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6.某地对一段长达2 400 m的河堤进行加固，施工队在加固800 m后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，前后共用26天完成了全部加固任务.施工队原来每天加固河堤
80
m.答案
6.80
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题核心利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，找总时间的等量关系列方程求解。首先设原来每天加固河堤x米，先计算加固前800米的工作时间，再算出效率提高25%后的工作效率，以及剩余工作量的工作时间，两者相加等于总用时26天，列出分式方程求解，最后检验解的合理性即可。
【解析】
解：设施工队原来每天加固河堤$x$ m，则采用新加固模式后每天加固$(1+25\%)x=1.25x$ m。
加固前800m的用时为：$\frac{800}{x}$天
剩余加固长度为：$2400-800=1600$ m
加固剩余部分的用时为：$\frac{1600}{1.25x}$天
根据总用时26天列方程：
$\frac{800}{x}+\frac{1600}{1.25x}=26$
化简得：$\frac{800}{x}+\frac{1280}{x}=26$
合并得：$\frac{2080}{x}=26$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
80
【知识点】
分式方程应用；工程问题计算；分式方程求解
【点评】
本题是分式方程的典型应用，解题关键是明确各阶段的工作量、工作效率、工作时间的对应关系，找准总时间的等量关系列方程，要注意解分式方程后必须检验，确保解既满足方程又符合实际情况。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题核心利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，找总时间的等量关系列方程求解。首先设原来每天加固河堤x米，先计算加固前800米的工作时间，再算出效率提高25%后的工作效率，以及剩余工作量的工作时间，两者相加等于总用时26天，列出分式方程求解，最后检验解的合理性即可。
【解析】
解：设施工队原来每天加固河堤$x$ m，则采用新加固模式后每天加固$(1+25\%)x=1.25x$ m。
加固前800m的用时为：$\frac{800}{x}$天
剩余加固长度为：$2400-800=1600$ m
加固剩余部分的用时为：$\frac{1600}{1.25x}$天
根据总用时26天列方程：
$\frac{800}{x}+\frac{1600}{1.25x}=26$
化简得：$\frac{800}{x}+\frac{1280}{x}=26$
合并得：$\frac{2080}{x}=26$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
80
【知识点】
分式方程应用；工程问题计算；分式方程求解
【点评】
本题是分式方程的典型应用，解题关键是明确各阶段的工作量、工作效率、工作时间的对应关系，找准总时间的等量关系列方程，要注意解分式方程后必须检验，确保解既满足方程又符合实际情况。
【难度系数】
0.7
7.要在规定的时间内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定时间内完成，乙单独做，则要超过3天才能完成。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按时完成，则规定时间是
6
天。答案
7.6
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，核心等量关系为：总工作量=各部分工作量之和。首先设规定时间为x天，分别表示出甲、乙的工作效率，再根据“甲乙合作2天的工作量加上乙单独完成剩余部分的工作量等于总工作量1”列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设规定时间是x天，则甲单独完成需x天，乙单独完成需(x+3)天，将总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x+3}$。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}) + \frac{x-2}{x+3} = 1$
化简方程：
$\frac{2}{x} + \frac{2}{x+3} + \frac{x-2}{x+3} = 1$
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
两边同乘最简公分母$x(x+3)$去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
展开并整理得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
分式方程应用、工程问题、分式方程检验
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是找准工作量的等量关系，准确表示出各主体的工作效率，注意分式方程求解后必须检验根是否满足分母不为0且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，核心等量关系为：总工作量=各部分工作量之和。首先设规定时间为x天，分别表示出甲、乙的工作效率，再根据“甲乙合作2天的工作量加上乙单独完成剩余部分的工作量等于总工作量1”列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设规定时间是x天，则甲单独完成需x天，乙单独完成需(x+3)天，将总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x+3}$。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}) + \frac{x-2}{x+3} = 1$
