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8. 甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y(m)与登山时间x(min)之间的函数图象。请根据图象所提供的信息，解答如下问题：
(1)求甲登山的路程y(m)与登山时间x(min)之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？
(1)求甲登山的路程y(m)与登山时间x(min)之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？
答案
8.解:(1)设甲登山的路程 $y$(m) 与登山时间$x$(min)之间的关系式为 $y=kx$。
因为点 $C(30,600)$ 在函数 $y=kx$ 的图象上，
所以 $600=30k$，
解得 $k=20$，
所以 $y=20x(0≤ x≤ 30)$。
(2)设乙在 $AB$ 段登山的路程 $y$(m) 与登山时间 $x$(min)之间的函数关系式为 $y=ax+b(8≤ x≤ 20)$，
由题图可知，点 $A(8,120),B(20,600)$ 在该函数图象上，
所以$\begin{cases} 8a+b=120, \\ 20a+b=600, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=40, \\ b=-200, \end{cases}$
所以 $y=40x-200(8≤ x≤ 20)$。
设点 $D$ 为 $OC$ 与 $AB$ 的交点，
联立$\begin{cases} y=20x, \\ y=40x-200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=10, \\ y=200。 \end{cases}$
所以乙出发后 10 min 追上甲，此时乙所走的路程是 200 m。
因为点 $C(30,600)$ 在函数 $y=kx$ 的图象上，
所以 $600=30k$，
解得 $k=20$，
所以 $y=20x(0≤ x≤ 30)$。
(2)设乙在 $AB$ 段登山的路程 $y$(m) 与登山时间 $x$(min)之间的函数关系式为 $y=ax+b(8≤ x≤ 20)$，
由题图可知，点 $A(8,120),B(20,600)$ 在该函数图象上，
所以$\begin{cases} 8a+b=120, \\ 20a+b=600, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=40, \\ b=-200, \end{cases}$
所以 $y=40x-200(8≤ x≤ 20)$。
设点 $D$ 为 $OC$ 与 $AB$ 的交点，
联立$\begin{cases} y=20x, \\ y=40x-200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=10, \\ y=200。 \end{cases}$
所以乙出发后 10 min 追上甲，此时乙所走的路程是 200 m。
解析
【分析】
(1) 观察甲的函数图象是过原点的线段OC，属于正比例函数，因此可设解析式为$y=kx$，代入图象上已知点C的坐标求出系数k，再结合图象的横轴范围确定自变量x的取值范围即可。
(2) 首先判断相遇的时间段：OA段乙的速度为$120÷8=15\mathrm{m/min}$，小于甲的速度$600÷30=20\mathrm{m/min}$，因此两人相遇一定在AB段。先用待定系数法求出AB段乙的函数解析式，再联立甲的函数解析式，方程组的解对应两个函数图象的交点，交点横坐标就是乙追上甲的时间，纵坐标就是此时乙走的路程。
【解析】
(1) 设甲登山的路程$y$(m)与登山时间$x$(min)之间的关系式为 $y=kx$。
因为点 $C(30,600)$ 在函数 $y=kx$ 的图象上，
所以 $600=30k$，
解得 $k=20$，
所以甲的函数关系式为 $y=20x$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤ 30$。
(2) 设乙在 $AB$ 段登山的路程 $y$(m) 与登山时间 $x$(min) 之间的函数关系式为 $y=ax+b(8≤ x≤ 20)$，
由题图可知，点 $A(8,120),B(20,600)$ 在该函数图象上，
所以$\begin{cases} 8a+b=120 \\ 20a+b=600 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$12a=480$，解得$a=40$，
将$a=40$代入$8a+b=120$，得$320+b=120$，解得$b=-200$，
所以AB段乙的函数关系式为 $y=40x-200(8≤ x≤ 20)$。
乙追上甲时两人路程相等，联立甲乙的函数解析式得：
$\begin{cases} y=20x \\ y=40x-200 \end{cases}$
将$y=20x$代入第二个式子得$20x=40x-200$，解得$x=10$，
把$x=10$代入$y=20x$得$y=200$，$x=10$在$8≤ x≤ 20$范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=20x(0≤ x≤ 30)$
