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一、选择题
1. 如图1，$∠ AOB=70°$，点C是$∠ AOB$内一点，$CD⊥ OA$于点D，$CE⊥ OB$于点E，且$CD=CE$，则$∠ DOC$的度数是(
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
1. 如图1，$∠ AOB=70°$，点C是$∠ AOB$内一点，$CD⊥ OA$于点D，$CE⊥ OB$于点E，且$CD=CE$，则$∠ DOC$的度数是(
B
)A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①∠AOB=70°；②CD⊥OA，CE⊥OB，说明CD是点C到OA的距离，CE是点C到OB的距离；③CD=CE。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可推出OC是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线把角分成两个相等的小角，即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，
∴OC平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，
又
∵∠AOB=70°，
∴∠DOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是能够根据点到角两边的距离相等，判断出该点在角的平分线上，进而结合已知角度计算求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①∠AOB=70°；②CD⊥OA，CE⊥OB，说明CD是点C到OA的距离，CE是点C到OB的距离；③CD=CE。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可推出OC是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线把角分成两个相等的小角，即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，
∴OC平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，
又
∵∠AOB=70°，
∴∠DOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是能够根据点到角两边的距离相等，判断出该点在角的平分线上，进而结合已知角度计算求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图2，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B. 下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(
A.∠MOC=∠NOC
B.PA=PB
C.OA=OB
D.PB=OB
D
)A.∠MOC=∠NOC
B.PA=PB
C.OA=OB
D.PB=OB
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个选项不能判定OP是∠MON的平分线，首先明确角平分线的两类判定依据：一是定义，即若射线将角分成两个相等的角，则该射线是角平分线；二是判定定理，即角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，也可通过证明三角形全等得到角相等来判定。我们只需逐一验证每个选项能否推出∠MOP=∠NOP即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：若∠MOC=∠NOC，根据角平分线的定义，直接可得OC（即OP所在射线）是∠MON的平分线，故A不符合题意；
选项B：已知PA⊥ON，PB⊥OM，即PA、PB分别是点P到∠MON两边的距离，若PA=PB，根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点P在∠MON的平分线上，即OP是∠MON的平分线，故B不符合题意；
选项C：若OA=OB，
∵PA⊥ON，PB⊥OM，
∴△OAP和△OBP均为直角三角形，在Rt△OAP和Rt△OBP中，$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ OA=OB\end{array} $，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的平分线，故C不符合题意；
选项D：若PB=OB，仅能说明Rt△OBP是等腰直角三角形，可得∠BOP=45°，但无法推出∠AOP的度数，不能证明∠AOP=∠BOP，因此无法判定OP是∠MON的平分线，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形全等的判定；角平分线的定义
【点评】
本题围绕角平分线的判定展开考查，解题时需熟练掌握角平分线的定义、判定定理，结合全等三角形的性质逐一分析选项即可得出结论，注意题干要求选的是“不能判定”的选项，避免审题失误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项不能判定OP是∠MON的平分线，首先明确角平分线的两类判定依据：一是定义，即若射线将角分成两个相等的角，则该射线是角平分线；二是判定定理，即角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，也可通过证明三角形全等得到角相等来判定。我们只需逐一验证每个选项能否推出∠MOP=∠NOP即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：若∠MOC=∠NOC，根据角平分线的定义，直接可得OC（即OP所在射线）是∠MON的平分线，故A不符合题意；
选项B：已知PA⊥ON，PB⊥OM，即PA、PB分别是点P到∠MON两边的距离，若PA=PB，根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点P在∠MON的平分线上，即OP是∠MON的平分线，故B不符合题意；
选项C：若OA=OB，
∵PA⊥ON，PB⊥OM，
∴△OAP和△OBP均为直角三角形，在Rt△OAP和Rt△OBP中，$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ OA=OB\end{array} $，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的平分线，故C不符合题意；
选项D：若PB=OB，仅能说明Rt△OBP是等腰直角三角形，可得∠BOP=45°，但无法推出∠AOP的度数，不能证明∠AOP=∠BOP，因此无法判定OP是∠MON的平分线，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形全等的判定；角平分线的定义
【点评】
本题围绕角平分线的判定展开考查，解题时需熟练掌握角平分线的定义、判定定理，结合全等三角形的性质逐一分析选项即可得出结论，注意题干要求选的是“不能判定”的选项，避免审题失误。
【难度系数】
0.8
3. 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图3所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是(
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不确定
C
)A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不确定
答案
3. C
解析
【分析】
首先审题明确两个核心条件：一是集贸市场需建在三角形区域内部，二是到三条公路（即三角形的三条边）距离相等。回忆已学的角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推，若一个点到三角形两条边的距离相等，该点一定在这两条边所夹角的角平分线上。要同时满足到三条边距离相等，该点就需同时在三个内角的角平分线上，而三角形三条内角平分线恰好交于内部一点，符合要求。再逐一辨析选项中各交点的性质，排除不符合的选项即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
若点到三角形三条边的距离都相等，则该点需同时位于∠A、∠B、∠C三个内角的角平分线上。三角形的三条内角平分线相交于三角形内部的一点，该点到三条边的距离相等，符合题目要求。
