一、选择题
1. 若$ x^2 · x^4 · M = x^{16} $，则$ M $应为()

A.$ x^2 $
B.$ x^4 $
C.$ x^8 $
D.$ x^{10} $

1. D

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先，根据同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的法则，先算出等式左侧已知的$x^2 · x^4$的运算结果；接着，设M为$x^a$（a为正整数），将其代入原式后再次运用同底数幂乘法法则，将左侧合并为一个幂的形式；最后，根据等式两边底数相同的幂相等时指数也相等的性质，列出关于a的方程求解，即可得到M的表达式。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n均为正整数）。
第一步：计算已知同底数幂的乘积：
$x^2 · x^4 = x^{2+4}=x^6$
原等式可转化为：$x^6 · M = x^{16}$
第二步：设$M=x^a$，代入等式左侧，再次运用同底数幂乘法法则可得：
$x^6 · x^a = x^{6+a}$
第三步：等式两边底数均为x，且幂相等，因此对应指数相等，列方程：
$6+a=16$
解得$a=16-6=10$，因此$M=x^{10}$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考查对同底数幂乘法运算规则的掌握程度，熟练掌握“底数不变，指数相加”的运算规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. $(a+b)^{m+1} · (a+b)^m = (\quad)$

A.$(a+b)^{m(m+1)}$
B.$(a+b)^{2m+1}$
C.$(a+b)^{(m+1)^m}$
D.以上答案都不对

2. B

【分析】
首先观察算式，发现两个相乘的幂的底数都是$(a+b)$，属于同底数幂相乘的运算，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。接下来只需将两个幂的指数相加，再对应选项判断即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(a+b)^{m+1} · (a+b)^m$
$=(a+b)^{(m+1)+m}$
$=(a+b)^{2m+1}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是同底数幂乘法法则的基础应用题型，解题时要注意区分指数运算规则是相加而非相乘，避免误选A选项，掌握基础法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. $-a^2 · a + 2a · a^2 = (\ )$

A.$a^3$
B.$-2a^6$
C.$3a^3$
D.$-a^6$

3. A

【分析】
解题时先观察式子结构，式子包含乘法和加法两级运算，需先算乘法，再算加法。首先运用同底数幂的乘法法则分别计算两个乘法项，注意单独的a的指数为1，计算时不要遗漏；再将得到的两个同类项合并，即可得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），分步计算：
1. 计算第一项：$-a^2·a = -a^{2+1} = -a^3$
2. 计算第二项：$2a·a^2 = 2a^{1+2} = 2a^3$
3. 合并同类项：$-a^3 + 2a^3 = (-1+2)a^3 = a^3$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂的乘法规则和同类项的合并，解题时要注意单独字母的指数默认为1，同时注意运算符号，避免因马虎导致计算错误。
【难度系数】
0.8

4*. 计算$-2^{2025}+(-2)^{2026}$所得的结果是()

A.$-2^{2026}$
B.$-2^{2025}$
C.$2^{2025}$
D.$-2$

4. C

【分析】
拿到本题首先观察两个幂的特征：指数相近，底数存在关联，解题思路如下：①先区分乘方的符号：-2^2025表示2^2025的相反数，底数为2；(-2)^2026是负数的偶次幂，结果为正，可化简为2^2026。②逆用同底数幂的乘法法则，将高次幂2^2026拆分为2×2^2025，使两项出现相同的因式2^2025。③提取公因式后合并计算即可得到结果，无需计算大指数幂的具体数值。
【解析】
解：先化简各项：
∵ 偶数次幂的负数结果为正，
∴ $(-2)^{2026}=2^{2026}$
逆用同底数幂的乘法法则：$2^{2026}=2×2^{2025}$
代入原式得：
$\begin{aligned}-2^{2025}+(-2)^{2026}&=-2^{2025}+2^{2026}\\&=-2^{2025}+2×2^{2025}\\&=2^{2025}×(-1+2)\\&=2^{2025}×1\\&=2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
乘方的符号法则；同底数幂的乘法；提公因式法
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，解题核心是准确判定乘方的符号，通过逆用同底数幂的乘法法则构造公因式，简化大指数幂的运算，需注意区分带括号的负数乘方与不带括号的乘方的符号差异。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 计算：$a · a^2 = \_\_\_\_\_\_$.

