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8. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\kx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = 1,\end{cases}$则函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象的交点坐标为 ______ 。
答案
8.(-3,1)
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数与二元一次方程组的核心对应关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，恰好是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来我们将题目给出的方程组变形验证：把第一个方程$ax - y = -b$移项可得$y = ax + b$，第二个方程$kx - y = 0$移项可得$y = kx$，可见题干给出的方程组正好是待求交点的两个函数联立得到的，已知方程组的解，就可以直接对应得到交点坐标。
【解析】
首先对给定的二元一次方程组变形：
1. 对$ax - y = -b$移项，可得$y = ax + b$；
2. 对$kx - y = 0$移项，可得$y = kx$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
已知方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\kx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = 1,\end{cases}$，因此函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象的交点坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂运算，只要掌握一次函数图象交点和对应二元一次方程组解的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数与二元一次方程组的核心对应关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，恰好是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来我们将题目给出的方程组变形验证：把第一个方程$ax - y = -b$移项可得$y = ax + b$，第二个方程$kx - y = 0$移项可得$y = kx$，可见题干给出的方程组正好是待求交点的两个函数联立得到的，已知方程组的解，就可以直接对应得到交点坐标。
【解析】
首先对给定的二元一次方程组变形：
1. 对$ax - y = -b$移项，可得$y = ax + b$；
2. 对$kx - y = 0$移项，可得$y = kx$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
已知方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\kx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = 1,\end{cases}$，因此函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象的交点坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂运算，只要掌握一次函数图象交点和对应二元一次方程组解的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
9. 如图，一次函数$y=kx+b$与$y=x+1$的图象相交于点$P(m,4)$，则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}kx - y = -b, \\ y - x = 1\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
9.$\begin{cases} x=3, \\ y=4 \end{cases}$
解析
【分析】
解题思路：首先明确两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。本题先利用点P在$y=x+1$的图象上，代入点P的纵坐标求出横坐标m的值，得到交点P的坐标；再观察所给方程组，发现其恰好是两个一次函数解析式变形得到的，因此交点坐标就是方程组的解。
【解析】
1. 求点P的横坐标m
∵ 点$P(m,4)$在一次函数$y=x+1$的图象上，
∴ 将$y=4$代入$y=x+1$，得$4=m+1$，解得$m=3$，
∴ 点P的坐标为$(3,4)$。
2. 分析方程组与一次函数的关系
将方程组$\begin{cases}kx - y = -b \\ y - x = 1\end{cases}$变形可得$\begin{cases}y=kx+b \\ y=x+1\end{cases}$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
因此该方程组的解就是点P的坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题核心是掌握一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，解题时先求出交点坐标即可直接得到方程组的解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。本题先利用点P在$y=x+1$的图象上，代入点P的纵坐标求出横坐标m的值，得到交点P的坐标；再观察所给方程组，发现其恰好是两个一次函数解析式变形得到的，因此交点坐标就是方程组的解。
