二、填空题
1. 如图6，$PM⊥OA$，$PM=1$，当点$P$到$OB$的距离为时，$∠POA=∠POB$.

1. 1

【分析】
要使∠POA=∠POB，即OP为∠AOB的角平分线。根据角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需保证点P到OA、OB的距离相等即可。已知点P到OA的距离PM=1，即可推出点P到OB的距离需要满足的条件。
【解析】
若∠POA=∠POB，则OP是∠AOB的角平分线。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，反过来，若点在角的平分线上，则该点到角两边的距离相等。
已知PM⊥OA，PM=1，因此当点P到OB的距离等于PM，即为1时，OP平分∠AOB，满足∠POA=∠POB。
【答案】
1
【知识点】
1.角平分线的判定定理
2.点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查角平分线判定定理的直接应用，解题关键是明确角平分线与点到两边距离的关系，注意这里的距离指的是垂线段的长度。
【难度系数】
0.9

2. 如图7，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠的平分线上，点A在∠的平分线上。

2. BAD,BCD

【分析】
解题时首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。第一步先分析点C的位置：已知∠CDA、∠CBA都是直角，说明CB垂直AB，CD垂直AD，CB、CD分别是点C到∠BAD两边AD、AB的距离，结合已知CD=CB，即可判断点C所在的角平分线；第二步分析点A的位置：先连接AC，通过HL证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，得到AB=AD，而AB、AD分别是点A到∠BCD两边CB、CD的距离，进而判断点A所在的角平分线。
【解析】
∵ ∠CDA=∠CBA=90°，
∴ CB⊥AB，CD⊥AD，即CB是点C到AB的距离，CD是点C到AD的距离，
又
∵ CD=CB，
根据角平分线的判定定理，可知点C在∠BAD的平分线上；
连接AC，在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\quad (\mathrm{公共边})\\CB=CD\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴ AB=AD，
又
∵ AB⊥CB，AD⊥CD，即AB是点A到CB的距离，AD是点A到CD的距离，
根据角平分线的判定定理，可知点A在∠BCD的平分线上。
【答案】
BAD，BCD
【知识点】
角平分线的判定；HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题关键是准确找到点到角两边的垂线段，结合全等三角形的证明得到距离相等的结论，是角平分线章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图8,已知点P到△ABC三边的距离相等,∠B=80°,则∠P=.

3. 130°

【分析】
解题第一步：根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，已知点P到△ABC三边距离相等，可得出P是△ABC三个内角的角平分线的交点，即内心。第二步：要求∠P的度数，观察可得∠P是∠BAC和∠BCA的角平分线的夹角，结合三角形内角和为180°，先求出∠BAC与∠BCA的和，再推导∠PAC与∠PCA的和，最后利用三角形内角和即可算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴点P是△ABC的内角平分线的交点，即PA平分∠BAC，PC平分∠BCA，
∴$∠ PAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ PCA = \frac{1}{2}∠ BCA$。
在△ABC中，$∠ BAC + ∠ BCA + ∠ B = 180°$，已知$∠ B=80°$，
∴$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - 80° = 100°$，
∴$∠ PAC + ∠ PCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
在△PAC中，$∠ P + ∠ PAC + ∠ PCA = 180°$，
∴$∠ P = 180° - (∠ PAC + ∠ PCA) = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线性质与三角形内角和的综合基础题，解题核心是先根据点到三边距离相等判断出点P为三角形的内心，再通过角度拆分和内角和定理推导结果，熟记内心对应的角度推导逻辑可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7

4*. 如图9,在△ABC中,∠CAB=50°,点D在△ABC的外部,且AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC于点F,连接BD.若∠BCE=104°,DE=DF,则∠DBC的度数为.

图6 图7 图8 图9

4. 63°

【分析】
解题时先从已知条件出发，结合角平分线的相关定理逐步推导：第一步，根据平角定义先求出△ABC中∠ACB的度数，再利用三角形内角和算出∠ABC的度数；第二步，利用角平分线的性质，由AD平分∠BAC、DE⊥AC，得到点D到AB的距离等于DE；第三步，结合DE=DF、DF⊥BC，可推出点D到AB和BC的距离相等，根据角平分线的判定定理，得出BD平分∠ABC的外角；第四步，计算∠ABC外角的一半，即可得到∠DBC的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵∠BCE=104°，∠ACB与∠BCE组成平角，
∴∠ACB=180°-∠BCE=180°-104°=76°。
2. 求△ABC中∠ABC的度数：
在△ABC中，∠CAB=50°，∠ACB=76°，根据三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-50°-76°=54°。
3. 证明BD平分∠ABC的外角：
过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AC，DG⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DG。
又
∵已知DE=DF，
∴DG=DF，
∵DG⊥AB，DF⊥BC，根据到角两边距离相等的点在该角的平分线上，
∴BD平分∠ABC的外角。
4. 计算∠DBC的度数：
∠ABC的外角度数为180°-∠ABC=180°-54°=126°，
∵BD平分该外角，
∴∠DBC=1/2×126°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线相关定理的综合应用题，解题的核心是通过作辅助线构造点到角两边的距离，结合角平分线的性质和判定推出BD是外角平分线，需要学生熟练掌握定理并能灵活运用辅助线构造的方法。
【难度系数】
0.65

三、解答题
1. 如图10，已知BE=FD，CE⊥AB于点E，CD⊥AF交AF的延长线于点D，且BC=FC. 求证：AC是∠BAF的平分线.

