1.如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都在直线上，PB⊥a，垂足为B，则线段PB＜PA，PB＜PC，PB＜PD.其理由是.

1.垂线段最短

【分析】
解题时首先观察图形特征：PB垂直于直线a，是点P到直线a的垂线段，PA、PC、PD是点P到直线a的斜线段。接下来回忆直线外一点与直线上各点连线的相关性质，即可得出PB短于其他斜线段的依据。
【解析】
由题意可知，PB是直线a外一点P向直线a作的垂线段，PA、PC、PD均为点P到直线a的斜线段。根据几何基本性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此可得PB＜PA，PB＜PC，PB＜PD，故对应的理由是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；最短路径问题
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查垂线段性质的直接应用，牢记垂线段最短的性质即可轻松解题，该性质也是解决实际生活中最短距离类问题的核心依据之一。
【难度系数】
0.9

2.如图，∠BAC=30°，AB=6，P是射线AC上一动点，则线段BP的最小值为。

2.3

【分析】
要确定动点P在AC上时线段BP的最小值，首先回忆点到直线的距离的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短。因此当BP垂直于AC时，BP的长度最小。此时△ABP为直角三角形，已知∠BAC=30°，斜边AB=6，可利用含30°角的直角三角形的性质计算BP的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当BP⊥AC时，线段BP的长度最小，此时∠APB=90°。
在Rt△ABP中，∠BAC=30°，30°角所对的直角边为BP，斜边AB=6，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得BP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合垂线段最短的性质确定BP取最小值时的位置，再结合特殊直角三角形的性质计算即可，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8

3.如图,点A,B在直线l异侧,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小,实际上只需连接AB交直线l于点P即可.这样做的理由是.

3.两点之间,线段最短

【分析】
要解决在直线l上找点P使PA+PB最小的问题，我们可以先假设直线l上存在任意一个异于交点P的点P'，连接AP'、BP'。此时当P为AB与直线l的交点时，PA+PB的和恰好等于线段AB的长度，根据几何基本事实，两点之间的所有连线中线段是最短的，因此AP'+BP'的长度一定大于AB的长度，只有P在AB与l的交点时，PA+PB的和达到最小值，所以该做法的依据就是两点之间线段最短。
【解析】
设点P'是直线l上除点P外的任意一点，连接AP'、BP'。
根据“两点之间，线段最短”的基本事实可得：$AP'+BP'＞AB$。
当P为AB与直线l的交点时，$PA+PB=AB$，此时PA+PB取得最小值，因此该做法的依据是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的基础题型，考查对几何基本事实的理解和应用，明确异侧两点到直线上一点距离和最小的作图原理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

4.如图,点A,B在直线l同侧,在直线l上取一点P,使得$PA+PB$最小,对点P的位置叙述正确的是().

A.作线段AB的垂直平分线与直线l的交点,即为点P
B.过点A作直线l的垂线,垂足即为点P
C.作点B关于直线l的对称点$B'$,连接$AB'$,与直线l的交点,即为点P
D.延长BA与直线l的交点,即为点P

4.C

【分析】
本题属于直线同侧两点求直线上一点到两点距离和最小的经典最短路径问题，解题核心是利用轴对称性质将同侧点转化为异侧点，再结合“两点之间线段最短”的原理判断。首先回忆最短路径的通用解法：要使PA+PB最小，需将两条线段转化到同一条线段上，通过作其中一点关于直线l的对称点，即可将同侧两点转化为异侧，连接异侧两点与直线l的交点即为所求点P，再逐一判断各选项的作法是否符合该逻辑即可。
【解析】
要使直线l上的点P满足PA+PB最小，解题步骤如下：
1. 利用轴对称的性质：作点B关于直线l的对称点$B'$，此时对直线l上任意一点P，均有$PB=PB'$，因此$PA+PB=PA+PB'$。
2. 根据“两点之间线段最短”，当A、P、$B'$三点共线时，$PA+PB'$的长度最小，等于线段$AB'$的长度，此时点P就是$AB'$与直线l的交点。
接下来逐一分析选项：
选项A：作AB的垂直平分线与l的交点，仅满足$PA=PB$，无法保证$PA+PB$最小，错误；
选项B：过点A作l的垂线的垂足，仅保证PA最短，无法保证$PA+PB$的和最小，错误；
选项C：符合上述最短路径的正确作法，正确；
选项D：延长BA与l的交点，此时$|PB-PA|=AB$，是差的最大值，不是和的最小值，错误。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查“将军饮马”模型的作图原理，解题关键是掌握用轴对称转化线段、结合线段最短原理求解最短路径的方法，这类模型是后续解决复杂最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,$BC=10$,$EF$是$BC$的垂直平分线,交$AC$于点$E$,点$P$在直线$EF$上,则$PA+PB$的最小值是().

A.6
B.8
C.10
D.12

5.B

【分析】
要解决PA+PB的最小值问题，首先利用线段垂直平分线的性质转化线段：EF是BC的垂直平分线，因此直线EF上任意一点到B、C两点的距离相等，即PB=PC，可将PA+PB转化为PA+PC。再根据两点之间线段最短的原理，PA+PC的最小值即为点A到点C的线段长度，当且仅当P落在AC与EF的交点时，PA+PC=AC，此时和最小。
【解析】
∵EF是BC的垂直平分线，点P在直线EF上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得PB=PC
∴PA+PB=PA+PC
根据两点之间线段最短，PA+PC≥AC，当P为AC与EF的交点时，等号成立
已知AC=8，因此PA+PB的最小值为8
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径中将军饮马模型的典型应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将动态线段和的最值问题转化为定长线段的长度计算，要求熟练掌握线段垂直平分线的性质和最短路径的基本原理。
【难度系数】
0.7

6.A地和B地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A地到B地的路径AM-NB最短的是()。(假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直)

6.D

【分析】
要解决造桥使路径最短的问题，首先明确已知条件：河的两岸平行，桥必须与河岸垂直，因此桥长MN是固定不变的定值。所以总路径AM+MN+NB的长度最小值，实际等价于求AM+NB的最小值。接下来我们可以利用平移的方法转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到对应点A'，根据平移的性质，此时AM=A'N且AM//A'N，那么AM+NB就转化为A'N+NB。根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，此时A'N与BN在同一直线上，因此可得AM//BN，满足这个条件的选项即为正确答案。
【解析】
∵ 河的两岸a、b互相平行，且桥MN与河岸垂直，
∴ MN的长度等于河宽，是固定定值，因此要使路径AM+MN+NB最短，只需保证AM+NB的和最小。
将点A沿垂直于河岸的方向向下平移河宽的长度，得到点A'，由平移的性质可知：AM = A'N，且AM//A'N。
此时AM + NB = A'N + NB，根据“两点之间，线段最短”，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小。
∵ A'、N、B共线，
∴ A'N与BN在同一条直线上，结合AM//A'N，可得AM//BN，只有D选项满足该条件。
【答案】
D
【知识点】
1.最短路径问题 2.平移的应用 3.两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类的典型最短路径问题，解题的关键是抓住桥长固定的隐含条件，通过平移将分散的两段路径转化为可直接用线段最短原理判断的形式，考查了对图形变换和最短路径原理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6