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1.如果把分式$\frac{x}{x+y}$中的$x$与$y$都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（
A.扩大2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.缩小4倍
D.保持不变
D
）。A.扩大2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.缩小4倍
D.保持不变
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步，按照题目要求，将原分式中的x和y替换为扩大2倍后的2x、2y，代入得到新的分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式进行化简；第三步，将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入可得新分式：
$\frac{2x}{2x+2y}$
对分母提取公因式2，变形为：
$\frac{2x}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{x}{x+y}$
化简结果和原分式完全相等，因此分式的值保持不变。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质的常规基础题，主要考查对分式基本性质的理解和应用能力，解题关键是正确替换扩大后的变量，化简后和原式对比即可得出结论，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步，按照题目要求，将原分式中的x和y替换为扩大2倍后的2x、2y，代入得到新的分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式进行化简；第三步，将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入可得新分式：
$\frac{2x}{2x+2y}$
对分母提取公因式2，变形为：
$\frac{2x}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{x}{x+y}$
化简结果和原分式完全相等，因此分式的值保持不变。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质的常规基础题，主要考查对分式基本性质的理解和应用能力，解题关键是正确替换扩大后的变量，化简后和原式对比即可得出结论，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2.要使$\frac{x+4}{2x-1}=\frac{(x+4)(3m+2)}{(2x-1)(7-2m)}$成立，则$m$的值为
1
。答案
2.1
解析
【分析】
本题需结合分式的基本性质解题，思路如下：首先明确分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变。观察等式两边，左侧分式的分子、分母分别乘(3m+2)、(7-2m)得到右侧分式，要使等式恒成立，首先需要两个乘数相等（保证乘的是同一个整式），其次两个乘数均不能为0（避免分式无意义或分子分母乘0后改变分式值），据此列方程求解后验证即可。
【解析】
根据分式的基本性质，要使等式成立，需满足：
1. 分子、分母所乘的整式相等，列方程：
$3m + 2 = 7 - 2m$
移项得：$3m + 2m = 7 - 2$
合并同类项得：$5m = 5$
解得：$m = 1$
2. 验证乘数不为0：
当$m=1$时，$3m+2=3×1+2=5≠0$，$7-2m=7-2×1=5≠0$，满足分式基本性质中“所乘整式不为0”的要求，因此$m=1$符合条件。
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质；解一元一次方程
【点评】
本题易忽略分式基本性质中“所乘（除）的整式不能为0”的隐含条件，解题时求出m的值后要注意验证，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
本题需结合分式的基本性质解题，思路如下：首先明确分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变。观察等式两边，左侧分式的分子、分母分别乘(3m+2)、(7-2m)得到右侧分式，要使等式恒成立，首先需要两个乘数相等（保证乘的是同一个整式），其次两个乘数均不能为0（避免分式无意义或分子分母乘0后改变分式值），据此列方程求解后验证即可。
【解析】
根据分式的基本性质，要使等式成立，需满足：
1. 分子、分母所乘的整式相等，列方程：
$3m + 2 = 7 - 2m$
移项得：$3m + 2m = 7 - 2$
合并同类项得：$5m = 5$
解得：$m = 1$
2. 验证乘数不为0：
当$m=1$时，$3m+2=3×1+2=5≠0$，$7-2m=7-2×1=5≠0$，满足分式基本性质中“所乘整式不为0”的要求，因此$m=1$符合条件。
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质；解一元一次方程
【点评】
本题易忽略分式基本性质中“所乘（除）的整式不能为0”的隐含条件，解题时求出m的值后要注意验证，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
3.约分.
(1) $\dfrac{-4x^3y^2}{16xy^3}$.
(2) $\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.
(1) $\dfrac{-4x^3y^2}{16xy^3}$.
(2) $\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.
