1. 已知直线 $ y = x + b $ 和 $ y = ax - 3 $ 相交于点 $ P(2,1) $，则关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}x - y = -b, \\ ax - y = 3\end{cases}$ 的解是（ ）。

A.$ \begin{cases} x = -1, \\ y = -2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = -2, \\ y = 1 \end{cases} $

1.B

【分析】
解题时首先要明确一次函数图象与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来验证题目给出的方程组是否为已知两条直线解析式变形得到的：把$y=x+b$移项可得$x-y=-b$，把$y=ax-3$移项可得$ax-y=3$，恰好和题中给出的方程组完全一致。而已知两条直线的交点是$P(2,1)$，因此这个交点坐标就是对应方程组的解，可直接得到答案。
【解析】
解：$\because$ 一次函数$y=x+b$和$y=ax-3$的图象交于点$P(2,1)$
将两个函数解析式变形：
由$y=x+b$移项得：$x - y = -b$
由$y=ax-3$移项得：$ax - y = 3$
$\therefore$ 方程组$\begin{cases}x - y = -b, \\ ax - y = 3\end{cases}$的解就是两个一次函数图象的交点坐标
即方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握一次函数图象交点和对应二元一次方程组解的对应关系，牢记这一规律即可直接得到答案，无需额外计算。
【难度系数】
0.8

2. 已知二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$则在平面直角坐标系中，一次函数$y=-x+3$与$y=x+1$的图象的交点坐标为( )。

A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$

2.B

【分析】
解题的核心是掌握一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系：两个一次函数图象的交点的横坐标、纵坐标，恰好是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的x、y的解。本题已经给出两个一次函数对应的二元一次方程组的解，直接对应就能得到交点坐标。
【解析】
首先将两个一次函数解析式变形联立：
y=-x+3移项可得x+y=3，y=x+1移项可得y-x=1，联立后得到的方程组就是题目给出的$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=1\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$，根据一次函数交点与方程组解的对应关系，两个一次函数图象的交点坐标就是(1,2)，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的联系
2. 一次函数交点的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要理解一次函数交点坐标和对应联立方程组的解的对应关系，不需要复杂计算就能快速得出答案，是对代数与几何结合知识点的基础应用。
【难度系数】
0.9

3. 一次函数$y=-x+b$和$y=3x$的图象如图所示，则方程组$\begin{cases}y=-x+b, \\ y=3x\end{cases}$的解为（ ）。

A.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$

3.A

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组和对应的一次函数之间的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。解题时先从图中读取两个直线交点的横坐标，再代入其中一个函数解析式求出纵坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
因为二元一次方程组$\begin{cases}y=-x+b \\ y=3x\end{cases}$的解就是一次函数$y=-x+b$和$y=3x$图象的交点坐标。
从图象可知，两个函数交点的横坐标为$x=1$，
将$x=1$代入$y=3x$，可得$y=3×1=3$，
因此交点坐标为$(1,3)$，即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，掌握该知识点即可快速得出结果，解题时要注意准确读取图象中的横坐标信息。
【难度系数】0.85

4. 下面四条直线中，直线上每个点的坐标$(x,y)$都是二元一次方程$x+2y=4$的解的是（）。

4.B

【分析】
要确定哪条直线上的点都是方程$x+2y=4$的解，首先明确：二元一次方程的所有解对应的点，共同组成了该方程对应的一次函数的图象，因此只需要先求出方程对应的直线与坐标轴的两个交点（两点确定一条直线），再对照选项找到过这两个交点的直线即可。
具体思考步骤：第一步令$x=0$，代入方程求出$y$值，得到直线与$y$轴的交点坐标；第二步令$y=0$，代入方程求出$x$值，得到直线与$x$轴的交点坐标；第三步将求出的两个交点和选项图象对比，找到匹配的选项。
【解析】
求方程$x+2y=4$对应的直线与坐标轴的交点：
1. 求与$y$轴的交点：令$x=0$，代入方程得：
$0+2y=4$，解得$y=2$，即交点坐标为$(0,2)$；
2. 求与$x$轴的交点：令$y=0$，代入方程得：
$x+2×0=4$，解得$x=4$，即交点坐标为$(4,0)$。
因此方程$x+2y=4$对应的直线是过点$(0,2)$和$(4,0)$的直线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程与一次函数的关系
2.一次函数图象与坐标轴交点求解
【点评】
本题考查二元一次方程与对应一次函数图象的关联，解题核心是利用“两点确定一条直线”的原理，通过求解直线与坐标轴的交点快速定位对应图象，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