【解析】
1. 求点P的横坐标m
∵ 点$P(m,4)$在一次函数$y=x+1$的图象上，
∴ 将$y=4$代入$y=x+1$，得$4=m+1$，解得$m=3$，
∴ 点P的坐标为$(3,4)$。
2. 分析方程组与一次函数的关系
将方程组$\begin{cases}kx - y = -b \\ y - x = 1\end{cases}$变形可得$\begin{cases}y=kx+b \\ y=x+1\end{cases}$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
因此该方程组的解就是点P的坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题核心是掌握一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，解题时先求出交点坐标即可直接得到方程组的解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
10. 若方程组$\begin{cases}a+b=3, \\ b+c=2, \\ c+a=1\end{cases}$的解满足$k=a+b+c$，则点$P(k+2,1-2k)$在第 ______ 象限。
答案
10. 四
解析
【分析】
解题时先观察给出的三元一次方程组的结构特征，三个方程左边相加恰好是2倍的(a+b+c)，因此不需要分别求解a、b、c的值，采用整体求和的方法就能快速算出a+b+c的值，也就是k的值；再将k代入点P的横纵坐标表达式，计算出横、纵坐标的符号，最后根据各象限内点的坐标特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：
$(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+2+1$
整理左边得：$2a+2b+2c=6$
提取公因式得：$2(a+b+c)=6$
两边同时除以2得：$a+b+c=3$
已知$k=a+b+c$，因此$k=3$。
将$k=3$代入点P的坐标计算：
横坐标：$k+2=3+2=5＞0$
纵坐标：$1-2k=1-2×3=-5＜0$
根据象限坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此点P在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
三元一次方程组求解，象限的坐标特征，整体代入法
【点评】
本题侧重考查整体思想在方程组运算中的应用，避免了单独求解每个未知数的繁琐步骤，解题关键是准确观察方程组的结构特点，同时要牢记各象限内点的坐标符号特征，计算过程注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察给出的三元一次方程组的结构特征，三个方程左边相加恰好是2倍的(a+b+c)，因此不需要分别求解a、b、c的值，采用整体求和的方法就能快速算出a+b+c的值，也就是k的值；再将k代入点P的横纵坐标表达式，计算出横、纵坐标的符号，最后根据各象限内点的坐标特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：
$(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+2+1$
整理左边得：$2a+2b+2c=6$
提取公因式得：$2(a+b+c)=6$
两边同时除以2得：$a+b+c=3$
已知$k=a+b+c$，因此$k=3$。
将$k=3$代入点P的坐标计算：
横坐标：$k+2=3+2=5＞0$
纵坐标：$1-2k=1-2×3=-5＜0$
根据象限坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此点P在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
三元一次方程组求解，象限的坐标特征，整体代入法
【点评】
本题侧重考查整体思想在方程组运算中的应用，避免了单独求解每个未知数的繁琐步骤，解题关键是准确观察方程组的结构特点，同时要牢记各象限内点的坐标符号特征，计算过程注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
11. 若以二元一次方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上，则常数$b$的值为
2
。答案
11.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：二元一次方程的每一组解都对应平面直角坐标系中的一个点，若所有解对应的点都在同一条直线上，说明这个二元一次方程变形后得到的一次函数解析式，和已知直线的解析式完全相同。我们可以先将给定的二元一次方程整理为y关于x的表达式，再和已知直线解析式对比系数，即可求出常数b的值。
【解析】
第一步：将方程$x - 2y + b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$，得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
第二步：根据题意，该解析式和直线$y=\frac{1}{2}x + 1$是同一条直线，因此两个解析式的常数项相等：
$\frac{b}{2} = 1$
第三步：求解得：$b = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数解析式、等式的变形
【点评】
本题属于基础常考题，核心是理解二元一次方程和其对应的一次函数图像的对应关系，解题关键是通过变形得到两个等价的一次函数解析式，对比对应项系数即可快速求解，掌握该类题型有助于加深对一次函数和二元一次方程关联的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确：二元一次方程的每一组解都对应平面直角坐标系中的一个点，若所有解对应的点都在同一条直线上，说明这个二元一次方程变形后得到的一次函数解析式，和已知直线的解析式完全相同。我们可以先将给定的二元一次方程整理为y关于x的表达式，再和已知直线解析式对比系数，即可求出常数b的值。