化简方程：
$\frac{2}{x} + \frac{2}{x+3} + \frac{x-2}{x+3} = 1$
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
两边同乘最简公分母$x(x+3)$去分母得：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
展开并整理得：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=6×9=54≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
分式方程应用、工程问题、分式方程检验
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是找准工作量的等量关系，准确表示出各主体的工作效率，注意分式方程求解后必须检验根是否满足分母不为0且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
8.一辆货车送货上山，并按原路下山.若上山速度为$a$ km/h，下山速度为$b$ km/h，则货车上、下山的平均速度为(
A.$\frac{1}{2}(a+b)$ km/h
B.$\frac{ab}{a+b}$ km/h
C.$\frac{a+b}{2ab}$ km/h
D.$\frac{2ab}{a+b}$ km/h
D
).A.$\frac{1}{2}(a+b)$ km/h
B.$\frac{ab}{a+b}$ km/h
C.$\frac{a+b}{2ab}$ km/h
D.$\frac{2ab}{a+b}$ km/h
答案
8.D
解析
【分析】
要计算货车上、下山的平均速度，首先需明确平均速度的计算公式为：平均速度=总路程÷总时间，注意不能直接对上下山的速度求平均值。解题时可先设上山的路程为参数s，分别表示出上山、下山的时间，再结合总路程为上下山路程之和，代入公式化简即可得到结果。
【解析】
设上山的路程为$s$ km，则下山的路程也为$s$ km。
上山所需时间：$t_1=\frac{s}{a}$ h
下山所需时间：$t_2=\frac{s}{b}$ h
上、下山的总路程：$s_{\mathrm{总}}=s+s=2s$ km
上、下山的总时间：$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{sb+sa}{ab}=\frac{s(a+b)}{ab}$ h
根据平均速度公式，可得平均速度：
$v=\frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}$ km/h
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均速度计算、分式的运算、列代数式
【点评】
本题易错点是误将两个速度的平均值当作平均速度，解题关键是牢记平均速度是总路程与总时间的比值，通过设参数表示路程和时间，再利用分式的运算法则化简即可求解，核心是对平均速度概念的准确理解。
【难度系数】
0.7
要计算货车上、下山的平均速度，首先需明确平均速度的计算公式为：平均速度=总路程÷总时间，注意不能直接对上下山的速度求平均值。解题时可先设上山的路程为参数s，分别表示出上山、下山的时间，再结合总路程为上下山路程之和，代入公式化简即可得到结果。
【解析】
设上山的路程为$s$ km，则下山的路程也为$s$ km。
上山所需时间：$t_1=\frac{s}{a}$ h
下山所需时间：$t_2=\frac{s}{b}$ h
上、下山的总路程：$s_{\mathrm{总}}=s+s=2s$ km
上、下山的总时间：$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{sb+sa}{ab}=\frac{s(a+b)}{ab}$ h
根据平均速度公式，可得平均速度：
$v=\frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}$ km/h
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均速度计算、分式的运算、列代数式
【点评】
本题易错点是误将两个速度的平均值当作平均速度，解题关键是牢记平均速度是总路程与总时间的比值，通过设参数表示路程和时间，再利用分式的运算法则化简即可求解，核心是对平均速度概念的准确理解。
【难度系数】
0.7
9.某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同.
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元.
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元.
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
答案
9.(1)设购买1件乙种农机具需要$x$万元,则购买1件甲种农机具需要$(x+1)$万元.
依题意得,$\frac{15}{x+1}=\frac{10}{x}$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解,且符合题意.$\therefore x+1=2+1=3$.
故购买1件甲种农机具需要3万元,购买1件乙种农机具需要2万元.
(2)设购买$m$件甲种农机具,则购买$(20-m)$件乙种农机具.
依题意得,$3m+2(20-m)≤46$,解得$m≤6$.
故甲种农机具最多能购买6件.
依题意得,$\frac{15}{x+1}=\frac{10}{x}$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解,且符合题意.$\therefore x+1=2+1=3$.
故购买1件甲种农机具需要3万元,购买1件乙种农机具需要2万元.
