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1.在联欢会上，有A,B,C三人站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（
A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
B
）A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
答案
1.B
解析
【分析】要使游戏公平，需保证凳子到A、B、C三人的距离相等，即要找到△ABC内到三个顶点距离相等的点，再结合三角形各特殊交点的性质逐一判断选项即可。
【解析】要使抢凳子游戏公平，凳子到A、B、C三名玩家的距离必须相等，即所求点需满足到△ABC三个顶点的距离相等：
A选项：三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，无法保证到三个顶点的距离相等，不符合要求；
B选项：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离都相等，符合公平要求；
C选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D选项：三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1.线段垂直平分线的性质；2.三角形特殊点的性质；3.游戏公平性判断
【点评】本题结合生活游戏场景考查几何性质的应用，解题的核心是将游戏公平的实际要求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的几何条件，再结合三角形各特殊交点的性质逐一排查即可，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】要使抢凳子游戏公平，凳子到A、B、C三名玩家的距离必须相等，即所求点需满足到△ABC三个顶点的距离相等：
A选项：三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，无法保证到三个顶点的距离相等，不符合要求；
B选项：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离都相等，符合公平要求；
C选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D选项：三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1.线段垂直平分线的性质；2.三角形特殊点的性质；3.游戏公平性判断
【点评】本题结合生活游戏场景考查几何性质的应用，解题的核心是将游戏公平的实际要求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的几何条件，再结合三角形各特殊交点的性质逐一排查即可，难度较低。
【难度系数】0.8
2.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（
A.$\frac{13}{25}$
B.$\frac{12}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{13}{25}$
B.$\frac{12}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果：每人出拳的手指数是1~5共5种，两人出拳互不影响，可得总共有5×5=25种等可能结果；第二步找满足“和为偶数”的结果：根据奇偶数加法性质，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以分两种情况计数：两人都出奇数、两人都出偶数，分别算出两种情况的结果数相加；第三步用符合条件的结果数除以总结果数就得到小李获胜的概率。
【解析】
解：每人每次出拳的手指数可以为1、2、3、4、5，共5种等可能的选择，
因此两人出拳的总等可能结果数为：$5×5=25$种。
两人出拳手指之和为偶数的情况分为两类：
①两人都出奇数：每人出奇数的选择有1、3、5，共3种，该类共有$3×3=9$种结果；
②两人都出偶数：每人出偶数的选择有2、4，共2种，该类共有$2×2=4$种结果。
因此小李获胜的总结果数为$9+4=13$种，
所以小李获胜的概率为$\frac{13}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、奇偶数运算性质
【点评】
本题结合生活中的猜拳游戏考查概率的应用，解题核心是正确分类计数符合条件的结果，避免陷入“和为奇偶概率各半”的思维误区，属于概率的常规基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果：每人出拳的手指数是1~5共5种，两人出拳互不影响，可得总共有5×5=25种等可能结果；第二步找满足“和为偶数”的结果：根据奇偶数加法性质，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以分两种情况计数：两人都出奇数、两人都出偶数，分别算出两种情况的结果数相加；第三步用符合条件的结果数除以总结果数就得到小李获胜的概率。
【解析】
解：每人每次出拳的手指数可以为1、2、3、4、5，共5种等可能的选择，
因此两人出拳的总等可能结果数为：$5×5=25$种。
两人出拳手指之和为偶数的情况分为两类：
①两人都出奇数：每人出奇数的选择有1、3、5，共3种，该类共有$3×3=9$种结果；
②两人都出偶数：每人出偶数的选择有2、4，共2种，该类共有$2×2=4$种结果。
因此小李获胜的总结果数为$9+4=13$种，
所以小李获胜的概率为$\frac{13}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、奇偶数运算性质
【点评】
本题结合生活中的猜拳游戏考查概率的应用，解题核心是正确分类计数符合条件的结果，避免陷入“和为奇偶概率各半”的思维误区，属于概率的常规基础题。
【难度系数】
0.7
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
3.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解本题需按照简单古典概型的解题步骤思考：首先明确抛掷质地均匀的骰子时，每个点数朝上的可能性相等，先统计所有等可能的结果总数；再筛选出“朝上一面的点数是3的倍数”的结果数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，化简后即可得到所求概率。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
其中朝上一面的点数是3的倍数的结果有3、6，共2种。
根据概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{发生的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$
可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 古典概型应用
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对古典概型的理解和概率公式的运用，解题的关键是准确计数总等可能结果和符合条件的结果，计算难度低，掌握基础概率知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解本题需按照简单古典概型的解题步骤思考：首先明确抛掷质地均匀的骰子时，每个点数朝上的可能性相等，先统计所有等可能的结果总数；再筛选出“朝上一面的点数是3的倍数”的结果数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，化简后即可得到所求概率。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
其中朝上一面的点数是3的倍数的结果有3、6，共2种。
根据概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{发生的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$
可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 古典概型应用
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对古典概型的理解和概率公式的运用，解题的关键是准确计数总等可能结果和符合条件的结果，计算难度低，掌握基础概率知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
4.(2025·上海)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率相等,那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为 .