【解析】
第一步：将方程$x - 2y + b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$，得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
第二步：根据题意，该解析式和直线$y=\frac{1}{2}x + 1$是同一条直线，因此两个解析式的常数项相等：
$\frac{b}{2} = 1$
第三步：求解得：$b = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数解析式、等式的变形
【点评】
本题属于基础常考题，核心是理解二元一次方程和其对应的一次函数图像的对应关系，解题关键是通过变形得到两个等价的一次函数解析式，对比对应项系数即可快速求解，掌握该类题型有助于加深对一次函数和二元一次方程关联的理解。
【难度系数】
0.8
12. 信息安全越来越受到人们的重视，很多信息在传送的过程中需要进行加密处理。有一种信息加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则将信息加密成密文，接收方将密文解密成明文。已知某加密规则为：明文$x$，$y$互为相反数，其对应的密文为$x+2y-k$，$2x+y-k$。若接收方收到密文为2和$-1$，则$k$的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
12.$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①明文x、y互为相反数，可得x+y=0；②密文对应代数式x+2y−k、2x+y−k，且收到的密文为2和-1，可得到两个含x、y、k的等式。我们可以将两个等式左右两边分别相加，结合x+y=0的整体关系，消去x、y，直接求出k的值，也可以用y=-x代入两个等式，联立求解k，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
根据题意可得：
1. 因为x、y互为相反数，所以$x + y = 0$；
2. 密文对应相等，可得：
$\begin{cases}x + 2y - k = 2&(1)\\2x + y - k = -1&(2)\end{cases}$
将(1)和(2)左右两边分别相加：
$x + 2y - k + 2x + y - k = 2 + (-1)$
整理得：$3x + 3y - 2k = 1$
提取公因式：$3(x + y) - 2k = 1$
把$x + y = 0$代入上式：
$3×0 - 2k = 1$
解得：$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质、二元一次方程组的应用、整体代入求值
【点评】
本题结合信息加密的生活情境考查代数计算，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，灵活运用相反数的性质简化计算，无需单独求解x、y即可快速得到结果，能较好地考查学生的转化思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①明文x、y互为相反数，可得x+y=0；②密文对应代数式x+2y−k、2x+y−k，且收到的密文为2和-1，可得到两个含x、y、k的等式。我们可以将两个等式左右两边分别相加，结合x+y=0的整体关系，消去x、y，直接求出k的值，也可以用y=-x代入两个等式，联立求解k，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
根据题意可得：
1. 因为x、y互为相反数，所以$x + y = 0$；
2. 密文对应相等，可得：
$\begin{cases}x + 2y - k = 2&(1)\\2x + y - k = -1&(2)\end{cases}$
将(1)和(2)左右两边分别相加：
$x + 2y - k + 2x + y - k = 2 + (-1)$
整理得：$3x + 3y - 2k = 1$
提取公因式：$3(x + y) - 2k = 1$
把$x + y = 0$代入上式：
$3×0 - 2k = 1$
解得：$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质、二元一次方程组的应用、整体代入求值
【点评】
本题结合信息加密的生活情境考查代数计算，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，灵活运用相反数的性质简化计算，无需单独求解x、y即可快速得到结果，能较好地考查学生的转化思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P(x,y)$，如果点$Q(x,z)$的纵坐标满足
$z=\begin{cases} 4y - x & (x ≥ y), \\ 4x - y & (x ＜ y), \end{cases}$
那么称点$Q$为点$P$的“关联点”。如果点$P(x,y)$的“关联点”$Q$的坐标为$(-3,-10)$，求点$P$的坐标。
$z=\begin{cases} 4y - x & (x ≥ y), \\ 4x - y & (x ＜ y), \end{cases}$
那么称点$Q$为点$P$的“关联点”。如果点$P(x,y)$的“关联点”$Q$的坐标为$(-3,-10)$，求点$P$的坐标。
答案
13. 解: 分两种情况: ① 当 $x ≥ y$ 时, 由题意得
$\begin{cases}x=-3, \\4y-x=-10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3, \\y=-\frac{13}{4},\end{cases}$
因为$-3＞-\frac{13}{4}$,所以符合题意；
当 $x＜ y$ 时,由题意得$\begin{cases}x=-3, \\4x-y=-10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3, \\y=-2,\end{cases}$