(2)设购买$m$件甲种农机具,则购买$(20-m)$件乙种农机具.
依题意得,$3m+2(20-m)≤46$,解得$m≤6$.
故甲种农机具最多能购买6件.
解析
【分析】
(1) 第一问为分式方程的实际应用，我们可以设乙种农机具单价为未知数，用含未知数的式子表示甲种农机具的单价，根据“总价÷单价=数量”，结合“15万元购买甲的数量和10万元购买乙的数量相同”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程解出后要检验是否符合题意、是否为增根。
(2) 第二问为一元一次不等式的实际应用，设甲种农机具的购买数量为未知数，可表示出乙种农机具的购买数量，结合“总费用不超过46万元”的不等关系列不等式，求解后取最大正整数解即为甲种农机具最多可购买的数量。
【解析】
(1) 设购买1件乙种农机具需要$x$万元，则购买1件甲种农机具需要$(x+1)$万元。
依题意得：$\frac{15}{x+1}=\frac{10}{x}$
交叉相乘得$15x=10(x+1)$，解得$x=2$。
经检验，$x=2$是原方程的解，且符合题意。
$\therefore x+1=2+1=3$（万元）。
(2) 设购买$m$件甲种农机具，则购买$(20-m)$件乙种农机具。
依题意得：$3m+2(20-m)≤46$
去括号得$3m+40-2m≤46$，合并同类项解得$m≤6$。
【答案】
(1) 购买1件甲种农机具需要3万元，购买1件乙种农机具需要2万元；
(2) 甲种农机具最多能购买6件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，解题关键是从题干中准确提取等量关系和不等关系，分别列方程、不等式求解，要注意分式方程必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为分式方程的实际应用，我们可以设乙种农机具单价为未知数，用含未知数的式子表示甲种农机具的单价，根据“总价÷单价=数量”，结合“15万元购买甲的数量和10万元购买乙的数量相同”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程解出后要检验是否符合题意、是否为增根。
(2) 第二问为一元一次不等式的实际应用，设甲种农机具的购买数量为未知数，可表示出乙种农机具的购买数量，结合“总费用不超过46万元”的不等关系列不等式，求解后取最大正整数解即为甲种农机具最多可购买的数量。
【解析】
(1) 设购买1件乙种农机具需要$x$万元，则购买1件甲种农机具需要$(x+1)$万元。
依题意得：$\frac{15}{x+1}=\frac{10}{x}$
交叉相乘得$15x=10(x+1)$，解得$x=2$。
经检验，$x=2$是原方程的解，且符合题意。
$\therefore x+1=2+1=3$（万元）。
(2) 设购买$m$件甲种农机具，则购买$(20-m)$件乙种农机具。
依题意得：$3m+2(20-m)≤46$
去括号得$3m+40-2m≤46$，合并同类项解得$m≤6$。
【答案】
(1) 购买1件甲种农机具需要3万元，购买1件乙种农机具需要2万元；
(2) 甲种农机具最多能购买6件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，解题关键是从题干中准确提取等量关系和不等关系，分别列方程、不等式求解，要注意分式方程必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
10.某市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装，现安排甲、乙两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天.
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室.
(2)已知甲公司安装费为每天1 000元，乙公司安装费为每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18 000元，则最多安排甲公司工作多少天？
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室.
(2)已知甲公司安装费为每天1 000元，乙公司安装费为每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18 000元，则最多安排甲公司工作多少天？
答案
10.(1)设乙公司每天安装$x$间教室,则甲公司每天安装$1.5x$间教室.
根据题意,得$\frac{36}{x}-\frac{36}{1.5x}=3$,解得$x=4$.
经检验,$x=4$是所列方程的解,则$1.5x=1.5×4=6$.
故甲公司每天安装6间教室,乙公司每天安装4间教室.
(2)设安排甲公司工作$y$天,则安排乙公司工作$\frac{120-6y}{4}$天.