(2) 乙出发后10 min 追上甲，此时乙所走的路程是200 m。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图象信息，掌握待定系数法求解析式的方法，理解一次函数交点的实际意义是两人路程相等的时刻。
【难度系数】
0.7
(1) 观察甲的函数图象是过原点的线段OC，属于正比例函数，因此可设解析式为$y=kx$，代入图象上已知点C的坐标求出系数k，再结合图象的横轴范围确定自变量x的取值范围即可。
(2) 首先判断相遇的时间段：OA段乙的速度为$120÷8=15\mathrm{m/min}$，小于甲的速度$600÷30=20\mathrm{m/min}$，因此两人相遇一定在AB段。先用待定系数法求出AB段乙的函数解析式，再联立甲的函数解析式，方程组的解对应两个函数图象的交点，交点横坐标就是乙追上甲的时间，纵坐标就是此时乙走的路程。
【解析】
(1) 设甲登山的路程$y$(m)与登山时间$x$(min)之间的关系式为 $y=kx$。
因为点 $C(30,600)$ 在函数 $y=kx$ 的图象上，
所以 $600=30k$，
解得 $k=20$，
所以甲的函数关系式为 $y=20x$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤ 30$。
(2) 设乙在 $AB$ 段登山的路程 $y$(m) 与登山时间 $x$(min) 之间的函数关系式为 $y=ax+b(8≤ x≤ 20)$，
由题图可知，点 $A(8,120),B(20,600)$ 在该函数图象上，
所以$\begin{cases} 8a+b=120 \\ 20a+b=600 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$12a=480$，解得$a=40$，
将$a=40$代入$8a+b=120$，得$320+b=120$，解得$b=-200$，
所以AB段乙的函数关系式为 $y=40x-200(8≤ x≤ 20)$。
乙追上甲时两人路程相等，联立甲乙的函数解析式得：
$\begin{cases} y=20x \\ y=40x-200 \end{cases}$
将$y=20x$代入第二个式子得$20x=40x-200$，解得$x=10$，
把$x=10$代入$y=20x$得$y=200$，$x=10$在$8≤ x≤ 20$范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=20x(0≤ x≤ 30)$
(2) 乙出发后10 min 追上甲，此时乙所走的路程是200 m。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图象信息，掌握待定系数法求解析式的方法，理解一次函数交点的实际意义是两人路程相等的时刻。
【难度系数】
0.7
9.【数学应用】如图，某地区对某种药品的需求量$y_1$(万件)、供应量$y_2$(万件)与价格$x$(元/件)分别近似满足下列函数关系式：$y_1=-x+70$，$y_2=2x-38$。当需求量为0时，即停止供应。当$y_1=y_2$时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量。
(1)求该药品的稳定价格与稳定需求量。
(2)价格在什么范围内时，该药品的需求量低于供应量？
(3)由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来稳定市场价格。根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，那么政府对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？
(1)求该药品的稳定价格与稳定需求量。
(2)价格在什么范围内时，该药品的需求量低于供应量？
(3)由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来稳定市场价格。根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，那么政府对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？
答案
9.解:(1)由题意可得$\begin{cases} y_1=-x+70, \\ y_2=2x-38。 \end{cases}$
当 $y_1=y_2$，即 $-x+70=2x-38$ 时，
解得 $x=36$。
当 $x=36$ 时，$y_1=y_2=34$。
所以该药品的稳定价格为 36 元/件，稳定需求量为 34万件。
(2)令 $y_1=0$，得 $x=70$，由题图可知，当药品每件价格大于 36 元且小于 70 元时，该药品的需求量低于供应量。
(3)设政府对每件药品提供 $a$ 元补贴，则有
$\begin{cases} 34+6=-x+70, \\ 34+6=2(x+a)-38, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=30, \\ a=9。 \end{cases}$
所以政府对每件药品提供 9 元补贴，才能使供应量等于需求量。
当 $y_1=y_2$，即 $-x+70=2x-38$ 时，