因为$-3＜-2$,所以符合题意；
综上,点 $P$ 的坐标为$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$。
$\begin{cases}x=-3, \\4y-x=-10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3, \\y=-\frac{13}{4},\end{cases}$
因为$-3＞-\frac{13}{4}$,所以符合题意；
当 $x＜ y$ 时,由题意得$\begin{cases}x=-3, \\4x-y=-10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3, \\y=-2,\end{cases}$
因为$-3＜-2$,所以符合题意；
综上,点 $P$ 的坐标为$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$。
解析
【分析】
这是一道新定义类代数题，解题思路如下：首先根据“关联点”的定义可知，点P和它的关联点Q的横坐标相同，因此由Q的坐标(-3,-10)可直接得出点P的横坐标x=-3；接下来按照定义给出的两种分类（x≥y和x＜y）分别讨论：①当x≥y时，代入z=4y-x的表达式，结合z=-10列方程求解y，求出y后要检验是否满足x≥y的前提，符合则为有效解；②当x＜y时，代入z=4x-y的表达式，结合z=-10列方程求解y，同样检验是否满足x＜y的前提，符合则为有效解；最后汇总所有有效解即可得到点P的坐标。
【解析】
根据“关联点”的定义，点P与Q的横坐标相等，已知Q坐标为(-3,-10)，因此点P的横坐标x=-3，分两种情况讨论：
① 当 $x ≥ y$ 时，由题意得：
$\begin{cases}x=-3 \\4y-x=-10\end{cases}$
把x=-3代入第二个方程，得$4y - (-3) = -10$，解得$y=-\frac{13}{4}$
验证：$-3 ＞ -\frac{13}{4}$，满足$x≥y$的条件，该组解有效；
② 当 $x ＜ y$ 时，由题意得：
$\begin{cases}x=-3 \\4x-y=-10\end{cases}$
把x=-3代入第二个方程，得$4×(-3) - y = -10$，解得$y=-2$
验证：$-3 ＜ -2$，满足$x＜y$的条件，该组解有效；
综上，点P的坐标为$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$。
【答案】
$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查对新定义规则的理解与应用，解题的核心是严格按照定义的分类标准代入计算，注意求出结果后要验证是否符合对应分类的前提条件，避免出现不符合题意的错解、漏解。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义类代数题，解题思路如下：首先根据“关联点”的定义可知，点P和它的关联点Q的横坐标相同，因此由Q的坐标(-3,-10)可直接得出点P的横坐标x=-3；接下来按照定义给出的两种分类（x≥y和x＜y）分别讨论：①当x≥y时，代入z=4y-x的表达式，结合z=-10列方程求解y，求出y后要检验是否满足x≥y的前提，符合则为有效解；②当x＜y时，代入z=4x-y的表达式，结合z=-10列方程求解y，同样检验是否满足x＜y的前提，符合则为有效解；最后汇总所有有效解即可得到点P的坐标。
【解析】
根据“关联点”的定义，点P与Q的横坐标相等，已知Q坐标为(-3,-10)，因此点P的横坐标x=-3，分两种情况讨论：
① 当 $x ≥ y$ 时，由题意得：
$\begin{cases}x=-3 \\4y-x=-10\end{cases}$
把x=-3代入第二个方程，得$4y - (-3) = -10$，解得$y=-\frac{13}{4}$
验证：$-3 ＞ -\frac{13}{4}$，满足$x≥y$的条件，该组解有效；
② 当 $x ＜ y$ 时，由题意得：
$\begin{cases}x=-3 \\4x-y=-10\end{cases}$
把x=-3代入第二个方程，得$4×(-3) - y = -10$，解得$y=-2$
验证：$-3 ＜ -2$，满足$x＜y$的条件，该组解有效；
综上，点P的坐标为$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$。
【答案】
$(-3,-\frac{13}{4})$或$(-3,-2)$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查对新定义规则的理解与应用，解题的核心是严格按照定义的分类标准代入计算，注意求出结果后要验证是否符合对应分类的前提条件，避免出现不符合题意的错解、漏解。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点A，B分别在x轴、y轴上，且$OA=4$，$OB=2$，点C的坐标为$(4,2)$，D为BC的中点，OC和AD相交于点E，求$△ OAE$的面积。
答案
14. 解:根据题意得,点 $O(0,0),A(4,0),B(0,2),C(4,2)$,
$D(2,2)$。
设直线 $OC$ 对应的函数表达式为 $y=kx$,
将点 $C(4,2)$ 的坐标代入 $y=kx$,得 $4k=2$,
解得 $k=\frac{1}{2}$,
所以直线 $OC$ 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x$。
设直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=mx+n$,
将点 $A(4,0),D(2,2)$ 的坐标分别代入得$\begin{cases}4m+n=0, \\2m+n=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1, \\n=4,\end{cases}$
