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1. 含有
三
个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1
，这样的方程叫作三元一次方程，如$2x+3y+z=8$等。答案
1. 三 1
解析
【分析】
本题考查三元一次方程的基础定义，解题时可结合概念名称拆分理解：“三元”对应未知数的数量，“一次”对应所含未知数项的次数，回忆三元一次方程的两个核心判定要素即可完成填空。
【解析】
根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程，因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
三 1
【知识点】
三元一次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对三元一次方程定义中两个关键要素的掌握，牢记概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查三元一次方程的基础定义，解题时可结合概念名称拆分理解：“三元”对应未知数的数量，“一次”对应所含未知数项的次数，回忆三元一次方程的两个核心判定要素即可完成填空。
【解析】
根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程，因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
三 1
【知识点】
三元一次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对三元一次方程定义中两个关键要素的掌握，牢记概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 共含有
方程，叫作三元一次方程组。
C. $\begin{cases} x=0, \\ y=-1, \\ z=0 \end{cases}$ D. $\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \\ z=3 \end{cases}$
三个
未知数的三个一次方程所组成的一方程，叫作三元一次方程组。C. $\begin{cases} x=0, \\ y=-1, \\ z=0 \end{cases}$ D. $\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \\ z=3 \end{cases}$
答案
2. 三个
解析
【分析】
本题考查三元一次方程组的基础定义，解题时先回忆三元一次方程组的相关概念，“三元”代表的就是方程组总共包含的未知数的个数，结合定义内容直接对应填空即可。
【解析】
根据三元一次方程组的定义：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组，因此此处应填“三个”。
【答案】
三个
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，牢记相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查三元一次方程组的基础定义，解题时先回忆三元一次方程组的相关概念，“三元”代表的就是方程组总共包含的未知数的个数，结合定义内容直接对应填空即可。
【解析】
根据三元一次方程组的定义：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组，因此此处应填“三个”。
【答案】
三个
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，牢记相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 方程组$\begin{cases}x - z = 4, \\ x - 2y = 1, \\ 3y + z = 2\end{cases}$，经消元后得到的一个关于$x,y$的二元一次方程组为 ______ 。
。
。
答案
3. $\begin{cases} x-2y=1, \\ x+3y=6 \end{cases}$
解析
【分析】
要得到关于x、y的二元一次方程组，需消去三元一次方程组中的未知数z。观察原方程组，第二个方程$x-2y=1$已经只含x、y，因此只需处理剩余两个含z的方程：第一个方程含-z，第三个方程含+z，将两式相加即可消去z，得到另一个只含x、y的方程，再与原第二个方程组合即可。
【解析】
记原方程组为：
$\begin{cases}x - z = 4 \quad \mathrm{①} \\x - 2y = 1 \quad \mathrm{②} \\3y + z = 2 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+③消去z，左边相加得$x-z+3y+z=x+3y$，右边相加得$4+2=6$，因此得到新方程：
$x+3y=6 \quad \mathrm{④}$
联立②和④，即可得到关于x、y的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-2y=1, \\ x+3y=6 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组消元；加减消元法
【点评】
本题考察三元一次方程组的消元思想，解题关键是明确消元目标，观察待消未知数的系数特征选择简便的消元方法，本题中z的系数互为相反数，直接用加减消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要得到关于x、y的二元一次方程组，需消去三元一次方程组中的未知数z。观察原方程组，第二个方程$x-2y=1$已经只含x、y，因此只需处理剩余两个含z的方程：第一个方程含-z，第三个方程含+z，将两式相加即可消去z，得到另一个只含x、y的方程，再与原第二个方程组合即可。
【解析】
记原方程组为：
$\begin{cases}x - z = 4 \quad \mathrm{①} \\x - 2y = 1 \quad \mathrm{②} \\3y + z = 2 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+③消去z，左边相加得$x-z+3y+z=x+3y$，右边相加得$4+2=6$，因此得到新方程：
$x+3y=6 \quad \mathrm{④}$