证明: $\because CE ⊥ AB,CD ⊥ AF, \therefore ∠ CEB=∠ D=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FCD$ 中, $\begin{cases} BC = FC \\ BE = FD \end{cases}$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ FCD(\mathrm{HL}), \therefore CE=CD. \because CE ⊥ AB,CD ⊥ AF, \therefore$ 点 $C$ 在 $∠ BAF$ 的平分线上,
$\therefore AC$ 是 $∠ BAF$ 的平分线.

【分析】
要证明AC是∠BAF的平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点C到AB、AF的距离相等，即CE=CD。观察图形可知CE、CD分别是Rt△BCE和Rt△FCD的直角边，题目已知两个直角三角形的斜边BC=FC，直角边BE=FD，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，推出CE=CD，再结合CE⊥AB、CD⊥AF的条件，即可证明AC是∠BAF的平分线。
【解析】
证明: $\because CE ⊥ AB,CD ⊥ AF, \therefore ∠ CEB=∠ D=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FCD$ 中, $\begin{cases} BC = FC \\ BE = FD \end{cases}$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ FCD(\mathrm{HL})$,
$\therefore CE=CD$.
$\because CE ⊥ AB,CD ⊥ AF$,
$\therefore$ 点 $C$ 在 $∠ BAF$ 的平分线上,
$\therefore AC$ 是 $∠ BAF$ 的平分线.
【答案】
AC是$∠ BAF$的平分线
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查了直角三角形全等的判定和角平分线判定的综合应用，解题关键是先通过全等得到点到角两边的距离相等，再利用角平分线的判定得出结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

2. 如图11-1、图11-2，已知∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，直线AD与BE交于点F.
(1)如图11-1，若∠CEB=90°，求证：FC平分∠BFD.
(2)如图11-2，若∠CEB≠90°，(1)中的结论是否成立？说明理由.

(1)证明: $\because ∠ ACB=∠ DCE=90°, \therefore ∠ ACB-∠ ECA=∠ DCE-∠ ECA$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ACD. \because BC=AC,EC=DC, \therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ CEB=∠ CDA=90°$,即 $CE⊥ BF,CD⊥ AD, \therefore FC$ 平分 $∠ BFD$.
(2)成立,理由:如图1,过点 $C$ 作直线 $AD,BE$ 的垂线,垂足分别为 $M,N$,由(1)得 $△ BCE≌△ ACD, \therefore ∠ B=∠ A. \because ∠ CNB=∠ AMC=90°,BC=AC, \therefore △ BCN≌△ ACM, \therefore CM=CN. \because CM⊥ AD,CN⊥ BE, \therefore FC$ 平分 $∠ BFD$.

【分析】
(1) 解题思路：首先从已知的两个直角∠ACB和∠DCE入手，减去公共角∠ECA得到相等的角∠BCE=∠ACD，结合给出的两组等边BC=AC、EC=DC，利用SAS判定△BCE≌△ACD，得到∠CDA=∠CEB=90°，可知CE、CD分别是点C到∠BFD两边的垂线段，且CE=CD，根据角平分线的判定定理即可得证FC平分∠BFD。
(2) 解题思路：当∠CEB≠90°时，缺少现成的垂线段，因此过点C分别作BE、AD的垂线，垂足为N、M；仍先证明△BCE≌△ACD得到对应角∠B=∠A，再利用AAS证明△BCN≌△ACM，得到两条垂线段CN=CM，即可根据角平分线的判定定理证明结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ACB=∠DCE=90°$，
$\therefore ∠ACB-∠ECA=∠DCE-∠ECA$，即$∠BCE=∠ACD$。
在$△ BCE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} BC=AC \\ ∠BCE=∠ACD \\ EC=DC \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CEB=∠CDA=90°$，即$CE⊥BF$，$CD⊥AD$，
又$\because EC=DC$，即点C到∠BFD两边的距离相等，
$\therefore FC$平分$∠BFD$。
(2) 成立，理由如下：
如图1，过点$C$作$CN⊥BE$于点$N$，$CM⊥AD$于点$M$。
同(1)可证$△ BCE≌△ ACD$，$\therefore ∠B=∠A$。
在$△ BCN$和$△ ACM$中：
$\begin{cases} ∠CNB=∠AMC=90° \\ ∠B=∠A \\ BC=AC \end{cases}$
$\therefore △ BCN≌△ ACM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CM=CN$，
$\because CM⊥AD$，$CN⊥BE$，即点C到∠BFD两边的距离相等，
$\therefore FC$平分$∠BFD$。
【答案】
(1) 已证FC平分$∠ BFD$；
(2) 成立，理由见解析。

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题侧重考查全等三角形和角平分线判定的综合应用，解题的突破口是先推导共顶点的等角，证明三角形全等得到对应角相等，再结合角平分线的判定定理推导结论，第二问作垂线段构造全等三角形是此类题型的常用辅助线方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6