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1.化简$\frac{a^2b - ab^2}{b - a}$的结果为(
A.$ab$
B.$-ab$
C.$a^2 - b^2$
D.$b^2 - a^2$
B
).A.$ab$
B.$-ab$
C.$a^2 - b^2$
D.$b^2 - a^2$
答案
1.B
解析
【分析】
要化简这个分式，首先观察分子是多项式，第一步先对分子进行提公因式因式分解，再对比分解后的分子与分母的关系，会发现分母$b-a$和分子分解后含有的因式$a-b$互为相反数，将分母变形后即可约分，最终得到化简结果。
【解析】
第一步：对分子因式分解
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
第二步：代入原式并变形分母
$\frac{a^2b - ab^2}{b - a} = \frac{ab(a - b)}{b - a} = \frac{ab(a - b)}{-(a - b)}$
第三步：约分
由分式有意义的条件可知$b≠ a$，即$a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，得：
原式$=-ab$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的核心是先对多项式因式分解，再观察分子分母的因式关系，需要特别注意互为相反数的因式变形时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要化简这个分式，首先观察分子是多项式，第一步先对分子进行提公因式因式分解，再对比分解后的分子与分母的关系，会发现分母$b-a$和分子分解后含有的因式$a-b$互为相反数，将分母变形后即可约分，最终得到化简结果。
【解析】
第一步：对分子因式分解
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
第二步：代入原式并变形分母
$\frac{a^2b - ab^2}{b - a} = \frac{ab(a - b)}{b - a} = \frac{ab(a - b)}{-(a - b)}$
第三步：约分
由分式有意义的条件可知$b≠ a$，即$a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，得：
原式$=-ab$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的核心是先对多项式因式分解，再观察分子分母的因式关系，需要特别注意互为相反数的因式变形时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
2.计算$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x}$的结果为(
A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{2}{x(x+2)}$
B
).A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{2}{x(x+2)}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题是分式除法化简题，解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对分子、分母中的多项式分别用平方差公式、提公因式法进行因式分解；最后约去分子分母的公因式，得到最简结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，可得：
$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x} = \frac{2}{x^2 -4} × (x^2 -2x)$
对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$，代入上式得：
原式$=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约去分子分母的公因式$(x-2)$（默认分式有意义，分母不为0），化简得：
原式$=\frac{2x}{x+2}$
【答案】
B
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考察分式运算规则和因式分解的应用，解题时需注意先将除法转换为乘法再进行约分，可降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是分式除法化简题，解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对分子、分母中的多项式分别用平方差公式、提公因式法进行因式分解；最后约去分子分母的公因式，得到最简结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，可得：
$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x} = \frac{2}{x^2 -4} × (x^2 -2x)$
对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$，代入上式得：
原式$=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约去分子分母的公因式$(x-2)$（默认分式有意义，分母不为0），化简得：
原式$=\frac{2x}{x+2}$
【答案】
B
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考察分式运算规则和因式分解的应用，解题时需注意先将除法转换为乘法再进行约分，可降低出错概率。
【难度系数】
0.7
3.计算$\frac{3a}{a-b} - \frac{3b}{a-b}$的结果为(
A.3
B.$3a+3b$
C.1
D.$\frac{6a}{a-b}$
A
).A.3
B.$3a+3b$
C.1
D.$\frac{6a}{a-b}$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察算式中两个分式的分母，发现二者相同，属于同分母分式的减法运算。解题思路如下：第一步，根据同分母分式加减法法则，分母保持不变，将两个分子相减得到新的分子；第二步，对新分子因式分解，提取公因式3；第三步，约去分子和分母的公因式（a-b，默认a≠b保证分式有意义），即可得到化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{3a}{a-b} - \frac{3b}{a-b}$
$=\frac{3a - 3b}{a - b}$
对分子提取公因式3，得：
$=\frac{3(a - b)}{a - b}$
约去分子分母的公因式$a-b$（$a≠ b$），得结果为3。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，熟练掌握基础运算法则即可快速解题，计算时要注意分子是整体相减，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
首先观察算式中两个分式的分母，发现二者相同，属于同分母分式的减法运算。解题思路如下：第一步，根据同分母分式加减法法则，分母保持不变，将两个分子相减得到新的分子；第二步，对新分子因式分解，提取公因式3；第三步，约去分子和分母的公因式（a-b，默认a≠b保证分式有意义），即可得到化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{3a}{a-b} - \frac{3b}{a-b}$
$=\frac{3a - 3b}{a - b}$
对分子提取公因式3，得：
$=\frac{3(a - b)}{a - b}$
约去分子分母的公因式$a-b$（$a≠ b$），得结果为3。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，熟练掌握基础运算法则即可快速解题，计算时要注意分子是整体相减，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
4.化简$\frac{4}{a+2}+a-2$的结果为（
A.1
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
B
）.A.1
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
答案
4.B
解析
【分析】
本题是分式与整式的加法运算，属于异分母分式加减范畴，解题思路如下：首先把整式看作分母为1的“分式”，找到两个分式的最简公分母进行通分，转化为同分母分式的加法运算；再合并分子，利用乘法公式化简分子后，即可得到最终化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：将整式$a-2$看作分母为1的分式，通分后按同分母分式加法规则计算：