答案
3.(1)$-\frac{x^2}{4y}$.(2)$\frac{x-3}{x+3}$
解析
【分析】
约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到最简分式。解题时先判断分子分母的形式：
（1）对于单项式构成的分式，先确定结果的符号，再分别找分子分母系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，组合得到公因式，再约去公因式即可。
（2）对于分子分母都是多项式的分式，第一步先分别对分子、分母进行因式分解，再找出公因式约去，注意约分默认分式有意义，公因式不为0。
【解析】
(1) 先确定公因式为$4xy^2$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$4xy^2$：
$\dfrac{-4x^3y^2}{16xy^3}=\dfrac{-4x^3y^2÷ 4xy^2}{16xy^3÷ 4xy^2}=-\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$x^2-6x+9=(x-3)^2$（完全平方公式），分母$x^2-9=(x-3)(x+3)$（平方差公式），
原式$=\dfrac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$，约去公因式$x-3$（默认$x≠3$且$x≠-3$），得：
$\dfrac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x^2}{4y}$；(2)$\dfrac{x-3}{x+3}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，单项式约分要注意符号、系数和同底数幂的处理，多项式约分需先因式分解再找公因式，计算时要注意避免未分解直接约分的错误。
【难度系数】
0.85
约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到最简分式。解题时先判断分子分母的形式：
（1）对于单项式构成的分式，先确定结果的符号，再分别找分子分母系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，组合得到公因式，再约去公因式即可。
（2）对于分子分母都是多项式的分式，第一步先分别对分子、分母进行因式分解，再找出公因式约去，注意约分默认分式有意义，公因式不为0。
【解析】
(1) 先确定公因式为$4xy^2$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$4xy^2$：
$\dfrac{-4x^3y^2}{16xy^3}=\dfrac{-4x^3y^2÷ 4xy^2}{16xy^3÷ 4xy^2}=-\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$x^2-6x+9=(x-3)^2$（完全平方公式），分母$x^2-9=(x-3)(x+3)$（平方差公式），
原式$=\dfrac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$，约去公因式$x-3$（默认$x≠3$且$x≠-3$），得：
$\dfrac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x^2}{4y}$；(2)$\dfrac{x-3}{x+3}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，单项式约分要注意符号、系数和同底数幂的处理，多项式约分需先因式分解再找公因式，计算时要注意避免未分解直接约分的错误。
【难度系数】
0.85
4.已知$x=2y≠0$，求$\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - xy}$的值.
答案
4.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类基础题，推荐优先采用“先化简再代入”的思路解题：第一步先对分式的分子、分母分别因式分解，第二步结合题目给出的x=2y≠0的条件，确认公因式不为0，符合分式约分的前提，第三步约分简化分式后，再代入已知的x和y的关系计算，这种方法比直接代入原式计算更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先对原式的分子、分母因式分解：
分子：$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)$（平方差公式）
分母：$x^2 - xy=x(x-y)$（提取公因式法）
已知$x=2y≠0$，可得$x≠0$，$y≠0$，因此$x-y=2y-y=y≠0$，满足分式约分的条件，约去公因式$(x-y)$得：
$\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - xy}=\dfrac{(x-y)(x+y)}{x(x-y)}=\dfrac{x+y}{x}$
将$x=2y$代入化简后的式子：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{2y+y}{2y}=\dfrac{3y}{2y}$
因为$y≠0$，约去$y$后得$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的核心方法，先化简再代入能有效降低计算量，解题时要注意先验证约分时的公因式不为0，保证分式变形有意义。
【难度系数】
0.85
本题是分式化简求值类基础题，推荐优先采用“先化简再代入”的思路解题：第一步先对分式的分子、分母分别因式分解，第二步结合题目给出的x=2y≠0的条件，确认公因式不为0，符合分式约分的前提，第三步约分简化分式后，再代入已知的x和y的关系计算，这种方法比直接代入原式计算更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先对原式的分子、分母因式分解：
分子：$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)$（平方差公式）
分母：$x^2 - xy=x(x-y)$（提取公因式法）
已知$x=2y≠0$，可得$x≠0$，$y≠0$，因此$x-y=2y-y=y≠0$，满足分式约分的条件，约去公因式$(x-y)$得：
$\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - xy}=\dfrac{(x-y)(x+y)}{x(x-y)}=\dfrac{x+y}{x}$
将$x=2y$代入化简后的式子：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{2y+y}{2y}=\dfrac{3y}{2y}$
因为$y≠0$，约去$y$后得$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的核心方法，先化简再代入能有效降低计算量，解题时要注意先验证约分时的公因式不为0，保证分式变形有意义。
【难度系数】
0.85
5.通分.