联立②和④，即可得到关于x、y的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-2y=1, \\ x+3y=6 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组消元；加减消元法
【点评】
本题考察三元一次方程组的消元思想，解题关键是明确消元目标，观察待消未知数的系数特征选择简便的消元方法，本题中z的系数互为相反数，直接用加减消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程组$\begin{cases}x+y=-1, \\ x+z=0, \\ y+z=2,\end{cases}$ 则 $x+y+z=$ ______ 。
答案
4. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题要求$x+y+z$的值，可利用整体思想求解，不需要分别求出$x$、$y$、$z$的取值。观察三个方程的左边，相加后刚好是2倍的$(x+y+z)$，根据等式的性质，将三个方程左右两边分别相加，即可直接求出$x+y+z$的结果。
【解析】
给三个方程依次编号：
$\begin{cases}x+y=-1 \quad \mathrm{①} \\ x+z=0 \quad \mathrm{②} \\ y+z=2 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得：$(x+y)+(x+z)+(y+z)=2x+2y+2z=2(x+y+z)$
右边相加得：$-1+0+2=1$
因此可得等式：$2(x+y+z)=1$
等式两边同时除以2，得：$x+y+z=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三元一次方程组的求解，等式的性质，整体思想
【点评】
本题考查方程组的灵活求解，采用整体相加的方法可避免单独求解三个未知数，简化计算过程，核心是对等式性质的熟练应用和整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
本题要求$x+y+z$的值，可利用整体思想求解，不需要分别求出$x$、$y$、$z$的取值。观察三个方程的左边，相加后刚好是2倍的$(x+y+z)$，根据等式的性质，将三个方程左右两边分别相加，即可直接求出$x+y+z$的结果。
【解析】
给三个方程依次编号：
$\begin{cases}x+y=-1 \quad \mathrm{①} \\ x+z=0 \quad \mathrm{②} \\ y+z=2 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得：$(x+y)+(x+z)+(y+z)=2x+2y+2z=2(x+y+z)$
右边相加得：$-1+0+2=1$
因此可得等式：$2(x+y+z)=1$
等式两边同时除以2，得：$x+y+z=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三元一次方程组的求解，等式的性质，整体思想
【点评】
本题考查方程组的灵活求解，采用整体相加的方法可避免单独求解三个未知数，简化计算过程，核心是对等式性质的熟练应用和整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
5. 当$x=0,1,-1$时，二次三项式$ax^2+bx+c$的值分别为5,6,10，则$a=$
3
，$b=$-2
，$c=$5
。答案
5. 3 -2 5
解析
【分析】
解题思路：已知x取不同值时二次三项式的取值，我们可以将x的取值分别代入二次三项式，得到3个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组，再通过消元法求解方程组即可得到a、b、c的值。第一步先代入x=0，可直接求出c的值，大幅简化后续计算；第二步将c的值代入另外两个方程，把三元一次方程组转化为二元一次方程组；第三步解二元一次方程组求出a、b的值。
【解析】
解：将x的取值分别代入二次三项式$ax^2+bx+c$，可得：
1. 当$x=0$时：$a×0^2 + b×0 + c = 5$，解得$\boldsymbol{c=5}$；
2. 当$x=1$时：$a×1^2 + b×1 + c = 6$，整理得$a + b + c = 6$ ①；
3. 当$x=-1$时：$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 10$，整理得$a - b + c = 10$ ②。
把$c=5$代入①和②，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 1 \quad ③\\a - b = 5 \quad ④\end{cases}$
用③+④消去b，得：$2a = 6$，解得$\boldsymbol{a=3}$。
把$a=3$代入③，得：$3 + b = 1$，解得$\boldsymbol{b=-2}$。
【答案】
3；-2；5
【知识点】
代数式求值；解三元一次方程组；消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题的突破口是代入x=0快速求出c的值，降低方程组的求解难度，核心考查学生建立方程的能力和消元法解方程的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路：已知x取不同值时二次三项式的取值，我们可以将x的取值分别代入二次三项式，得到3个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组，再通过消元法求解方程组即可得到a、b、c的值。第一步先代入x=0，可直接求出c的值，大幅简化后续计算；第二步将c的值代入另外两个方程，把三元一次方程组转化为二元一次方程组；第三步解二元一次方程组求出a、b的值。
【解析】
解：将x的取值分别代入二次三项式$ax^2+bx+c$，可得：
1. 当$x=0$时：$a×0^2 + b×0 + c = 5$，解得$\boldsymbol{c=5}$；
2. 当$x=1$时：$a×1^2 + b×1 + c = 6$，整理得$a + b + c = 6$ ①；
3. 当$x=-1$时：$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 10$，整理得$a - b + c = 10$ ②。
把$c=5$代入①和②，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 1 \quad ③\\a - b = 5 \quad ④\end{cases}$
用③+④消去b，得：$2a = 6$，解得$\boldsymbol{a=3}$。
