8. 如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2026个格子中的数为()。
3 a b c -1 2 …

A.3
B.2
C.0
D.−1

8. A

【分析】首先根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”的条件列等式，先求出c、a的值，推导数列的循环规律，再结合已知第9格的数值确定完整的循环周期，最后通过带余除法计算2026对应的周期位置，即可得到对应数值。
【解析】
解：
∵任意三个相邻格子中所填整数之和相等，
∴$3+a+b=a+b+c$，解得$c=3$；
$a+b+c=b+c+(-1)$，解得$a=-1$。
此时数列从左到右依次为：3，-1，b，3，-1，b，……，可知数列以3、-1、b三个数为一个周期循环。
观察得第9个格子的数为2，$9÷3=3$，余数为0，说明第9个数对应周期的最后一个数，即$b=2$，因此循环周期为3，循环序列是3、-1、2。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明第2026个格子的数与周期中第1个数相同，为3。
【答案】A
【知识点】数字规律探究；周期计算；等式的性质
【点评】本题是规律探究类典型题，核心是先根据给定条件推导循环周期，再结合已知数值确定周期的具体内容，最后用带余除法定位目标位置的数值，解题时要注意余数对应周期位置的准确性。
【难度系数】0.7

9. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k, \\ x-y=9k\end{cases}$的解也是二元一次方程$2x+3y=6$的解，则$k$的值为 ______ 。

9. $\frac{3}{4}$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先解关于x、y的二元一次方程组，通过加减消元法用含k的代数式表示出x和y的值；第二步根据“方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解”，将用k表示的x、y代入该方程，得到只含k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}x+y=5k, \\ x-y=9k\end{cases}$：
1. 加减消元求x：将两个方程左右两边分别相加，得$(x+y)+(x-y)=5k+9k$，
化简得$2x=14k$，解得$x=7k$。
2. 代入求y：把$x=7k$代入$x+y=5k$，得$7k+y=5k$，
解得$y=5k-7k=-2k$。
因为方程组的解也是$2x+3y=6$的解，将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$，得：
$2×7k + 3×(-2k)=6$，
化简左边得$14k-6k=8k$，即$8k=6$，
解得$k=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查方程解的含义，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组，以及将公共解代入对应方程建立参数方程的思路，计算量小，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

10. 一个三位数，个位、十位、百位上的数字的和是14，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，个位上的数字的2倍比十位、百位上的数字的和大4，则这个三位数是。

10. 176

【分析】
本题是数位相关的应用题，可通过设未知数建立方程组求解。首先设出这个三位数个位、十位、百位上的数字分别为三个未知数，再根据题目给出的三个等量关系：①三个数位数字之和为14；②个位与百位数字之和等于十位数字；③个位数字的2倍比十位、百位数字之和大4，列出三元一次方程组，通过消元法逐步解出三个数位的数字，最后组合得到三位数即可。
【解析】
设这个三位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，百位数字为$z$，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 14 \quad \mathrm{(1)} \\x + z = y \quad \quad \mathrm{(2)} \\2x = y + z + 4 \quad \mathrm{(3)}\end{cases}$
第一步，将式(2)代入式(1)，可得：
$y + y = 14$，解得$y=7$。
第二步，把$y=7$代入式(2)和式(3)，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}x + z =7 \quad \quad \mathrm{(4)} \\2x - z = 11 \quad \mathrm{(5)}\end{cases}$
第三步，式(4)加式(5)消去$z$，可得：
$3x=18$，解得$x=6$。
第四步，把$x=6$代入式(4)，得$6 + z =7$，解得$z=1$。
所以百位数字是1，十位数字是7，个位数字是6，这个三位数为$1×100 + 7×10 + 6 = 176$。
【答案】
176
【知识点】
三元一次方程组的应用，三元一次方程组的解法，数位的意义
【点评】
本题是三元一次方程组在数位问题中的典型应用，解题核心是准确找到题目中的等量关系列方程组，消元求解时可以灵活选择代入消元法或加减消元法，只要理清数位间的数量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

11. 符号，△，○各代表一个数字，且满足以下三个等式：$□ +□ +△ +◯ =17$，$□ +△ +△ +◯ =14$，$□ +△ +◯ +◯ =13$，则$□$代表的数字是。

11. 6

【分析】
本题可通过设未知数将三个等式转化为三元一次方程组，解题时可运用整体思想：先将三个等式左右两边分别相加，得到4倍的三个符号的数值之和，求出三个符号的总和后，再用第一个等式减去该总和，即可直接求出代表的数字，相比逐个消元求解更简便。
【解析】
设代表的数字为$x$，△代表的数字为$y$，○代表的数字为$z$，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + y + z = 17 \quad \mathrm{①} \\x + 2y + z = 14 \quad \mathrm{②} \\x + y + 2z = 13 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+②+③，左边合并同类项，右边求和得：
$4x + 4y + 4z = 44$
两边同时除以4，得：
$x + y + z = 11 \quad \mathrm{④}$
用①减去④，得：
$(2x + y + z) - (x + y + z) = 17 - 11$
化简得$x=6$，即代表的数字是6。
【答案】
6
【知识点】
三元一次方程组求解；加减消元法；整体思想求值
【点评】
本题重点考察三元一次方程组的灵活解法，运用整体求和再作差的思路可简化计算，无需逐个求出所有未知数即可得到目标结果，能很好的检验学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

