2. 如图11,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:BE=FC;
(2)若AB=15,AF=9,求FC的长.

2. (1)证明:
∵ ∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴ DE=DC.
∵ ∠DCF=∠DEB=90°,BD=FD,DE=DC,
∴ Rt△DBE≌Rt△DFC(HL),
∴ BE=FC.
(2)
∵ ∠ACD=∠AED=90°,AD=AD,DC=DE,
∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴ AE=AC,
∴ AF+FC=AB-BE.
∵ BE=FC,
∴ AF+FC=AB-FC.
∵ AB=15,AF=9,
∴ FC=$\frac{AB-AF}{2}$=3.

【分析】
(1) 要证BE=FC，可通过证明两条线段所在的Rt△DBE和Rt△DFC全等来推导。首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC；结合已知BD=DF，且两个三角形均为直角三角形，可利用HL定理判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 求FC的长度时，先证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AC=AE；再将AC表示为AF+FC，AE表示为AB-BE，结合(1)中BE=FC的结论，代入已知AB、AF的长度，建立关于FC的等量关系即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴ DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ ∠DCF=∠DEB=90°，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，
$\{\begin{array}{l}BD=DF\\ DE=DC\end{array} $
∴ Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴ BE=FC。
(2) 解：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $
∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴ AC=AE，
∵ AC=AF+FC，AE=AB-BE，且由(1)知BE=FC，
∴ AF+FC=AB-FC，
将AB=15，AF=9代入得：
$9 + FC = 15 - FC$，
解得$2FC=6$，即$FC=3$。
【答案】
(1) BE=FC，证明成立；
(2) $\boxed{3}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合基础题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过HL定理证明直角三角形全等，将待求线段和已知线段通过全等性质建立等量关系，能够锻炼基础的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图12,在四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF.
(1)求证:AF=AD;
(2)若BF=7,DE=3,求CE的长.

3. (1)证明:
∵ ∠D=90°,
∴ AD⊥DE.
∵ EA平分∠DEF,
∴ ∠AED = ∠AEF. 又
∵ AF⊥EF,
∴ AF = AD.
(2)在Rt△ABF和Rt△ACD中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴ BF = CD=7.
∵ DE=3,
∴ CE=CD-DE=7-3=4.

【分析】
(1) 要证明AF=AD，观察两条线段的特征：AD⊥DE，AF⊥BE，且EA平分∠DEF，符合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，直接应用该性质即可完成证明。
(2) 求CE的长，已知DE=3，只需先求出CD的长度即可。结合已知AB=AC，及第(1)问得到的AF=AD，可通过HL定理证明Rt△ABF≌Rt△ACD，得到BF=CD，再利用线段差计算即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠D=90°，
∴ AD⊥DE，
∵ EA平分∠DEF，
∴ ∠AED = ∠AEF，
又
∵ AF⊥EF，
∴ 根据角平分线的性质，可得AF = AD。
(2) 解：
在Rt△ABF和Rt△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△ACD（HL），
∴ BF = CD=7，
∵ DE=3，
∴ CE=CD-DE=7-3=4。
【答案】
(1) AF=AD得证；
(2) CE的长为4。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题为几何基础综合题，解题核心是利用角平分线性质得到等线段，再通过直角三角形全等实现已知线段长度的转化，是角平分线相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图13，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠CBE=180°. 求证：
(1)BC=CD；
(2)2AE=AB+AD.

4. 证明:(1)如图,过C作CF⊥AD于F,
∵ AC平分∠BAD,CE⊥AB,
∴ CF=CE.
∵ ∠ADC+∠CBE=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴ ∠CBE=∠FDC. 在△FDC和△EBC中,
∵ $\begin{cases} ∠CFD=∠CEB=90°,\\ ∠FDC=∠CBE,\\ FC=CE, \end{cases}$
∴ △FDC≌△EBC(AAS),
∴ CD=BC.
(2)
∵ △FDC≌△EBC,
∴ DF=BE. 在Rt△AFC和Rt△AEC中,
∵ $\begin{cases} AC=AC,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴ Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴ AF=AE,
∴ AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE.

【分析】
(1)要证明BC=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。已知AC是∠BAD的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点C作AD的垂线CF，即可得到CF=CE；再结合已知∠ADC+∠CBE=180°，利用平角的定义可推出∠FDC=∠CBE，进而证明△FDC和△EBC全等，即可得到BC=CD。
(2)要证明2AE=AB+AD，属于线段和差类证明问题，可通过全等转化线段长度求解。首先利用第(1)问的全等结论得到DF=BE，再证明Rt△AFC和Rt△AEC全等得到AF=AE，最后将AB和AD拆分为含AE、BE、AF、DF的线段，通过等量代换即可得到结论。
【解析】
(1) 过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ 由角平分线的性质得CF=CE。
∵ ∠ADC+∠FDC=180°（平角的定义），且已知∠ADC+∠CBE=180°，
∴ ∠FDC=∠CBE。
在△FDC和△EBC中：
$\begin{cases} ∠CFD=∠CEB=90°,\\ ∠FDC=∠CBE,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴ △FDC≌△EBC（AAS），
∴ CD=BC。
(2) 由(1)中△FDC≌△EBC可得DF=BE。
在Rt△AFC和Rt△AEC中：
$\begin{cases} AC=AC,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴ Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴ AF=AE。
对AB+AD进行线段代换：
AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF，
将AF=AE代入得AB+AD=AE+AE=2AE，即2AE=AB+AD。
【答案】
4. 证明:(1)如图,过C作CF⊥AD于F,
∵ AC平分∠BAD,CE⊥AB,
∴ CF=CE.
∵ ∠ADC+∠CBE=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴ ∠CBE=∠FDC. 在△FDC和△EBC中,
∵ $\begin{cases} ∠CFD=∠CEB=90°,\\ ∠FDC=∠CBE,\\ FC=CE, \end{cases}$
∴ △FDC≌△EBC(AAS),
∴ CD=BC.
(2)
∵ △FDC≌△EBC,
∴ DF=BE. 在Rt△AFC和Rt△AEC中,
∵ $\begin{cases} AC=AC,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴ Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴ AF=AE,
∴ AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE.

【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题重点考查角平分线性质的应用，以及构造全等三角形证明边相等、推导线段和差关系的方法，构造辅助线是本题的解题突破口，能够有效训练几何逻辑推理能力和线段转化的思维。
【难度系数】
0.6