解得 $x=36$。
当 $x=36$ 时，$y_1=y_2=34$。
所以该药品的稳定价格为 36 元/件，稳定需求量为 34万件。
(2)令 $y_1=0$，得 $x=70$，由题图可知，当药品每件价格大于 36 元且小于 70 元时，该药品的需求量低于供应量。
(3)设政府对每件药品提供 $a$ 元补贴，则有
$\begin{cases} 34+6=-x+70, \\ 34+6=2(x+a)-38, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=30, \\ a=9。 \end{cases}$
所以政府对每件药品提供 9 元补贴，才能使供应量等于需求量。
解析
【分析】
(1) 根据题目定义，稳定价格和稳定需求量是$y_1=y_2$时对应的价格x和需求量y，只需联立两个函数解析式解方程即可得到结果。
(2) 需求量低于供应量即$y_1＜y_2$，同时要满足“需求量为0时停止供应”的条件，先求出$y_1=0$时的x值，再结合两个一次函数的增减性和交点坐标，即可确定x的取值范围。
(3) 先计算出新的稳定需求量为$34+6=40$万件，先代入需求量函数求出对应的市场价格x；再设每件补贴a元，此时供应方实际每件收入为$x+a$元，代入供应量函数令其等于40，求解即可得到补贴金额。
【解析】
(1) 当$y_1=y_2$时，联立函数关系式：
$\begin{cases}y_1=-x+70 \\y_2=2x-38\end{cases}$
令$-x+70=2x-38$，
移项合并得：$-3x=-108$，
解得：$x=36$。
将$x=36$代入$y_1=-x+70$，得$y_1=-36+70=34$，即$y_1=y_2=34$。
(2) 令$y_1=0$，则$0=-x+70$，解得$x=70$。
因为$y_1=-x+70$随x增大而减小，$y_2=2x-38$随x增大而增大，两函数交点横坐标为$x=36$，所以当$36＜x＜70$时，$y_1＜y_2$，且此时$y_1＞0$符合供应要求。
(3) 设政府对每件药品提供a元补贴，新的稳定需求量为$34+6=40$万件。
将$y=40$代入$y_1=-x+70$得：$40=-x+70$，解得$x=30$。
此时供应量等于40万件，供应方实际每件售价为$(30+a)$元，代入供应量函数得：
$40=2(30+a)-38$，
整理得：$40=22+2a$，
解得：$a=9$。
【答案】
(1) 稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件；
(2) 药品价格大于36元/件且小于70元/件时，需求量低于供应量；
(3) 政府对每件药品提供9元补贴。
【知识点】
一次函数的应用；二元一次方程组的应用；不等式的实际应用
【点评】
本题结合实际民生场景，考查一次函数与方程、不等式的综合应用，解题关键是准确理解题意，理清各数量之间的对应关系，结合函数增减性分析可简化解题过程，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 根据题目定义，稳定价格和稳定需求量是$y_1=y_2$时对应的价格x和需求量y，只需联立两个函数解析式解方程即可得到结果。
(2) 需求量低于供应量即$y_1＜y_2$，同时要满足“需求量为0时停止供应”的条件，先求出$y_1=0$时的x值，再结合两个一次函数的增减性和交点坐标，即可确定x的取值范围。
(3) 先计算出新的稳定需求量为$34+6=40$万件，先代入需求量函数求出对应的市场价格x；再设每件补贴a元，此时供应方实际每件收入为$x+a$元，代入供应量函数令其等于40，求解即可得到补贴金额。
【解析】
(1) 当$y_1=y_2$时，联立函数关系式：
$\begin{cases}y_1=-x+70 \\y_2=2x-38\end{cases}$
令$-x+70=2x-38$，
移项合并得：$-3x=-108$，
解得：$x=36$。
将$x=36$代入$y_1=-x+70$，得$y_1=-36+70=34$，即$y_1=y_2=34$。
(2) 令$y_1=0$，则$0=-x+70$，解得$x=70$。
因为$y_1=-x+70$随x增大而减小，$y_2=2x-38$随x增大而增大，两函数交点横坐标为$x=36$，所以当$36＜x＜70$时，$y_1＜y_2$，且此时$y_1＞0$符合供应要求。
(3) 设政府对每件药品提供a元补贴，新的稳定需求量为$34+6=40$万件。
将$y=40$代入$y_1=-x+70$得：$40=-x+70$，解得$x=30$。
此时供应量等于40万件，供应方实际每件售价为$(30+a)$元，代入供应量函数得：
$40=2(30+a)-38$，
整理得：$40=22+2a$，
解得：$a=9$。
【答案】
(1) 稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件；
(2) 药品价格大于36元/件且小于70元/件时，需求量低于供应量；
(3) 政府对每件药品提供9元补贴。
【知识点】
一次函数的应用；二元一次方程组的应用；不等式的实际应用
【点评】
本题结合实际民生场景，考查一次函数与方程、不等式的综合应用，解题关键是准确理解题意，理清各数量之间的对应关系，结合函数增减性分析可简化解题过程，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
