【拓展思考】
(1)如图12-1,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC. 求证:AE是∠BAD的平分线.
变式探究:
(2)如图12-2,AB//CD,AE是∠BAD的平分线,DE是∠ADC的平分线.
①求证:∠AED=90°;
②求证:AD=AB+CD.

证明:(1)如图2,过点 $E$ 作 $EF ⊥ DA$ 于点 $F, \because DE$ 平分 $∠ ADC, ∠ C=90°$,即 $EC ⊥ CD, \therefore CE=EF$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BE=CE, \therefore BE=EF$.
又 $\because ∠ B=90°,EF ⊥ DA$,点 $E$ 在 $∠ BAD$ 的内部, $\therefore AE$ 平分 $∠ BAD$.
(2)①$\because AB // CD, \therefore ∠ BAD + ∠ ADC = 180°$.
$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,$DE$ 是 $∠ ADC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ BAD, ∠ ADE = ∠ CDE = \frac{1}{2}∠ ADC$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ ADC + \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2}(∠ ADC + ∠ BAD) = 90°$,
$\therefore ∠ AED = 180°-(∠ ADE + ∠ DAE) = 90°$.
②如图3,在 $AD$ 上截取 $DF = DC$,连接 $EF$.
$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,$DE$ 是 $∠ ADC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAE = ∠ FAE, ∠ FDE = ∠ CDE$. 在 $△ CDE$ 和 $△ FDE$ 中, $\begin{cases} DC = DF \\ ∠ CDE = ∠ FDE \\ DE = DE \end{cases}$,
$\therefore △ CDE≌△ FDE(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ CED=∠ FED$. 由①已证: $∠ AED=90°, \therefore ∠ CED+∠ AEB=180°-∠ AED=90°, ∠ FED+∠ AEF=∠ AED=90°, \therefore ∠ AEB=∠ AEF$. 在 $△ AEB$ 和 $△ AEF$ 中, $\begin{cases} ∠ AEB=∠ AEF \\ AE=AE \\ ∠ BAE=∠ FAE \end{cases}, \therefore △ AEB≌△ AEF(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AB, \therefore AD=AF+DF=AB+CD$.

【分析】
(1) 要证明AE是∠BAD的平分线，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。首先过点E作AD的垂线EF，先根据角平分线的性质得到CE=EF，再结合E是BC中点推出BE=EF，即可证明结论。
(2) ①要证明∠AED=90°，先根据平行线的性质得到∠BAD与∠ADC互补，再结合角平分线的定义，可得∠DAE与∠ADE的和为90°，最后根据三角形内角和为180°即可推出∠AED的度数。
②要证明AD=AB+CD，属于线段和差的证明问题，常用截长补短法，本题在AD上截取DF=DC，先证明△CDE≌△FDE，再证明△AEB≌△AEF，得到AF=AB，结合AD=AF+DF即可得证。
【解析】
(1) 如图2，过点 $E$ 作 $EF ⊥ DA$ 于点 $F, \because DE$ 平分 $∠ ADC, ∠ C=90°$,即 $EC ⊥ CD, \therefore CE=EF$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BE=CE, \therefore BE=EF$.
又 $\because ∠ B=90°,EF ⊥ DA$,点 $E$ 在 $∠ BAD$ 的内部, $\therefore AE$ 平分 $∠ BAD$.
(2) ①$\because AB // CD, \therefore ∠ BAD + ∠ ADC = 180°$.
$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,$DE$ 是 $∠ ADC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ BAD, ∠ ADE = ∠ CDE = \frac{1}{2}∠ ADC$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ ADC + \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2}(∠ ADC + ∠ BAD) = 90°$,
$\therefore ∠ AED = 180°-(∠ ADE + ∠ DAE) = 90°$.
②如图3，在 $AD$ 上截取 $DF = DC$,连接 $EF$.
$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,$DE$ 是 $∠ ADC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAE = ∠ FAE, ∠ FDE = ∠ CDE$. 在 $△ CDE$ 和 $△ FDE$ 中, $\begin{cases} DC = DF \\ ∠ CDE = ∠ FDE \\ DE = DE \end{cases}$,
$\therefore △ CDE≌△ FDE(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ CED=∠ FED$. 由①已证: $∠ AED=90°, \therefore ∠ CED+∠ AEB=180°-∠ AED=90°, ∠ FED+∠ AEF=∠ AED=90°, \therefore ∠ AEB=∠ AEF$. 在 $△ AEB$ 和 $△ AEF$ 中, $\begin{cases} ∠ AEB=∠ AEF \\ AE=AE \\ ∠ BAE=∠ FAE \end{cases}, \therefore △ AEB≌△ AEF(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AB, \therefore AD=AF+DF=AB+CD$.
【答案】
证明过程见上述解析，对应辅助线图如下：


【知识点】
角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何综合题，围绕角平分线、平行线、全等三角形核心知识点设计，需要同学们掌握常见辅助线的构造方法：证明角平分线可向角两边作垂线，证明线段和差关系可采用截长补短法，熟练运用相关性质和判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6