根据题意,得$1\ 000y+\frac{120-6y}{4}×500≤18\ 000$,
解得$y≤12$.故最多安排甲公司工作12天.
根据题意,得$\frac{36}{x}-\frac{36}{1.5x}=3$,解得$x=4$.
经检验,$x=4$是所列方程的解,则$1.5x=1.5×4=6$.
故甲公司每天安装6间教室,乙公司每天安装4间教室.
(2)设安排甲公司工作$y$天,则安排乙公司工作$\frac{120-6y}{4}$天.
根据题意,得$1\ 000y+\frac{120-6y}{4}×500≤18\ 000$,
解得$y≤12$.故最多安排甲公司工作12天.
解析
【分析】
(1)本题属于工程类应用题，已知甲乙两公司的工效倍数关系，以及安装相同数量教室的时间差，我们可以设乙公司每天安装的教室数量为未知数，进而表示出甲公司的日安装量，再根据“乙安装36间的时间 - 甲安装36间的时间 = 3天”这个等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2)第二问已知总安装量、两公司的日费用，要求总费用不超过18000元时甲公司的最多工作天数，我们可以设甲公司工作y天，先根据总安装量表示出乙公司需要工作的天数，再根据“甲的总费用 + 乙的总费用 ≤ 18000”列一元一次不等式，求解得到y的最大值即可。
【解析】
(1)设乙公司每天安装$x$间教室，则甲公司每天安装$1.5x$间教室。
根据题意列方程得：
$\frac{36}{x}-\frac{36}{1.5x}=3$
解方程得$x=4$。
经检验，$x=4$是所列方程的解，且符合实际意义。
则甲公司每天安装的数量为$1.5x=1.5×4=6$（间）。
(2)设安排甲公司工作$y$天，则乙公司需要工作$\frac{120-6y}{4}$天。
根据总费用不超过18000元，列不等式得：
$1000y+\frac{120-6y}{4}×500≤18000$
解不等式：
两边同乘4得：$4000y + 500(120 - 6y) ≤ 72000$
展开合并得：$1000y ≤ 12000$
解得：$y ≤ 12$。
【答案】
(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
(2)最多安排甲公司工作12天。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、工程问题
【点评】
本题结合实际工程安装场景命题，既考查了分式方程的列解及验根步骤，也考查了一元一次不等式的最值求解，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程的解必须符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于工程类应用题，已知甲乙两公司的工效倍数关系，以及安装相同数量教室的时间差，我们可以设乙公司每天安装的教室数量为未知数，进而表示出甲公司的日安装量，再根据“乙安装36间的时间 - 甲安装36间的时间 = 3天”这个等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2)第二问已知总安装量、两公司的日费用，要求总费用不超过18000元时甲公司的最多工作天数，我们可以设甲公司工作y天，先根据总安装量表示出乙公司需要工作的天数，再根据“甲的总费用 + 乙的总费用 ≤ 18000”列一元一次不等式，求解得到y的最大值即可。
【解析】
(1)设乙公司每天安装$x$间教室，则甲公司每天安装$1.5x$间教室。
根据题意列方程得：
$\frac{36}{x}-\frac{36}{1.5x}=3$
解方程得$x=4$。
经检验，$x=4$是所列方程的解，且符合实际意义。
则甲公司每天安装的数量为$1.5x=1.5×4=6$（间）。
(2)设安排甲公司工作$y$天，则乙公司需要工作$\frac{120-6y}{4}$天。
根据总费用不超过18000元，列不等式得：
$1000y+\frac{120-6y}{4}×500≤18000$
解不等式：
两边同乘4得：$4000y + 500(120 - 6y) ≤ 72000$
展开合并得：$1000y ≤ 12000$
解得：$y ≤ 12$。
【答案】
(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
(2)最多安排甲公司工作12天。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、工程问题
【点评】
本题结合实际工程安装场景命题，既考查了分式方程的列解及验根步骤，也考查了一元一次不等式的最值求解，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程的解必须符合实际意义。
【难度系数】
0.7