12. 解方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 4y - 3z = 9, \\3x - 2y - 4z = 8, \\5x - 6y - 5z = 7;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x:y = 3:2, \\y:$$ = 2:5, \\x + y + z = 60.\end{cases}$

12. (1)$\begin{cases} x=-1, \\ y=\frac{1}{2}, \\ z=-3 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=18, \\ y=12, \\ z=30 \end{cases}$

【分析】
本题考查三元一次方程组的求解，分两种题型：
（1）普通三元一次方程组：观察三个方程中y的系数成倍数关系，优先选择消去y，通过加减消元将三元方程组转化为二元一次方程组，求解二元方程组得到x、z的值，再代入原方程求y即可。
（2）连比型三元一次方程组：先根据已知的两个比例关系得到x、y、z的连比，再通过设参数k的方法，将x、y、z都用含k的代数式表示，代入第三个方程转化为一元一次方程求出k，进而得到x、y、z的值。
【解析】
（1）解方程组$\begin{cases}2x + 4y - 3z = 9&① \\3x - 2y - 4z = 8&② \\5x - 6y - 5z = 7&③\end{cases}$
第一步：消去y，将②×2得：$6x-4y-8z=16$ ④
①+④得：$8x-11z=25$ ⑤
第二步：继续消去y，将②×3得：$9x-6y-12z=24$ ⑥
⑥-③得：$4x-7z=17$ ⑦
第三步：解由⑤⑦组成的二元一次方程组：
将⑦×2得：$8x-14z=34$ ⑧
⑤-⑧得：$3z=-9$，解得$z=-3$
把$z=-3$代入⑦得：$4x-7×(-3)=17$，解得$x=-1$
第四步：把$x=-1$，$z=-3$代入②得：$3×(-1)-2y-4×(-3)=8$，解得$y=\frac{1}{2}$
（2）解方程组$\begin{cases}x:y = 3:2&① \\y:z = 2:5&② \\x + y + z = 60&③\end{cases}$
第一步：由①②可得$x:y:z=3:2:5$
第二步：设$x=3k$，$y=2k$，$z=5k$（$k≠0$），代入③得：
$3k+2k+5k=60$，即$10k=60$，解得$k=6$
第三步：分别计算x、y、z：
$x=3×6=18$，$y=2×6=12$，$z=5×6=30$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-1, \\ y=\frac{1}{2}, \\ z=-3 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=18, \\ y=12, \\ z=30 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、加减消元法、比例的性质
【点评】
这两道是三元一次方程组的典型基础题，第一题消元时优先选择系数存在倍数关系的未知数，可简化计算；第二题属于比例型方程组，用设参数的方法求解更简便，核心是掌握消元思想和参数法的应用。
【难度系数】
0.7

13.【数学应用】在平面直角坐标系中，若点$P(x,y)$的坐标$x,y$均为整数，则称点$P$为格点。将一个多边形的面积记为$S$，其内部的格点数记为$N$，边界上的格点数记为$L$。例如，图中$△ ABC$是格点三角形，对应的$S=1$，$N=0$，$L=4$。
(1)求出图中格点四边形$DEFG$对应的$S$，$N$，$L$的值。
(2)已知格点多边形的面积可表示为$S=N+aL+b$，其中$a,b$为常数。若某格点多边形对应的$N=82$，$L=38$，求$S$的值。

13. 解:(1)根据题图,可得 $S=3,N=1,L=6$。
(2)根据格点$△ ABC$及格点四边形$DEFG$对应的$S,N,L$的值可得,
$\begin{cases} 4a+b=1, \\ 1+6a+b=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2}, \\ b=-1, \end{cases}$
所以 $S=N+\frac{1}{2}L-1$。
将 $N=82,L=38$ 代入,
可得 $S=82+\frac{1}{2}×38-1=100$。

【分析】
(1) 求解格点四边形的相关数值时，面积$S$可通过割补法或数方格（不满1格按半格计算）得到；内部格点数$N$是四边形内部横、纵坐标均为整数的点的总数；边界格点数$L$是四边形四条边上横、纵坐标均为整数的点的总数，逐一计数即可得到对应值。
(2) 已知面积公式$S=N+aL+b$中有两个未知参数$a、b$，结合题干给出的$△ ABC$的$S、N、L$，以及第(1)问求得的四边形$DEFG$的$S、N、L$，可得到两组等量关系，联立为二元一次方程组求解得到$a、b$的值，最后将$N=82、L=38$代入公式即可求出$S$。
【解析】
(1) 观察格点四边形$DEFG$：
用割补法计算面积：将四边形拆分为两个三角形，面积和为$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×1=3$，即$S=3$；
数内部格点：四边形内部只有1个格点，即$N=1$；
数边界格点：四边形四条边上的格点共6个，即$L=6$。
(2) 将$△ ABC$和四边形$DEFG$的$S、N、L$分别代入公式$S=N+aL+b$，得方程组：
$\begin{cases} 0 + 4a + b = 1 \\ 1 + 6a + b = 3 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$1+2a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入$4a+b=1$，得$2+b=1$，解得$b=-1$。
因此面积公式为$S=N+\frac{1}{2}L-1$。
将$N=82，L=38$代入公式，得：
$S=82+\frac{1}{2}×38-1=82+19-1=100$。
【答案】
(1) $S=3，N=1，L=6$；(2) $S=100$
【知识点】
二元一次方程组应用，格点图形计数，代数式求值
【点评】
本题结合格点图形的新定义考查二元一次方程组的实际应用，解题核心是准确提取已知数据列方程组求参数，侧重考查学生的信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7