答案
4.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数：小军共有4张牌，随机抽1张，共有4种等可能的结果；第二步找出符合“抽到的牌与小明原有牌数字相等”的结果数：对比两人手中的牌，统计小军手中与小明牌面数字相同的牌的数量；第三步代入概率公式计算，概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的结果数。
【解析】
解：小明从小军手中随机抽1张牌，共有4种等可能的抽取结果。
小明原有牌的数字为1、2、3、4，小军手中牌的数字为2、4、6、8，其中两张牌数字相等的情况为抽到2、抽到4，共2种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查简单等可能事件的概率计算方法，解题的关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数，难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数：小军共有4张牌，随机抽1张，共有4种等可能的结果；第二步找出符合“抽到的牌与小明原有牌数字相等”的结果数：对比两人手中的牌，统计小军手中与小明牌面数字相同的牌的数量；第三步代入概率公式计算，概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的结果数。
【解析】
解：小明从小军手中随机抽1张牌，共有4种等可能的抽取结果。
小明原有牌的数字为1、2、3、4，小军手中牌的数字为2、4、6、8，其中两张牌数字相等的情况为抽到2、抽到4，共2种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查简单等可能事件的概率计算方法，解题的关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数，难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
5.经过某十字路口的汽车,可直行,也可向左转或向右转,如果这三种可能性一样大,那么两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是
$\frac{1}{9}$
.答案
5.$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先明确单辆车行驶方向的等可能情况，再结合两辆车选择互不影响的特点计算概率。首先，单辆汽车经过路口时有3种等可能的行驶方向（直行、左转、右转），可先求出单辆车直行的概率；其次，两辆汽车的行驶选择是相互独立的事件，同时发生的概率等于两个事件单独发生概率的乘积，也可以通过列举所有等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
方法1：独立事件概率计算
已知每辆车直行、左转、右转的可能性相同，因此每辆车选择直行的概率为$\frac{1}{3}$。
两辆汽车的行驶选择互不影响，属于独立事件，因此两辆汽车都直行的概率为：
$P=\frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
方法2：列举法
两辆汽车经过路口的所有等可能结果共有$3×3=9$种，分别为：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）。
其中两辆都直行的结果只有1种，因此概率为$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算、独立事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是明确所有等可能的情况，找准符合条件的情况，也可通过独立事件的概率运算规则快速求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先明确单辆车行驶方向的等可能情况，再结合两辆车选择互不影响的特点计算概率。首先，单辆汽车经过路口时有3种等可能的行驶方向（直行、左转、右转），可先求出单辆车直行的概率；其次，两辆汽车的行驶选择是相互独立的事件，同时发生的概率等于两个事件单独发生概率的乘积，也可以通过列举所有等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
方法1：独立事件概率计算
已知每辆车直行、左转、右转的可能性相同，因此每辆车选择直行的概率为$\frac{1}{3}$。
两辆汽车的行驶选择互不影响，属于独立事件，因此两辆汽车都直行的概率为：
$P=\frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
方法2：列举法
两辆汽车经过路口的所有等可能结果共有$3×3=9$种，分别为：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）。
其中两辆都直行的结果只有1种，因此概率为$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算、独立事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是明确所有等可能的情况，找准符合条件的情况，也可通过独立事件的概率运算规则快速求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
6.小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1,2,3,4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗？请说明理由.