(1) $\frac{x}{6ab^2}, \frac{y}{9a^2bc}$.
(2) $\frac{a-1}{(a+1)^2}, \frac{4}{a^2-1}$.
(1) $\frac{x}{6ab^2}, \frac{y}{9a^2bc}$.
(2) $\frac{a-1}{(a+1)^2}, \frac{4}{a^2-1}$.
答案
5.(1)$\frac{x}{6ab^2}=\frac{3xac}{18a^2b^2c},\frac{y}{9a^2bc}=\frac{2yb}{18a^2b^2c}$.(2)$\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{4}{a^2-1}=\frac{4(a+1)}{(a+1)(a-1)(a+1)}=\frac{4(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再依据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的不为0的整式，使分母统一为最简公分母。解题步骤：①先分析每个分母，若分母是多项式需先因式分解；②找最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或因式）取最高次幂，独有的字母（或因式）直接作为公分母的因式；③各分式分子分母同乘自身分母缺少的因式，完成通分。
(1)两个分式的分母是单项式，可直接找最简公分母；(2)第二个分母是多项式，需先因式分解再找最简公分母。
【解析】
(1) 确定最简公分母：
分母$6ab^2$和$9a^2bc$的系数最小公倍数是18，$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，独有因式为$c$，因此最简公分母为$18a^2b^2c$。
对两个分式分别变形：
$\frac{x}{6ab^2}=\frac{x· 3ac}{6ab^2· 3ac}=\frac{3xac}{18a^2b^2c}$
$\frac{y}{9a^2bc}=\frac{y· 2b}{9a^2bc· 2b}=\frac{2yb}{18a^2b^2c}$
(2) 先因式分解多项式分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
确定最简公分母：分母$(a+1)^2$和$(a+1)(a-1)$的最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$。
对两个分式分别变形：
$\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)· (a-1)}{(a+1)^2· (a-1)}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$
$\frac{4}{a^2-1}=\frac{4· (a+1)}{(a+1)(a-1)· (a+1)}=\frac{4(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【答案】
(1)$\frac{x}{6ab^2}=\frac{3xac}{18a^2b^2c},\frac{y}{9a^2bc}=\frac{2yb}{18a^2b^2c}$
(2)$\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{4}{a^2-1}=\frac{4(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查通分的基本操作方法，解题的易错点为多项式分母忘记先因式分解，或分子漏乘对应补充的因式，熟练掌握通分步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再依据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的不为0的整式，使分母统一为最简公分母。解题步骤：①先分析每个分母，若分母是多项式需先因式分解；②找最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或因式）取最高次幂，独有的字母（或因式）直接作为公分母的因式；③各分式分子分母同乘自身分母缺少的因式，完成通分。
(1)两个分式的分母是单项式，可直接找最简公分母；(2)第二个分母是多项式，需先因式分解再找最简公分母。
【解析】
(1) 确定最简公分母：
分母$6ab^2$和$9a^2bc$的系数最小公倍数是18，$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，独有因式为$c$，因此最简公分母为$18a^2b^2c$。
对两个分式分别变形：
$\frac{x}{6ab^2}=\frac{x· 3ac}{6ab^2· 3ac}=\frac{3xac}{18a^2b^2c}$
$\frac{y}{9a^2bc}=\frac{y· 2b}{9a^2bc· 2b}=\frac{2yb}{18a^2b^2c}$
(2) 先因式分解多项式分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
确定最简公分母：分母$(a+1)^2$和$(a+1)(a-1)$的最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$。
对两个分式分别变形：
$\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)· (a-1)}{(a+1)^2· (a-1)}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$
$\frac{4}{a^2-1}=\frac{4· (a+1)}{(a+1)(a-1)· (a+1)}=\frac{4(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【答案】
(1)$\frac{x}{6ab^2}=\frac{3xac}{18a^2b^2c},\frac{y}{9a^2bc}=\frac{2yb}{18a^2b^2c}$
(2)$\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{4}{a^2-1}=\frac{4(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查通分的基本操作方法，解题的易错点为多项式分母忘记先因式分解，或分子漏乘对应补充的因式，熟练掌握通分步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6.若$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}≠0$，求$\frac{a - b}{c}$的值.