所以直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=-x+4$。
由$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x, \\y=-x+4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3}, \\y=\frac{4}{3},\end{cases}$ 所以点 $E$ 的坐标为$(\frac{8}{3},\frac{4}{3})$,
所以 $S_{△ OAE}=\frac{1}{2}OA· y_E=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。
$D(2,2)$。
设直线 $OC$ 对应的函数表达式为 $y=kx$,
将点 $C(4,2)$ 的坐标代入 $y=kx$,得 $4k=2$,
解得 $k=\frac{1}{2}$,
所以直线 $OC$ 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x$。
设直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=mx+n$,
将点 $A(4,0),D(2,2)$ 的坐标分别代入得$\begin{cases}4m+n=0, \\2m+n=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1, \\n=4,\end{cases}$
所以直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=-x+4$。
由$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x, \\y=-x+4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3}, \\y=\frac{4}{3},\end{cases}$ 所以点 $E$ 的坐标为$(\frac{8}{3},\frac{4}{3})$,
所以 $S_{△ OAE}=\frac{1}{2}OA· y_E=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。
解析
【分析】
要计算$△ OAE$的面积，已知$OA$在x轴上且长度为4，所以$△ OAE$的底是确定的，只需要求出交点$E$的纵坐标（即$OA$边上的高）就可以用面积公式计算。首先先根据已知条件确定各相关点的坐标，再用待定系数法分别求出直线$OC$、$AD$的函数表达式，联立两个表达式就能解出交点$E$的坐标，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
根据题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,2)$，$C(4,2)$，
$\because D$为$BC$的中点，$\therefore D$点坐标为$(2,2)$。
1. 求直线$OC$的函数表达式：
设直线$OC$对应的函数表达式为$y=kx$，
将$C(4,2)$代入$y=kx$，得$4k=2$，解得$k=\frac{1}{2}$，
$\therefore$直线$OC$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线$AD$的函数表达式：
设直线$AD$对应的函数表达式为$y=mx+n$，
将$A(4,0)$、$D(2,2)$分别代入得：
$\begin{cases}4m+n=0 \\2m+n=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\n=4 \end{cases}$
$\therefore$直线$AD$的函数表达式为$y=-x+4$。
3. 求交点$E$的坐标：
联立两个直线的解析式，得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\y=-x+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3} \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$，即$E$点坐标为$(\frac{8}{3},\frac{4}{3})$。
4. 计算$△ OAE$的面积：
$△ OAE$中，$OA$为底，长度为4，$OA$边上的高等于$E$点的纵坐标$\frac{4}{3}$，
$\therefore S_{△ OAE}=\frac{1}{2} × OA × y_E = \frac{1}{2} × 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点计算，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与平面几何结合的常规题型，解题核心是掌握两直线交点坐标的求解方法，同时灵活运用坐标系中图形面积的计算技巧，以坐标轴上的线段为底可以简化面积计算过程，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
要计算$△ OAE$的面积，已知$OA$在x轴上且长度为4，所以$△ OAE$的底是确定的，只需要求出交点$E$的纵坐标（即$OA$边上的高）就可以用面积公式计算。首先先根据已知条件确定各相关点的坐标，再用待定系数法分别求出直线$OC$、$AD$的函数表达式，联立两个表达式就能解出交点$E$的坐标，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
根据题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,2)$，$C(4,2)$，
$\because D$为$BC$的中点，$\therefore D$点坐标为$(2,2)$。
1. 求直线$OC$的函数表达式：
设直线$OC$对应的函数表达式为$y=kx$，