5. 在代数式$kx+b$中，当$x$分别取$-3$，$-2$，$-1$，$1$，$2$，$3$时，对应代数式的值如表：

则$4k-2b+1$的值为（）。

A.$3$
B.$7$
C.$-5$
D.$-4$

5.B

【分析】
要计算$4k-2b+1$的值，首先需要确定$k$和$b$的取值。题目给出了代数式$kx+b$多组$x$与对应的值，我们可以任选两组数值代入代数式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$后代入所求式子计算即可。
【解析】
任选表格中两组对应值代入$kx+b$，例如取$x=1$时$kx+b=3$，$x=-1$时$kx+b=-1$，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \quad ① \\-k + b = -1 \quad ②\end{cases}$
用①+②消去$k$，得$2b=2$，解得$b=1$。
将$b=1$代入①，得$k + 1 = 3$，解得$k=2$。
验证：将$k=2$、$b=1$代入其余组$x$计算，结果均与表格一致，取值正确。
将$k=2$、$b=1$代入$4k-2b+1$：
$4×2 - 2×1 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7$
【答案】
B
【知识点】
待定系数法，二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用给定的对应关系列方程组求解未知系数，计算时注意符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8

6. 若以二元一次方程 $2x + y = 6$ 的解为坐标的点 $P(x, y)$ 恰好在直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 上，则点P在（）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

6.A

【分析】
要确定点P所在的象限，首先需要求出点P的坐标$(x,y)$。已知点P既满足二元一次方程$2x+y=6$，又在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，说明$x$和$y$同时满足这两个方程，因此我们可以联立这两个方程组成二元一次方程组，解出$x$和$y$的值，再根据各象限内坐标的正负特征判断所在象限即可。
【解析】
根据题意，点$P(x,y)$同时满足方程$2x+y=6$和$y=\frac{1}{2}x + 1$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x + y = 6 \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，得：
$2x + \frac{1}{2}x + 1 = 6$
合并同类项得：$\frac{5}{2}x = 5$
解得：$x=2$
把$x=2$代入$y = \frac{1}{2}x + 1$，得$y = \frac{1}{2}×2 +1 = 2$
所以点P的坐标为$(2,2)$，横纵坐标均为正数，因此点P在第一象限。
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的求解；一次函数与二元一次方程的关系；象限坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是理解“同时满足两个方程的解就是两个函数图象的交点坐标”，再结合象限坐标特征判断即可，考察的都是基础知识点的运用。
【难度系数】
0.8

7. 定义:我们把一次函数 $ y = kx + b $ 与正比例函数 $ y = -x $ 的交点称为一次函数 $ y = kx + b $ 的“关联点”。例如，$ y = 2x + 3 $ 的“关联点”为$ (-1,1) $。给出下列说法：
①一次函数 $ y = 3x + 4 $ 的“关联点”为$ (-1,1) $；②若一次函数 $ y = mx + n $ 的“关联点”为$ (2, n - 1) $，则 $ m = \frac{1}{2}, n = -1 $；③若一次函数 $ y = 3x + 4 $ 和一次函数 $ y = kx + 3 $ 的“关联点”相同，则 $ k = 2 $；④若一次函数 $ y = kx - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，且一次函数 $ y = kx - 3 $ 没有“关联点”，点 $ P $ 为 $ x $ 轴上一个动点，使得 $ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} S_{△ ABO} $，则点 $ P $ 的坐标为$ ( -\frac{3}{2}, 0 ) $。其中正确的是()。

A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④

7.B

【分析】首先明确题中“关联点”的定义：一次函数$y=kx+b$与正比例函数$y=-x$的交点即为该一次函数的“关联点”。解题时先根据定义，通过联立方程或代入坐标验证的方法，逐一判断4个说法的正误，最后选出正确的选项即可。
【解析】我们根据“关联点”的定义逐一判断：
1. 判断①：联立$y=3x+4$与$y=-x$，将$y=-x$代入$y=3x+4$得：$-x=3x+4$，解得$x=-1$，$y=-x=1$，即关联点为$(-1,1)$，故①正确；
2. 判断②：关联点$(2,n-1)$在$y=-x$上，代入得$n-1=-2$，解得$n=-1$；再将点$(2,-2)$代入$y=mx+n$得：$-2=2m-1$，解得$m=-\frac{1}{2}$，与题干中$m=\frac{1}{2}$不符，故②错误；
3. 判断③：由①得$y=3x+4$的关联点为$(-1,1)$，该点也在$y=kx+3$上，代入得$1=-k+3$，解得$k=2$，故③正确；
4. 判断④：$y=kx-3$没有关联点，即联立$y=kx-3$与$y=-x$无解，整理得$(k+1)x=3$，当$k+1=0$即$k=-1$时方程无解。此时一次函数为$y=-x-3$，与$x$轴交点$A(-3,0)$，与$y$轴交点$B(0,-3)$。
计算得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×|OA|×|OB|=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，因此要求$S_{△ ABP}=\frac{9}{4}$。
设$P(p,0)$，则$AP$的长度为$|p+3|$，$△ ABP$的高为$B$到$x$轴的距离$3$，所以$\frac{1}{2}×|p+3|×3=\frac{9}{4}$，解得$|p+3|=\frac{3}{2}$，即$p=-\frac{3}{2}$或$p=-\frac{9}{2}$，$P$点有两个坐标，题干只给出一个，故④错误。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】B
【知识点】一次函数交点问题，一次函数性质，三角形面积计算
【点评】本题属于新定义题型，核心是准确理解新定义的规则，再结合一次函数、坐标系内三角形面积的相关知识逐一验证结论，求解面积类问题时要注意距离带绝对值，避免漏解。
【难度系数】0.65