计算正方形的面积：
$ S_{\mathrm{正方形}} = 边长 × 边长 = x^2 $
2. 分析空白部分：两个直径为$ x $的半圆可拼接为1个直径为$ x $的圆，因此圆的半径$ r = \frac{x}{2} $
3. 计算整圆的面积：
$ S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × (\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4} $
4. 计算阴影部分面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{正方形}} - S_{\mathrm{圆}} = x^2 - \frac{π x^2}{4} $
【答案】
$ x^2-\frac{π x^2}{4} $
【知识点】
列代数式；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型基础题，核心解题技巧是利用割补法将零散的半圆转化为完整的圆，把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差求解，很好地考查了图形观察能力和规则图形面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路解题。首先观察图形特征：空白部分是两个直径为x的半圆，两个半圆刚好可以拼接成一个完整的圆，因此只需分别求出正方形的面积和拼接后整圆的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：已知正方形的边长为$ x $：
1. 计算正方形的面积：
$ S_{\mathrm{正方形}} = 边长 × 边长 = x^2 $
2. 分析空白部分：两个直径为$ x $的半圆可拼接为1个直径为$ x $的圆，因此圆的半径$ r = \frac{x}{2} $
3. 计算整圆的面积：
$ S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × (\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4} $
4. 计算阴影部分面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{正方形}} - S_{\mathrm{圆}} = x^2 - \frac{π x^2}{4} $
【答案】
$ x^2-\frac{π x^2}{4} $
【知识点】
列代数式；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型基础题，核心解题技巧是利用割补法将零散的半圆转化为完整的圆，把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差求解，很好地考查了图形观察能力和规则图形面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
14.【综合与实践】阅读下列材料，完成相应的任务：
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①②
（填序号）。①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
答案
14.①② $x^3y^3$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题核心是先准确理解题目给出的对称式定义：任意交换代数式中两个字母的位置，代数式的值不变。对于任务一，逐个验证四个代数式是否满足对称式的定义即可；对于任务二，构造时要同时满足三个要求：①只含字母x、y的单项式；②是对称式（交换x、y后式子不变，即x和y的指数相等）；③次数为6次（x、y的指数和为6），结合这三个要求推导即可得到符合条件的单项式。
【解析】
任务一判断：
① 代数式$a+b+c$任意交换两个字母（如交换a和b），得到$b+a+c$，与原式相等，属于对称式；
② 代数式$a^2+b^2$交换a和b后得到$b^2+a^2$，与原式相等，属于对称式；
③ 代数式$a^2b$交换a和b后得到$ab^2$，当$a≠ b$时二者不相等，不属于对称式；
④ 代数式$\frac{a}{b}$交换a和b后得到$\frac{b}{a}$，当$a≠ b$时二者不相等，不属于对称式。
因此任务一选①②。
任务二构造：
要满足对称式要求，交换x和y后单项式不变，因此x的指数与y的指数必须相等；单项式的次数为所有字母的指数和，要求总次数为6，因此x、y的指数均为$6÷2=3$，可得符合要求的单项式为$x^3y^3$（系数为任意非零常数均符合要求，答案不唯一）。
【答案】
①②；$x^3y^3$（答案不唯一）
【知识点】
新定义理解，单项式的次数，对称式判断
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对新定义的阅读理解能力和知识迁移应用能力，只要准确把握对称式的核心特征，结合单项式的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题核心是先准确理解题目给出的对称式定义：任意交换代数式中两个字母的位置，代数式的值不变。对于任务一，逐个验证四个代数式是否满足对称式的定义即可；对于任务二，构造时要同时满足三个要求：①只含字母x、y的单项式；②是对称式（交换x、y后式子不变，即x和y的指数相等）；③次数为6次（x、y的指数和为6），结合这三个要求推导即可得到符合条件的单项式。
【解析】
任务一判断：
① 代数式$a+b+c$任意交换两个字母（如交换a和b），得到$b+a+c$，与原式相等，属于对称式；
② 代数式$a^2+b^2$交换a和b后得到$b^2+a^2$，与原式相等，属于对称式；
③ 代数式$a^2b$交换a和b后得到$ab^2$，当$a≠ b$时二者不相等，不属于对称式；
④ 代数式$\frac{a}{b}$交换a和b后得到$\frac{b}{a}$，当$a≠ b$时二者不相等，不属于对称式。
因此任务一选①②。
任务二构造：
要满足对称式要求，交换x和y后单项式不变，因此x的指数与y的指数必须相等；单项式的次数为所有字母的指数和，要求总次数为6，因此x、y的指数均为$6÷2=3$，可得符合要求的单项式为$x^3y^3$（系数为任意非零常数均符合要求，答案不唯一）。
【答案】
①②；$x^3y^3$（答案不唯一）
【知识点】
新定义理解，单项式的次数，对称式判断
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对新定义的阅读理解能力和知识迁移应用能力，只要准确把握对称式的核心特征，结合单项式的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