把$a=3$代入③，得：$3 + b = 1$，解得$\boldsymbol{b=-2}$。
【答案】
3；-2；5
【知识点】
代数式求值；解三元一次方程组；消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题的突破口是代入x=0快速求出c的值，降低方程组的求解难度，核心考查学生建立方程的能力和消元法解方程的掌握程度。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法不正确的是(
A.方程 $3x+2y+z=20$ 有唯一一个解
B.若 $x,y,z$ 是非负数,则三元一次方程 $3x+5y+2z=0$ 只有一个解
C.方程 $4a+b+2c=7$ 是三元一次方程
D.方程组 $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=-1 \end{cases}$ 是三元一次方程组
A
)。A.方程 $3x+2y+z=20$ 有唯一一个解
B.若 $x,y,z$ 是非负数,则三元一次方程 $3x+5y+2z=0$ 只有一个解
C.方程 $4a+b+2c=7$ 是三元一次方程
D.方程组 $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=-1 \end{cases}$ 是三元一次方程组
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查三元一次方程、三元一次方程组的定义，以及三元一次方程解的情况判断。解题时需结合相关概念逐个分析选项：首先回忆三元一次方程的定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程；再明确三元一次方程解的特征：无特殊限制时，一个三元一次方程有无数组解，若有非负性等特殊限制时可能只有有限组解；最后结合三元一次方程组的定义，依次验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三元一次方程$3x+2y+z=20$没有附加限制条件时，任意给两个未知数赋值，都能求出对应的第三个未知数的值，因此有无数组解，不是唯一解，该说法错误。
选项B：三元一次方程$3x+5y+2z=0$中，若$x,y,z$是非负数，则$3x≥0$、$5y≥0$、$2z≥0$，三个非负数相加等于0，只能每个项都为0，即$x=y=z=0$，只有1个解，该说法正确。
选项C：方程$4a+b+2c=7$含有$a、b、c$三个未知数，且含未知数的项的次数都是1，属于整式方程，符合三元一次方程的定义，该说法正确。
选项D：方程组$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=-1 \end{cases}$含有$x、y、z$三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，属于整式方程组，符合三元一次方程组的定义，该说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程的定义，三元一次方程组的定义，三元一次方程的解
【点评】
这道题属于基础概念考查题，需要准确掌握三元一次相关的定义和解的特征，尤其注意区分有无限制条件时三元一次方程解的数量差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
这道题考查三元一次方程、三元一次方程组的定义，以及三元一次方程解的情况判断。解题时需结合相关概念逐个分析选项：首先回忆三元一次方程的定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程；再明确三元一次方程解的特征：无特殊限制时，一个三元一次方程有无数组解，若有非负性等特殊限制时可能只有有限组解；最后结合三元一次方程组的定义，依次验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三元一次方程$3x+2y+z=20$没有附加限制条件时，任意给两个未知数赋值，都能求出对应的第三个未知数的值，因此有无数组解，不是唯一解，该说法错误。
选项B：三元一次方程$3x+5y+2z=0$中，若$x,y,z$是非负数，则$3x≥0$、$5y≥0$、$2z≥0$，三个非负数相加等于0，只能每个项都为0，即$x=y=z=0$，只有1个解，该说法正确。
选项C：方程$4a+b+2c=7$含有$a、b、c$三个未知数，且含未知数的项的次数都是1，属于整式方程，符合三元一次方程的定义，该说法正确。
选项D：方程组$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=-1 \end{cases}$含有$x、y、z$三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，属于整式方程组，符合三元一次方程组的定义，该说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程的定义，三元一次方程组的定义，三元一次方程的解
【点评】
这道题属于基础概念考查题，需要准确掌握三元一次相关的定义和解的特征，尤其注意区分有无限制条件时三元一次方程解的数量差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
2. 下列四组数值为方程组$\begin{cases}x+2y+z=0,\\2x-y-z=1,\\3x-y-z=2\end{cases}$的解的是（ ）。
A.$\begin{cases}x=0,\\y=1,\\z=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=1,\\y=0,\\z=1\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=0,\\y=1,\\z=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=1,\\y=0,\\z=1\end{cases}$
答案
2. D
解析
【分析】
解这道题有两种思路：一是消元法，先观察方程组的系数特点，发现第2、3个方程中y和z的系数完全相同，可通过两式相减直接消去y、z，先求出x的值，再将x代入剩下的方程，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，依次求出y、z的值，最后匹配选项即可；二是代入验证法，把每个选项的数值分别代入三个方程，三个方程都成立的选项就是方程组的解。
【解析】
我们用消元法求解：
