三、解答题(共40分)
11.(10分)(2025·宿迁沭阳县期末)班级团队准备联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A,B,C,D.晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下.
(1)第一个摘下D灯笼的概率是；
(2)求第二个摘下A灯笼的概率.

11.(1)$\frac{1}{2}$
(2)解:由题意,画树状图如答图所示.
则共有4种等可能的结果,其中第二个摘下A灯笼的结果只有1种,故第二个摘下A灯笼的概率为$\frac{1}{4}$.

【分析】
(1) 先根据题目给出的摘灯笼规则分析初始可摘的灯笼：摘A前需先摘B、摘C前需先摘D，因此初始状态下只有B、D两个灯笼可以被摘下，共2种等可能的情况，其中第一个摘下D的情况有1种，直接用概率公式即可计算。
(2) 求解第二个摘下A的概率时，先明确每一步的可选灯笼范围：第一步仅能选B或D；若第一步选B，此时A可摘、C仍不可摘，因此第二步可选A、D；若第一步选D，此时C可摘、A仍不可摘，因此第二步可选B、C。通过画树状图列举所有等可能的结果，再统计第二个摘下A的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，第一次摘灯笼时，仅B、D符合摘下条件，共2种等可能的结果，其中第一个摘下D的结果有1种，因此$P(\mathrm{第一个摘下D})=\frac{1}{2}$。
(2) 根据摘灯笼的约束规则，画树状图如下：

由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中第二个摘下A灯笼的结果只有1种，因此$P(\mathrm{第二个摘下A灯笼})=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{4}$，树状图：
【知识点】
概率计算，树状图法，列举法
【点评】
本题结合实际生活场景考查概率的求解，解题的核心是先理清摘灯笼的限制条件，筛选出每一步符合要求的可选对象，避免出现不符合规则的情况，再通过列举法列出所有等可能结果即可计算概率，侧重考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7

12.(15分)(2025·宿迁泗洪县一模)一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字$\sqrt{5},\sqrt{3}$和$\frac{1}{2}$.
(1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是________；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为$x$，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为$y$.请用列表法或画树状图法求出$x$与$y$的乘积是有理数的概率.

12.(1)$\frac{2}{3}$
(2)解:画树状图如答图所示.
共有9种等可能的结果,其中x与y的乘积是有理数的结果有3种，
故$P(x$与$y$的乘积是有理数$)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 解决第一问首先要识别三个数字中的无理数：无限不循环小数是无理数，$\sqrt{5}$、$\sqrt{3}$都是开方开不尽的数，属于无理数，$\frac{1}{2}$是分数属于有理数，再根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可算出结果。
(2) 解决第二问首先明确这是有放回的摸球试验，两次摸球相互独立，每次都有3种等可能的结果，可以通过画树状图列举出所有9种等可能的结果，再逐个计算$x$和$y$的乘积，筛选出乘积为有理数的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 口袋中3个小球上的数字分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{3}$、$\frac{1}{2}$，其中无理数为$\sqrt{5}$、$\sqrt{3}$，共2个，随机摸一个小球共有3种等可能的结果，因此摸出数字是无理数的概率为$2÷3=\frac{2}{3}$。
(2) 该摸球试验为有放回摸球，画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，分别为：$(\sqrt{5},\sqrt{5})$、$(\sqrt{5},\sqrt{3})$、$(\sqrt{5},\frac{1}{2})$、$(\sqrt{3},\sqrt{5})$、$(\sqrt{3},\sqrt{3})$、$(\sqrt{3},\frac{1}{2})$、$(\frac{1}{2},\sqrt{5})$、$(\frac{1}{2},\sqrt{3})$、$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
计算每组乘积可知，乘积为有理数的结果有$(\sqrt{5},\sqrt{5})$、$(\sqrt{3},\sqrt{3})$、$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，共3种，因此$P(x$与$y$的乘积是有理数$)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) 解:画树状图如答图所示.
共有9种等可能的结果,其中x与y的乘积是有理数的结果有3种，
故$P(x$与$y$的乘积是有理数$)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
无理数的识别，概率公式，列表法与树状图法
【点评】
本题是概率的基础应用题，既考查了有理数、无理数的基本概念，又考查了概率的计算方法，解题时要注意区分有放回和无放回摸球的差异，避免列举结果时出现遗漏或重复，细心列举所有情况即可正确求解。
【难度系数】
0.7

13.(15分)(2025·广安)某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动,为了解学生对四类书籍(A体育类,B科技类,C文学类,D艺术类)的喜爱情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类),并将数据进行统计和整理,绘制了两幅不完整的统计图,根据图中信息,请回答下列问题:
(1)本次抽取调查的学生共有人,估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为人;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)在活动中,甲、乙、丙三名学生表现优秀,决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中甲和乙的概率.

13.(1)200 800
(2)解:喜爱C文学类的人数为200-20-80-40=60，将条形统计图补充完整如答图所示.
(3)解:列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | — | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | — |
共有6种等可能的结果,其中恰好选中甲和乙的结果有2种,所以恰好选中甲和乙的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
解题可分三步逐步推导：
1. 求解第一问：结合两个统计图的信息，D类喜爱人数为40人，对应占总调查人数的20%，根据“总量=部分量÷对应占比”即可算出抽取的总人数；再计算抽取样本中B类的占比，乘全校总人数2000，即可估计全校喜爱B类的人数。
2. 求解第二问：用总调查人数减去A、B、D三类的人数，得到C类的喜爱人数，依此补全条形统计图即可。
3. 求解第三问：用列表法列出从三人中选两人的所有等可能结果，再统计恰好选中甲和乙的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知喜爱D艺术类的学生有40人，占总调查人数的20%，因此总调查人数为：$40÷20\%=200$人。
抽取样本中喜爱B科技类的占比为$\frac{80}{200}=0.4$，因此全校2000名学生中喜爱B类的人数约为：$2000×0.4=800$人。
(2) 喜爱C文学类的人数为：$200-20-80-40=60$人，据此补全条形统计图。
(3) 列表统计所有选取结果：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | — | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | — |
共有6种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果共2种，因此概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)200 800
(2)解:喜爱C文学类的人数为200-20-80-40=60，将条形统计图补充完整如答图所示.
(3)解:列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | — | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | — |
共有6种等可能的结果,其中恰好选中甲和乙的结果有2种,所以恰好选中甲和乙的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
统计图表的应用、用样本估计总体、列表法求概率
【点评】
本题结合实际调查场景，综合考查了统计信息提取和概率计算的能力，题型较为常规，侧重对基础方法的考查，是统计与概率模块的典型考题。
【难度系数】
0.7