$\begin{aligned}\frac{4}{a+2}+a-2&=\frac{4}{a+2}+\frac{a-2}{1}\\&=\frac{4}{a+2}+\frac{(a-2)(a+2)}{a+2}\\&=\frac{4+a^2-4}{a+2}\\&=\frac{a^2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，分式通分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题关键是将整式转化为分母为1的形式参与通分运算，计算过程中要正确运用乘法公式化简分子，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
本题是分式与整式的加法运算，属于异分母分式加减范畴，解题思路如下：首先把整式看作分母为1的“分式”，找到两个分式的最简公分母进行通分，转化为同分母分式的加法运算；再合并分子，利用乘法公式化简分子后，即可得到最终化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：将整式$a-2$看作分母为1的分式，通分后按同分母分式加法规则计算：
$\begin{aligned}\frac{4}{a+2}+a-2&=\frac{4}{a+2}+\frac{a-2}{1}\\&=\frac{4}{a+2}+\frac{(a-2)(a+2)}{a+2}\\&=\frac{4+a^2-4}{a+2}\\&=\frac{a^2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，分式通分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题关键是将整式转化为分母为1的形式参与通分运算，计算过程中要正确运用乘法公式化简分子，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
5.计算.
(1) $\frac{2x}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}$.
(2) $\frac{2}{m+n} - \frac{m-3n}{m^2 -n^2}$.
(1) $\frac{2x}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}$.
(2) $\frac{2}{m+n} - \frac{m-3n}{m^2 -n^2}$.
答案
(1) 原式$=\frac{2x}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\frac{2x-x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x+3}.$
(2) 原式$=\frac{2(m-n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{m-3n}{(m+n)(m-n)}=\frac{2m-2n-m+3n}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{(m+n)(m-n)}=\frac{1}{m-n}.$
(2) 原式$=\frac{2(m-n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{m-3n}{(m+n)(m-n)}=\frac{2m-2n-m+3n}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{(m+n)(m-n)}=\frac{1}{m-n}.$
解析
【分析】
这两道题都是异分母分式的减法运算，解题遵循异分母分式加减的通用步骤：①先对各分式的分母因式分解，确定最简公分母；②利用分式的基本性质，将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，注意去括号时的符号处理；④对分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简分式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，可得最简公分母为$(x+3)(x-3)$
原式$=\frac{2x}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x-(x+3)}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x-x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
约去公因式$x-3$，得结果为$\frac{1}{x+3}$。
(2) 先因式分解分母：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得最简公分母为$(m+n)(m-n)$
原式$=\frac{2(m-n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{m-3n}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{2(m-n)-(m-3n)}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{2m-2n-m+3n}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{(m+n)(m-n)}$
约去公因式$m+n$，得结果为$\frac{1}{m-n}$。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{x+3}}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{m-n}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础常规题，核心是掌握异分母分式加减的运算流程，对分母因式分解是确定最简公分母的关键，运算时要注意去括号的符号变化，约分后需保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
这两道题都是异分母分式的减法运算，解题遵循异分母分式加减的通用步骤：①先对各分式的分母因式分解，确定最简公分母；②利用分式的基本性质，将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，注意去括号时的符号处理；④对分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简分式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，可得最简公分母为$(x+3)(x-3)$
原式$=\frac{2x}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x-(x+3)}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x-x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
约去公因式$x-3$，得结果为$\frac{1}{x+3}$。
(2) 先因式分解分母：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得最简公分母为$(m+n)(m-n)$
原式$=\frac{2(m-n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{m-3n}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{2(m-n)-(m-3n)}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{2m-2n-m+3n}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{(m+n)(m-n)}$
约去公因式$m+n$，得结果为$\frac{1}{m-n}$。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{x+3}}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{m-n}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础常规题，核心是掌握异分母分式加减的运算流程，对分母因式分解是确定最简公分母的关键，运算时要注意去括号的符号变化，约分后需保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
6.计算.
(1) $\frac{a-3}{a^2+4a+4} · \frac{a^2-4}{a-3} + \frac{2}{a+2}$.