答案
6.解:这个游戏对两人不公平.理由:列表表示所有可能的结果如下.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知,共有16种等可能的结果,其中两次数字差的绝对值小于2的结果有10种,
$\therefore P(小明获胜)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},P(小刚获胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$
$\because P(小明获胜)≠ P(小刚获胜),$
$\therefore$这个游戏对两人不公平.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知,共有16种等可能的结果,其中两次数字差的绝对值小于2的结果有10种,
$\therefore P(小明获胜)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},P(小刚获胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$
$\because P(小明获胜)≠ P(小刚获胜),$
$\therefore$这个游戏对两人不公平.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等。本题为有放回的两次摸球试验，所有结果等可能，可先通过列表法列举出两次摸球的所有可能结果，再分别统计小明获胜（两次数字差的绝对值小于2）、小刚获胜的对应结果数，代入概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
解：这个游戏对两人不公平，理由如下：
列表表示两次摸球数字差的绝对值的所有可能结果：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字差的绝对值小于2的结果有10种，
$\therefore P(小明获胜)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，$P(小刚获胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
$\because P(小明获胜)≠ P(小刚获胜)$，
$\therefore$这个游戏对两人不公平。
【答案】
这个游戏对两人不公平。
【知识点】
游戏公平性判断、列表法求概率、概率公式
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的实际应用，解题关键是正确列举所有等可能的试验结果，准确计算对应事件的概率，能帮助学生体会概率在判断规则公平性中的实际作用。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等。本题为有放回的两次摸球试验，所有结果等可能，可先通过列表法列举出两次摸球的所有可能结果，再分别统计小明获胜（两次数字差的绝对值小于2）、小刚获胜的对应结果数，代入概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
解：这个游戏对两人不公平，理由如下：
列表表示两次摸球数字差的绝对值的所有可能结果：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字差的绝对值小于2的结果有10种，
$\therefore P(小明获胜)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，$P(小刚获胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
$\because P(小明获胜)≠ P(小刚获胜)$，
$\therefore$这个游戏对两人不公平。
【答案】
这个游戏对两人不公平。
【知识点】
游戏公平性判断、列表法求概率、概率公式
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的实际应用，解题关键是正确列举所有等可能的试验结果，准确计算对应事件的概率，能帮助学生体会概率在判断规则公平性中的实际作用。
【难度系数】
0.7
7.(2025·兴化期末)在一次兑换盲盒的游戏中,规定:在不透明的袋子中,放置3个黄球,2个红球,这些小球除颜色以外其他完全相同,搅匀后随机摸出两个球,若摸到的两个球颜色相同,便能得到一次兑换盲盒的机会,则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是 (
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
C
)A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
7.C
解析
【分析】
要计算得到兑换盲盒机会的概率，本质是求摸到两个同色球的概率。解题时先统计所有等可能的摸球结果总数，再统计摸到两个黄球、两个红球的结果总数（即符合兑换条件的结果数），最后根据概率公式“$P(事件)=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果数}$”代入计算即可。注意摸两个球属于不放回抽取，计数时不要重复或遗漏情况。
【解析】
我们先将3个黄球标记为黄₁、黄₂、黄₃，2个红球标记为红₁、红₂。
1. 计算总等可能结果数：从5个球中随机摸出2个球，不放回且不考虑摸球顺序，总共有10种等可能的结果：$(黄₁,黄₂)、(黄₁,黄₃)、(黄₁,红₁)、(黄₁,红₂)、(黄₂,黄₃)、(黄₂,红₁)、(黄₂,红₂)、(黄₃,红₁)、(黄₃,红₂)、(红₁,红₂)$。
2. 统计符合兑换条件的结果数：摸到两个球颜色相同的结果有$(黄₁,黄₂)、(黄₁,黄₃)、(黄₂,黄₃)、(红₁,红₂)$，共4种。
3. 计算概率：$P(得到兑换机会)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式、列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用，解题核心是准确梳理所有等可能的事件数和目标事件数，要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要计算得到兑换盲盒机会的概率，本质是求摸到两个同色球的概率。解题时先统计所有等可能的摸球结果总数，再统计摸到两个黄球、两个红球的结果总数（即符合兑换条件的结果数），最后根据概率公式“$P(事件)=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果数}$”代入计算即可。注意摸两个球属于不放回抽取，计数时不要重复或遗漏情况。
【解析】
我们先将3个黄球标记为黄₁、黄₂、黄₃，2个红球标记为红₁、红₂。
1. 计算总等可能结果数：从5个球中随机摸出2个球，不放回且不考虑摸球顺序，总共有10种等可能的结果：$(黄₁,黄₂)、(黄₁,黄₃)、(黄₁,红₁)、(黄₁,红₂)、(黄₂,黄₃)、(黄₂,红₁)、(黄₂,红₂)、(黄₃,红₁)、(黄₃,红₂)、(红₁,红₂)$。
2. 统计符合兑换条件的结果数：摸到两个球颜色相同的结果有$(黄₁,黄₂)、(黄₁,黄₃)、(黄₂,黄₃)、(红₁,红₂)$，共4种。
3. 计算概率：$P(得到兑换机会)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式、列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用，解题核心是准确梳理所有等可能的事件数和目标事件数，要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