答案
6.$-\frac{1}{6}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，可采用参数法求解：先设这个相等的比值为非零参数k，就能将a、b、c都转化为含k的代数式，再代入待求的分式中化简，参数k会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
设$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），
根据等式的性质可得：$a=4k$，$b=5k$，$c=6k$，
将以上表达式代入$\frac{a-b}{c}$得：
$\frac{a-b}{c}=\frac{4k-5k}{6k}=\frac{-k}{6k}$，
因为$k≠0$，根据分式的基本性质约去分子分母的公因式k，
可得$\frac{-k}{6k}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
$-\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的基本性质；比例式求值；参数法解题
【点评】
本题是比例类分式求值的基础题型，核心是掌握设参数的方法将多个未知量转化为同一参数的表达式，代入化简即可得到结果，计算时要注意需满足参数不为0的前提才可约分。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，可采用参数法求解：先设这个相等的比值为非零参数k，就能将a、b、c都转化为含k的代数式，再代入待求的分式中化简，参数k会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
设$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），
根据等式的性质可得：$a=4k$，$b=5k$，$c=6k$，
将以上表达式代入$\frac{a-b}{c}$得：
$\frac{a-b}{c}=\frac{4k-5k}{6k}=\frac{-k}{6k}$，
因为$k≠0$，根据分式的基本性质约去分子分母的公因式k，
可得$\frac{-k}{6k}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
$-\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的基本性质；比例式求值；参数法解题
【点评】
本题是比例类分式求值的基础题型，核心是掌握设参数的方法将多个未知量转化为同一参数的表达式，代入化简即可得到结果，计算时要注意需满足参数不为0的前提才可约分。
【难度系数】
0.8
7.已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，求$\frac{5x+3xy+5y}{x-2xy+y}$的值.
答案
7.18
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和待求分式的结构特征：已知是x、y的倒数和，通分后可推导出x+y与xy的数量关系；待求分式的分子、分母均可以整理为含(x+y)和xy的组合形式，因此不需要单独求解x、y的值，只需将x+y与xy的关系整体代入待求分式，约分化简即可得到结果。
【解析】
第一步：对已知条件变形
∵ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$（由分式有意义可知$x≠0$，$y≠0$，即$xy≠0$）
对等式左边通分，得：$\frac{y+x}{xy}=3$
两边同乘$xy$，得：$x+y=3xy$
第二步：整理待求分式，整体代入计算
$\frac{5x+3xy+5y}{x-2xy+y}$
将分子、分母分别合并同类项，改写为含$x+y$的形式：
$=\frac{5(x+y)+3xy}{(x+y)-2xy}$
将$x+y=3xy$代入上式：
$=\frac{5×3xy + 3xy}{3xy - 2xy}$
$=\frac{15xy+3xy}{xy}$
$=\frac{18xy}{xy}$
∵ $xy≠0$，约分得：$=18$
【答案】
18
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，分式通分运算
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题核心是通过对已知条件变形得到x+y与xy的等量关系，利用整体代入思想简化运算，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考察分式变形能力和数学思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式和待求分式的结构特征：已知是x、y的倒数和，通分后可推导出x+y与xy的数量关系；待求分式的分子、分母均可以整理为含(x+y)和xy的组合形式，因此不需要单独求解x、y的值，只需将x+y与xy的关系整体代入待求分式，约分化简即可得到结果。
【解析】
第一步：对已知条件变形
∵ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$（由分式有意义可知$x≠0$，$y≠0$，即$xy≠0$）
对等式左边通分，得：$\frac{y+x}{xy}=3$
两边同乘$xy$，得：$x+y=3xy$
第二步：整理待求分式，整体代入计算
$\frac{5x+3xy+5y}{x-2xy+y}$
将分子、分母分别合并同类项，改写为含$x+y$的形式：
$=\frac{5(x+y)+3xy}{(x+y)-2xy}$
将$x+y=3xy$代入上式：
$=\frac{5×3xy + 3xy}{3xy - 2xy}$
$=\frac{15xy+3xy}{xy}$
$=\frac{18xy}{xy}$
∵ $xy≠0$，约分得：$=18$
【答案】
18
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，分式通分运算
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题核心是通过对已知条件变形得到x+y与xy的等量关系，利用整体代入思想简化运算，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考察分式变形能力和数学思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