(2) $(m+2+\frac{5}{2-m}) · \frac{m-2}{m-3}$.
(3) $(\frac{3}{x-1} - x -1) ÷ \frac{x^2 -4x +4}{x-1}$.
(4) $(1 - \frac{2}{a-2}) ÷ \frac{a-4}{a^2 -4}$.
(1) $\frac{a-3}{a^2+4a+4} · \frac{a^2-4}{a-3} + \frac{2}{a+2}$.
(2) $(m+2+\frac{5}{2-m}) · \frac{m-2}{m-3}$.
(3) $(\frac{3}{x-1} - x -1) ÷ \frac{x^2 -4x +4}{x-1}$.
(4) $(1 - \frac{2}{a-2}) ÷ \frac{a-4}{a^2 -4}$.
答案
(1) 原式$=\frac{a-3}{(a+2)^2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}+\frac{2}{a+2}=\frac{a-2}{a+2}+\frac{2}{a+2}=\frac{a}{a+2}.$
(2) 原式$=(m+2-\frac{5}{m-2})·\frac{m-2}{m-3}=\frac{m^2-4-5}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=\frac{(m-3)(m+3)}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=m+3.$
(3) 原式$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{x+2}{x-2}.$
(4) 原式$=\frac{a-4}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}=a+2.$
(2) 原式$=(m+2-\frac{5}{m-2})·\frac{m-2}{m-3}=\frac{m^2-4-5}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=\frac{(m-3)(m+3)}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=m+3.$
(3) 原式$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{x+2}{x-2}.$
(4) 原式$=\frac{a-4}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}=a+2.$
解析
【分析】
分式混合运算的通用解题思路：①先对所有分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分；②有括号的优先计算括号内的运算，将整式与分式通分合并为单个分式；③乘除运算中先把除法转化为乘法，再约去分子分母的公因式；④加减运算先通分化为同分母分式，再对分子做加减，最终结果化为最简分式。这4道题均按照该思路逐步计算即可，运算时需注意符号变化，避免通分、去括号时出错。
【解析】
(1) 先因式分解分子分母，再做乘法约分，最后做同分母分式加法：
原式$=\frac{a-3}{(a+2)^2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}+\frac{2}{a+2}=\frac{a-2}{a+2}+\frac{2}{a+2}=\frac{a-2+2}{a+2}=\frac{a}{a+2}$
(2) 先将括号内的式子通分合并，再因式分解约分：
原式$=(m+2-\frac{5}{m-2})·\frac{m-2}{m-3}=\frac{m^2-4-5}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=\frac{(m-3)(m+3)}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=m+3$
(3) 先将括号内的式子通分合并，再把除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{x+2}{x-2}$
(4) 先计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{a-4}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}=a+2$
【答案】
(1) $\frac{a}{a+2}$；(2) $m+3$；(3) $-\frac{x+2}{x-2}$；(4) $a+2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分通分
【点评】
本组题是分式化简的常规基础题型，核心考查分式运算的基本法则，优先因式分解再约分可大幅简化计算过程，运算时需重点注意通分、去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
分式混合运算的通用解题思路：①先对所有分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分；②有括号的优先计算括号内的运算，将整式与分式通分合并为单个分式；③乘除运算中先把除法转化为乘法，再约去分子分母的公因式；④加减运算先通分化为同分母分式，再对分子做加减，最终结果化为最简分式。这4道题均按照该思路逐步计算即可，运算时需注意符号变化，避免通分、去括号时出错。
【解析】
(1) 先因式分解分子分母，再做乘法约分，最后做同分母分式加法：
原式$=\frac{a-3}{(a+2)^2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}+\frac{2}{a+2}=\frac{a-2}{a+2}+\frac{2}{a+2}=\frac{a-2+2}{a+2}=\frac{a}{a+2}$
(2) 先将括号内的式子通分合并，再因式分解约分：
原式$=(m+2-\frac{5}{m-2})·\frac{m-2}{m-3}=\frac{m^2-4-5}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=\frac{(m-3)(m+3)}{m-2}·\frac{m-2}{m-3}=m+3$
(3) 先将括号内的式子通分合并，再把除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}·\frac{x-1}{(x-2)^2}=-\frac{x+2}{x-2}$
(4) 先计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{a-4}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}=a+2$
【答案】
(1) $\frac{a}{a+2}$；(2) $m+3$；(3) $-\frac{x+2}{x-2}$；(4) $a+2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分通分
【点评】
本组题是分式化简的常规基础题型，核心考查分式运算的基本法则，优先因式分解再约分可大幅简化计算过程，运算时需重点注意通分、去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