将$C(4,2)$代入$y=kx$，得$4k=2$，解得$k=\frac{1}{2}$，
$\therefore$直线$OC$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线$AD$的函数表达式：
设直线$AD$对应的函数表达式为$y=mx+n$，
将$A(4,0)$、$D(2,2)$分别代入得：
$\begin{cases}4m+n=0 \\2m+n=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\n=4 \end{cases}$
$\therefore$直线$AD$的函数表达式为$y=-x+4$。
3. 求交点$E$的坐标：
联立两个直线的解析式，得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\y=-x+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3} \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$，即$E$点坐标为$(\frac{8}{3},\frac{4}{3})$。
4. 计算$△ OAE$的面积：
$△ OAE$中，$OA$为底，长度为4，$OA$边上的高等于$E$点的纵坐标$\frac{4}{3}$，
$\therefore S_{△ OAE}=\frac{1}{2} × OA × y_E = \frac{1}{2} × 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点计算，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与平面几何结合的常规题型，解题核心是掌握两直线交点坐标的求解方法，同时灵活运用坐标系中图形面积的计算技巧，以坐标轴上的线段为底可以简化面积计算过程，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
15. 如图，正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$P(m,3)$，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$B(1,1)$，且与$y$轴的交点为$D$，与$x$轴的交点为$C$。
(1)求一次函数$y=kx+b$的表达式；
(2)$\begin{cases} y=-3x, \\ y=kx+b \end{cases}$的解为________，点$D$的坐标为________；
(3)连接$OB$，求$△ BOP$的面积。
(1)求一次函数$y=kx+b$的表达式；
(2)$\begin{cases} y=-3x, \\ y=kx+b \end{cases}$的解为________，点$D$的坐标为________；
(3)连接$OB$，求$△ BOP$的面积。
答案
15. 解:(1)因为正比例函数 $y=-3x$ 的图象与一次函数 $y=kx+b$ 的图象交于点 $P(m,3)$,
所以 $-3m=3$,
解得 $m=-1$,所以点 $P$ 的坐标为$(-1,3)$。
把$(1,1)$和$(-1,3)$代入 $y=kx+b$,
得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\b=2,\end{cases}$
所以一次函数 $y=kx+b$ 的表达式是 $y=-x+2$；
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ $(0,2)$；
(3)在 $y=-x+2$ 中,令 $y=0$,得 $-x+2=0$,
解得 $x=2$,
所以点 $C$ 的坐标为$(2,0)$,所以 $OC=2$,
因为点 $P$ 的坐标为$(-1,3)$,
所以 $S_{△ COP}=\frac{1}{2}OC· |y_p|=\frac{1}{2}×2×3=3$,$S_{△ COB}=\frac{1}{2}OC· |y_B|=\frac{1}{2}×2×1=1$,
所以 $S_{△ BOP}=S_{△ COP}-S_{△ COB}=2$。
所以 $-3m=3$,
解得 $m=-1$,所以点 $P$ 的坐标为$(-1,3)$。
把$(1,1)$和$(-1,3)$代入 $y=kx+b$,
得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\b=2,\end{cases}$
所以一次函数 $y=kx+b$ 的表达式是 $y=-x+2$；
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ $(0,2)$；
(3)在 $y=-x+2$ 中,令 $y=0$,得 $-x+2=0$,
解得 $x=2$,
所以点 $C$ 的坐标为$(2,0)$,所以 $OC=2$,
因为点 $P$ 的坐标为$(-1,3)$,
所以 $S_{△ COP}=\frac{1}{2}OC· |y_p|=\frac{1}{2}×2×3=3$,$S_{△ COB}=\frac{1}{2}OC· |y_B|=\frac{1}{2}×2×1=1$,
所以 $S_{△ BOP}=S_{△ COP}-S_{△ COB}=2$。
解析
【分析】
(1) 要确定一次函数表达式，需要先得到其图象上两个点的坐标：已知点B坐标，交点P在正比例函数$y=-3x$上，将P点纵坐标3代入正比例函数可求出m，得到P点坐标；再将P、B两点坐标代入$y=kx+b$，用待定系数法求解k、b即可得到一次函数表达式。
(2) 二元一次方程组的解就是两个对应函数图象的交点坐标，直接取交点P的坐标即可；D是一次函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入一次函数表达式求出y值，即可得到D点坐标。
(3) 求$△ BOP$的面积可采用割补法简化运算：先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，以OC为公共底，分别计算$△ COP$和$△ COB$的面积，两个面积的差就是$△ BOP$的面积。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=-3x$的图象过点$P(m,3)$，