1. $a^3$

【分析】
首先观察算式，属于同底数幂相乘的运算，解题时先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意单个字母$a$的指数默认是1，不要遗漏，再将两个幂的指数相加即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m、n$为正整数），
其中单个字母$a = a^1$，因此：
$a · a^2 = a^{1+2} = a^3$
【答案】
$a^3$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题关键是牢记同底数幂的乘法法则，注意单独出现的字母默认指数为1，避免因漏看指数导致计算错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算:$a^{5}· a^{(\quad)}=a^{3}· a^{(\quad)}=a^{11};(-m)^{4}· m^{3}=$.

2. 6,8,$m^7$

【分析】
解题需用到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），该法则也可逆用。对于前两个空，我们可以设括号内的指数分别为$x、y$，根据法则列等式求指数即可；对于第二个算式，先根据偶次幂的符号性质化简$(-m)^4$，再用同底数幂乘法法则计算。
【解析】
1. 求前两个括号内的指数：
根据同底数幂的乘法法则，设第一个括号内指数为$x$，可得：
$a^5·a^x=a^{5+x}=a^{11}$
指数相等时有$5+x=11$，解得$x=11-5=6$。
设第二个括号内指数为$y$，可得：
$a^3·a^y=a^{3+y}=a^{11}$
指数相等时有$3+y=11$，解得$y=11-3=8$。
2. 计算$(-m)^4·m^3$：
负数的偶次幂为正数，因此$(-m)^4=m^4$，再根据同底数幂的乘法法则计算：
$(-m)^4·m^3=m^4·m^3=m^{4+3}=m^7$
【答案】
6，8，$m^7$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 乘方的符号法则
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，既考察法则的正向计算，也考察逆用求未知指数，解题时需注意负数偶次幂的符号判断，掌握核心法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

如果$a^x · a^3 = a^4$，那么$x=$；若$y^3 · y^m · y^{2m+1} = y^{19}$，则$m=$。

3. 1,5

【分析】
本题考查同底数幂的乘法法则的应用，解题思路如下：第一步，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将等号左侧的多个同底数幂合并为单个同底数幂；第二步，根据两个同底数幂相等（底数不为0）时，指数也相等的性质，将幂的等式转化为关于未知数的一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可得到未知数的值。
【解析】
1. 求x的值：
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数，$a ≠ 0$），可得：
$a^x · a^3 = a^{x+3}$
已知$a^x · a^3 = a^4$，因此$a^{x+3}=a^4$，等式两侧底数相同且不为0，故指数相等：
$x + 3 = 4$
解得：$x=1$
2. 求m的值：
同理，对左侧的同底数幂进行合并：
$y^3 · y^m · y^{2m+1} = y^{3 + m + 2m + 1} = y^{3m + 4}$
已知$y^3 · y^m · y^{2m+1} = y^{19}$，因此$y^{3m+4}=y^{19}$，指数相等：
$3m + 4 = 19$
移项得$3m = 19 - 4 = 15$，解得：$m=5$
【答案】
1，5
【知识点】
同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握同底数幂的乘法运算规则，通过指数相等建立方程求解即可，主要考查对基础运算法则的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