记方程组为$\begin{cases}①x+2y+z=0\\②2x-y-z=1\\③3x-y-z=2\end{cases}$
1. 用③式减去②式，可得：
$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$，化简得$x=1$，可直接排除x=0的A选项。
2. 将$x=1$代入②式，得$2×1 - y - z=1$，整理得$④\ y+z=1$。
3. 将$x=1$代入①式，得$1+2y+z=0$，整理得$⑤\ 2y+z=-1$。
4. 用⑤式减去④式，可得：
$(2y+z)-(y+z)=-1-1$，解得$y=-2$。
5. 将$y=-2$代入④式，得$-2+z=1$，解得$z=3$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\\z=3\end{cases}$，对应选项D。
也可代入选项验证：B选项代入①式，左边$=1+0+1=2≠0$，排除B，最终选D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，方程的解检验
【点评】
本题是三元一次方程组的基础题型，通过观察系数选择合适的消元顺序可以大幅简化计算，也可以用代入验证的方法快速排除错误选项，核心是掌握消元降次的思想。
【难度系数】
0.8
解这道题有两种思路：一是消元法，先观察方程组的系数特点，发现第2、3个方程中y和z的系数完全相同，可通过两式相减直接消去y、z，先求出x的值，再将x代入剩下的方程，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，依次求出y、z的值，最后匹配选项即可；二是代入验证法，把每个选项的数值分别代入三个方程，三个方程都成立的选项就是方程组的解。
【解析】
我们用消元法求解：
记方程组为$\begin{cases}①x+2y+z=0\\②2x-y-z=1\\③3x-y-z=2\end{cases}$
1. 用③式减去②式，可得：
$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$，化简得$x=1$，可直接排除x=0的A选项。
2. 将$x=1$代入②式，得$2×1 - y - z=1$，整理得$④\ y+z=1$。
3. 将$x=1$代入①式，得$1+2y+z=0$，整理得$⑤\ 2y+z=-1$。
4. 用⑤式减去④式，可得：
$(2y+z)-(y+z)=-1-1$，解得$y=-2$。
5. 将$y=-2$代入④式，得$-2+z=1$，解得$z=3$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\\z=3\end{cases}$，对应选项D。
也可代入选项验证：B选项代入①式，左边$=1+0+1=2≠0$，排除B，最终选D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，方程的解检验
【点评】
本题是三元一次方程组的基础题型，通过观察系数选择合适的消元顺序可以大幅简化计算，也可以用代入验证的方法快速排除错误选项，核心是掌握消元降次的思想。
【难度系数】
0.8
6. 解方程组：
(1) $\begin{cases}x + y + z = 6, \\y - z = 4, \\x - y - 2z = 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y - z = 11, \\y + z - x = 5, \\z + x - y = 1。\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x + y + z = 6, \\y - z = 4, \\x - y - 2z = 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y - z = 11, \\y + z - x = 5, \\z + x - y = 1。\end{cases}$
答案
6. (1)$\begin{cases} x=4, \\ y=3, \\ z=-1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3 \end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过消去一个未知数将三元方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。
对于(1)，观察到第二个方程仅含y和z两个未知数，可先将y用含z的代数式表示，再代入其余两个方程消去y，得到关于x和z的二元一次方程组求解，最后回代求y；
对于(2)，观察三个方程的系数特点，将三个方程左右两边分别相加，可直接得到x+y+z的值，再将其与每个原方程作差，就能快速求出各个未知数的值，比常规消元更简便。
【解析】
(1) 给方程组标号：
$\begin{cases}x + y + z = 6&① \\y - z = 4&② \\x - y - 2z = 3&③\end{cases}$
由②移项得：$y = z + 4$ ④
将④分别代入①和③：
代入①：$x + (z+4) + z = 6$，整理得$x + 2z = 2$ ⑤
代入③：$x - (z+4) - 2z = 3$，整理得$x - 3z = 7$ ⑥
用⑤-⑥消去x：
$(x+2z) - (x-3z) = 2 - 7$
$5z = -5$，解得$z = -1$
把$z=-1$代入④得：$y = -1 + 4 = 3$
把$y=3$，$z=-1$代入①得：$x + 3 - 1 = 6$，解得$x=4$
(2) 给方程组标号：
$\begin{cases}x + y - z = 11&① \\y + z - x = 5&② \\z + x - y = 1&③\end{cases}$
将①+②+③，左右分别相加：
左边：$(x+y-z)+(y+z-x)+(z+x-y) = x + y + z$
右边：$11 + 5 + 1 = 17$
得：$x + y + z = 17$ ④
用④-①消去x、y：
$(x+y+z) - (x+y-z) = 17 - 11$
$2z = 6$，解得$z=3$
用④-②消去y、z：
$(x+y+z) - (y+z-x) = 17 - 5$
$2x = 12$，解得$x=6$
用④-③消去x、z：
$(x+y+z) - (z+x-y) = 17 - 1$
$2y = 16$，解得$y=8$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \\ z=-1 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x=6 \\ y=8 \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