$\therefore$ 把$y=3$代入$y=-3x$，得$-3m=3$，解得$m=-1$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(-1,3)$。
将$P(-1,3)$、$B(1,1)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=1 \\-k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2 \end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 方程组$\begin{cases} y=-3x \\ y=kx+b \end{cases}$的解对应两个函数图象交点的坐标，即P点坐标，故解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$；
D是一次函数与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=-x+2$得$y=2$，故D点坐标为$(0,2)$。
(3) 在$y=-x+2$中，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_P|=\frac{1}{2} × 2 × 3=3$，
$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OC × |y_B|=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$，
$\therefore$ $S_{△ BOP}=S_{△ COP}-S_{△ COB}=3-1=2$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$；$(0,2)$
(3) $2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与方程组的关系，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了函数图象交点与方程组解的对应关系、待定系数法求解析式以及割补法计算三角形面积，熟练掌握一次函数基本性质，灵活运用割补法简化面积运算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定一次函数表达式，需要先得到其图象上两个点的坐标：已知点B坐标，交点P在正比例函数$y=-3x$上，将P点纵坐标3代入正比例函数可求出m，得到P点坐标；再将P、B两点坐标代入$y=kx+b$，用待定系数法求解k、b即可得到一次函数表达式。
(2) 二元一次方程组的解就是两个对应函数图象的交点坐标，直接取交点P的坐标即可；D是一次函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入一次函数表达式求出y值，即可得到D点坐标。
(3) 求$△ BOP$的面积可采用割补法简化运算：先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，以OC为公共底，分别计算$△ COP$和$△ COB$的面积，两个面积的差就是$△ BOP$的面积。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=-3x$的图象过点$P(m,3)$，
$\therefore$ 把$y=3$代入$y=-3x$，得$-3m=3$，解得$m=-1$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(-1,3)$。
将$P(-1,3)$、$B(1,1)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=1 \\-k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2 \end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 方程组$\begin{cases} y=-3x \\ y=kx+b \end{cases}$的解对应两个函数图象交点的坐标，即P点坐标，故解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$；
D是一次函数与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=-x+2$得$y=2$，故D点坐标为$(0,2)$。
(3) 在$y=-x+2$中，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_P|=\frac{1}{2} × 2 × 3=3$，
$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OC × |y_B|=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$，
$\therefore$ $S_{△ BOP}=S_{△ COP}-S_{△ COB}=3-1=2$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$；$(0,2)$
(3) $2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与方程组的关系，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了函数图象交点与方程组解的对应关系、待定系数法求解析式以及割补法计算三角形面积，熟练掌握一次函数基本性质，灵活运用割补法简化面积运算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