对选项逐一判断：
A. 三条高线的交点是三角形的垂心，无到三边距离相等的性质，不符合要求；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，核心性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，与到三边距离无关，不符合要求；
C. 三条角平分线的交点符合所有要求，故该选项正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形角平分线的交点特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是准确区分三角形高线、中线、角平分线三类特殊线段交点的不同性质，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先审题明确两个核心条件：一是集贸市场需建在三角形区域内部，二是到三条公路（即三角形的三条边）距离相等。回忆已学的角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推，若一个点到三角形两条边的距离相等，该点一定在这两条边所夹角的角平分线上。要同时满足到三条边距离相等，该点就需同时在三个内角的角平分线上，而三角形三条内角平分线恰好交于内部一点，符合要求。再逐一辨析选项中各交点的性质，排除不符合的选项即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
若点到三角形三条边的距离都相等，则该点需同时位于∠A、∠B、∠C三个内角的角平分线上。三角形的三条内角平分线相交于三角形内部的一点，该点到三条边的距离相等，符合题目要求。
对选项逐一判断：
A. 三条高线的交点是三角形的垂心，无到三边距离相等的性质，不符合要求；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，核心性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，与到三边距离无关，不符合要求；
C. 三条角平分线的交点符合所有要求，故该选项正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形角平分线的交点特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是准确区分三角形高线、中线、角平分线三类特殊线段交点的不同性质，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图4，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是(
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条角平分线交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
A
)A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条角平分线交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先明确推导逻辑：本题要找“由操作推出OP是角平分线”的依据，属于角平分线判定的应用场景，首先区分角平分线的性质和判定：性质是已知角平分线得到点到两边距离相等，判定是已知点到两边距离相等推出角平分线。再结合操作分析条件：两把完全相同的长方形直尺宽度相等，交点P到OA、OB的距离分别等于两把直尺的宽度，因此P到角两边的距离相等，且P在角内部，结合判定定理即可选出正确答案。
【解析】
1. 两把完全相同的长方形直尺宽度相等，点P是两把直尺的交点，因此点P到射线OA的距离等于压住OA的直尺的宽度，点P到射线OB的距离等于压住OB的直尺的宽度，可得点P到∠AOB两边的距离相等。
2. 点P在∠AOB内部，根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可推出射线OP是∠BOA的角平分线。
3. 选项辨析：B是角平分线的性质，推导方向与本题相反，不符合要求；C、D涉及三角形角平分线、垂直平分线的性质，与本题无关，错误。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的性质
【点评】
本题结合实际操作考查角平分线相关定理的应用，解题核心是区分清楚角平分线判定和性质的推导方向，避免混淆二者的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先明确推导逻辑：本题要找“由操作推出OP是角平分线”的依据，属于角平分线判定的应用场景，首先区分角平分线的性质和判定：性质是已知角平分线得到点到两边距离相等，判定是已知点到两边距离相等推出角平分线。再结合操作分析条件：两把完全相同的长方形直尺宽度相等，交点P到OA、OB的距离分别等于两把直尺的宽度，因此P到角两边的距离相等，且P在角内部，结合判定定理即可选出正确答案。
【解析】
1. 两把完全相同的长方形直尺宽度相等，点P是两把直尺的交点，因此点P到射线OA的距离等于压住OA的直尺的宽度，点P到射线OB的距离等于压住OB的直尺的宽度，可得点P到∠AOB两边的距离相等。
2. 点P在∠AOB内部，根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可推出射线OP是∠BOA的角平分线。
3. 选项辨析：B是角平分线的性质，推导方向与本题相反，不符合要求；C、D涉及三角形角平分线、垂直平分线的性质，与本题无关，错误。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的性质
【点评】
本题结合实际操作考查角平分线相关定理的应用，解题核心是区分清楚角平分线判定和性质的推导方向，避免混淆二者的适用场景。
【难度系数】
0.8
5. 如图5,已知$BD ⊥ AE$于点B,$DC ⊥ AF$于点C,且$DB=DC$,$∠ BAC=40°$,$∠ ADG=130°$,则$∠ CDG$的度数为(
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
D
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先根据已知的垂直关系和DB=DC，结合角平分线的判定定理推出AD平分∠BAC，求出∠CAD的度数；再利用直角三角形两锐角互余算出∠ADC的度数；最后根据∠ADG的度数，通过角度差计算出∠CDG的度数即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AE，DC⊥AF，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∵DC⊥AF，
∴∠ACD = 90°，
在Rt△ACD中，∠ADC = 90° - ∠CAD = 90° - 20° = 70°。
又
∵∠ADG = 130°，
∴∠CDG = ∠ADG - ∠ADC = 130° - 70° = 60°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题侧重对角平分线判定定理的基础应用考查，解题的突破口是先根据已知条件判断出AD为角平分线，再结合直角三角形的角度性质逐步推导，需要注意区分角平分线的判定定理和性质定理，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知的垂直关系和DB=DC，结合角平分线的判定定理推出AD平分∠BAC，求出∠CAD的度数；再利用直角三角形两锐角互余算出∠ADC的度数；最后根据∠ADG的度数，通过角度差计算出∠CDG的度数即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AE，DC⊥AF，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∵DC⊥AF，
∴∠ACD = 90°，
在Rt△ACD中，∠ADC = 90° - ∠CAD = 90° - 20° = 70°。
又
∵∠ADG = 130°，
∴∠CDG = ∠ADG - ∠ADC = 130° - 70° = 60°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题侧重对角平分线判定定理的基础应用考查，解题的突破口是先根据已知条件判断出AD为角平分线，再结合直角三角形的角度性质逐步推导，需要注意区分角平分线的判定定理和性质定理，避免混淆。
【难度系数】
0.7