已知$2^x=8$，则$2^{x+3}$的值为；已知$2^m=5$，$2^{m+n}=45$，则$2^n=$。

4. 64,9

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：1. 回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），该法则可逆用为$a^{m+n}=a^m · a^n$；2. 第一空：将$2^{x+3}$逆用法则拆分为$2^x × 2^3$，代入已知$2^x=8$即可计算结果；3. 第二空：将$2^{m+n}$拆分为$2^m × 2^n$，变形得到$2^n = 2^{m+n} ÷ 2^m$，代入已知数值计算即可。
【解析】
1. 计算$2^{x+3}$的值：
根据同底数幂乘法的逆运算可得：$2^{x+3}=2^x × 2^3$
已知$2^x=8$，$2^3=8$，代入得：$2^{x+3}=8 × 8 = 64$
2. 计算$2^n$的值：
由同底数幂乘法法则得：$2^{m+n}=2^m · 2^n$
变形可得：$2^n = 2^{m+n} ÷ 2^m$
已知$2^m=5$，$2^{m+n}=45$，代入得：$2^n=45 ÷ 5 = 9$
【答案】64，9
【知识点】同底数幂的乘法法则；同底数幂乘法的逆用
【点评】本题属于基础运算题，重点考查同底数幂乘法性质的正向、逆向运用，熟练掌握运算公式的变形是解决此类问题的核心，运算时注意不要混淆指数的运算规则。
【难度系数】0.9

三、解答题
1. 计算下列各式：
(1) $x· x^2· x^3$
(2) $x^{2m}· x^{m+1}$
(3) $(-y)^2· (-y)^3· y$
(4) $x^{1-n}· x^{4+n}· (-x)^3$
(5) $(m-n)^2· (n-m)^3· (n-m)^4$
(6) $32×(-2)^{2n}×(-2)$（$n$为正整数）
2. 一台计算机每秒可进行$10^9$次运算，它工作$10^5$秒可进行多少次运算？

1. (1)$x^6$ (2)$x^{3m+1}$ (3)$-y^6$ (4)$-x^8$ (5)$(n-m)^9$ (6)$-2^{2n+6}$ 2. $10^{14}$次

【分析】
这组习题核心考查同底数幂的乘法法则应用，解题思路如下：1. 先观察每道题的底数是否统一，若底数互为相反数，可根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”将底数转化为相同形式；2. 运用同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算指数部分；3. 常数项可先转化为幂的形式再参与计算，实际应用题直接根据“总运算量=单位时间运算量×时间”列式计算即可。
【解析】
1. 计算各小题：
(1) 根据同底数幂乘法法则，底数$x$不变，指数相加：
$x·x^2·x^3 = x^{1+2+3}=x^6$
(2) 底数均为$x$，指数相加：
$x^{2m}·x^{m+1}=x^{2m+m+1}=x^{3m+1}$
(3) 先处理符号，统一底数为$y$：
$(-y)^2·(-y)^3·y = y^2·(-y^3)·y^1 = -y^{2+3+1}=-y^6$
(4) 先化简$(-x)^3$，再计算：
$x^{1-n}·x^{4+n}·(-x)^3 = x^{1-n}·x^{4+n}·(-x^3) = -x^{(1-n)+(4+n)+3}=-x^8$
(5) 先统一底数为$(n-m)$：因为$(m-n)^2=(n-m)^2$，
所以$(m-n)^2·(n-m)^3·(n-m)^4=(n-m)^2·(n-m)^3·(n-m)^4=(n-m)^{2+3+4}=(n-m)^9$
(6) 先将32转化为$2^5$，再处理符号：
$n$为正整数，$2n$为偶数，故$(-2)^{2n}=2^{2n}$，
原式$=2^5×2^{2n}×(-2^1)=-2^{5+2n+1}=-2^{2n+6}$
2. 总运算次数=每秒运算次数×工作时间，列式得：
$10^9×10^5=10^{9+5}=10^{14}$（次）
【答案】
1. (1)$x^6$ (2)$x^{3m+1}$ (3)$-y^6$ (4)$-x^8$ (5)$(n-m)^9$ (6)$-2^{2n+6}$
2. $10^{14}$次
【知识点】
同底数幂乘法，幂的符号运算，乘方实际应用
【点评】
本组题属于同底数幂乘法的基础训练题，解题的关键是先统一底数，尤其要注意底数互为相反数时的幂的转化，以及负数幂的符号判断，熟练掌握法则即可快速解答。
【难度系数】
0.85