这两道题是三元一次方程组的基础典型题，解题前优先观察方程组的结构特征，选择适配的消元方法可以大幅简化计算过程，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过消去一个未知数将三元方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。
对于(1)，观察到第二个方程仅含y和z两个未知数，可先将y用含z的代数式表示，再代入其余两个方程消去y，得到关于x和z的二元一次方程组求解，最后回代求y；
对于(2)，观察三个方程的系数特点，将三个方程左右两边分别相加，可直接得到x+y+z的值，再将其与每个原方程作差，就能快速求出各个未知数的值，比常规消元更简便。
【解析】
(1) 给方程组标号：
$\begin{cases}x + y + z = 6&① \\y - z = 4&② \\x - y - 2z = 3&③\end{cases}$
由②移项得：$y = z + 4$ ④
将④分别代入①和③：
代入①：$x + (z+4) + z = 6$，整理得$x + 2z = 2$ ⑤
代入③：$x - (z+4) - 2z = 3$，整理得$x - 3z = 7$ ⑥
用⑤-⑥消去x：
$(x+2z) - (x-3z) = 2 - 7$
$5z = -5$，解得$z = -1$
把$z=-1$代入④得：$y = -1 + 4 = 3$
把$y=3$，$z=-1$代入①得：$x + 3 - 1 = 6$，解得$x=4$
(2) 给方程组标号：
$\begin{cases}x + y - z = 11&① \\y + z - x = 5&② \\z + x - y = 1&③\end{cases}$
将①+②+③，左右分别相加：
左边：$(x+y-z)+(y+z-x)+(z+x-y) = x + y + z$
右边：$11 + 5 + 1 = 17$
得：$x + y + z = 17$ ④
用④-①消去x、y：
$(x+y+z) - (x+y-z) = 17 - 11$
$2z = 6$，解得$z=3$
用④-②消去y、z：
$(x+y+z) - (y+z-x) = 17 - 5$
$2x = 12$，解得$x=6$
用④-③消去x、z：
$(x+y+z) - (z+x-y) = 17 - 1$
$2y = 16$，解得$y=8$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \\ z=-1 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x=6 \\ y=8 \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
这两道题是三元一次方程组的基础典型题，解题前优先观察方程组的结构特征，选择适配的消元方法可以大幅简化计算过程，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）。已知加密规则为：明文$a$，$b$，$c$对应密文$a+2b$，$2b+c$，$3c$。例如：明文1，2，3对应密文5，7，9。当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为（
A.$10,5,2$
B.$10,2,5$
C.$2,5,10$
D.$5,10,2$
B
）。A.$10,5,2$
B.$10,2,5$
C.$2,5,10$
D.$5,10,2$
答案
7. B
解析
【分析】
首先根据题目给出的加密规则，明文a、b、c和密文是一一对应的关系，现在已知密文的三个数值，我们可以通过对应关系建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组就能得到明文。解题时优先从只含有一个未知数的方程入手计算，再逐步代入求解剩余未知数，计算更简便。
【解析】
根据加密规则和接收的密文，可列三元一次方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 14 \quad \mathrm{①} \\2b + c = 9 \quad \mathrm{②} \\3c = 15 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 解方程③：两边同时除以3，得$c=5$；
2. 把$c=5$代入方程②：$2b + 5 =9$，移项计算得$2b=4$，解得$b=2$；
3. 把$b=2$代入方程①：$a + 2×2=14$，计算得$a=10$。
因此明文为10，2，5。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组解法，方程组实际应用
【点评】
本题结合信息加密的情景考查方程组的实际应用，解题核心是根据规则正确建立方程组，从系数最简单、未知数最少的方程入手逐步消元求解，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的加密规则，明文a、b、c和密文是一一对应的关系，现在已知密文的三个数值，我们可以通过对应关系建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组就能得到明文。解题时优先从只含有一个未知数的方程入手计算，再逐步代入求解剩余未知数，计算更简便。
【解析】
根据加密规则和接收的密文，可列三元一次方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 14 \quad \mathrm{①} \\2b + c = 9 \quad \mathrm{②} \\3c = 15 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 解方程③：两边同时除以3，得$c=5$；
2. 把$c=5$代入方程②：$2b + 5 =9$，移项计算得$2b=4$，解得$b=2$；
3. 把$b=2$代入方程①：$a + 2×2=14$，计算得$a=10$。
因此明文为10，2，5。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组解法，方程组实际应用
【点评】
本题结合信息加密的情景考查方程组的实际应用，解题核心是根据规则正确建立方程组，从系数最简单、未知数最少的方程入手逐步消元求解，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.8
