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8.红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“石头、剪刀、布”游戏，下列说法中错误的是 （
A.红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为$\frac{1}{2}$
B.红红胜或娜娜胜的概率相等
C.两人出相同手势的概率为$\frac{1}{3}$
D.娜娜胜的概率和两人平局的概率一样
A
）A.红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为$\frac{1}{2}$
B.红红胜或娜娜胜的概率相等
C.两人出相同手势的概率为$\frac{1}{3}$
D.娜娜胜的概率和两人平局的概率一样
答案
8.A
解析
【分析】
本题考查概率的计算，解题思路如下：首先明确两人玩“石头、剪刀、布”时，每人各有3种手势选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果；接下来分别统计红红胜、娜娜胜、两人平局这三类事件分别包含的结果数，根据“概率=所求事件包含的结果数÷总结果数”计算对应概率，再逐一分析各选项的说法是否正确即可。
【解析】
解：红红和娜娜玩“石头、剪刀、布”游戏，所有等可能的手势组合共有9种，分别为：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布）。
分别计算各事件概率：
① 红红胜的情况有3种：（石头，剪刀）、（剪刀，布）、（布，石头），故红红胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$；
② 娜娜胜的情况有3种：（剪刀，石头）、（布，剪刀）、（石头，布），故娜娜胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$；
③ 两人出相同手势（平局）的情况有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布），故平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
逐一分析选项：
A选项：红红存在胜、输、平局三种情况，不是只有胜或输，且红红胜的概率为$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该说法错误；
B选项：红红胜的概率和娜娜胜的概率均为$\frac{1}{3}$，二者相等，该说法正确；
C选项：两人出相同手势的概率为$\frac{1}{3}$，该说法正确；
D选项：娜娜胜的概率为$\frac{1}{3}$，两人平局的概率也为$\frac{1}{3}$，二者一样，该说法正确。
综上，本题选错误的说法，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题结合生活中常见的游戏考查概率的相关知识，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，准确计算各事件的概率，需注意避免忽略平局情况导致误判。
【难度系数】
0.7
本题考查概率的计算，解题思路如下：首先明确两人玩“石头、剪刀、布”时，每人各有3种手势选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果；接下来分别统计红红胜、娜娜胜、两人平局这三类事件分别包含的结果数，根据“概率=所求事件包含的结果数÷总结果数”计算对应概率，再逐一分析各选项的说法是否正确即可。
【解析】
解：红红和娜娜玩“石头、剪刀、布”游戏，所有等可能的手势组合共有9种，分别为：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布）。
分别计算各事件概率：
① 红红胜的情况有3种：（石头，剪刀）、（剪刀，布）、（布，石头），故红红胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$；
② 娜娜胜的情况有3种：（剪刀，石头）、（布，剪刀）、（石头，布），故娜娜胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$；
③ 两人出相同手势（平局）的情况有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布），故平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
逐一分析选项：
A选项：红红存在胜、输、平局三种情况，不是只有胜或输，且红红胜的概率为$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该说法错误；
B选项：红红胜的概率和娜娜胜的概率均为$\frac{1}{3}$，二者相等，该说法正确；
C选项：两人出相同手势的概率为$\frac{1}{3}$，该说法正确；
D选项：娜娜胜的概率为$\frac{1}{3}$，两人平局的概率也为$\frac{1}{3}$，二者一样，该说法正确。
综上，本题选错误的说法，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题结合生活中常见的游戏考查概率的相关知识，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，准确计算各事件的概率，需注意避免忽略平局情况导致误判。
【难度系数】
0.7
9.(2025·浙江)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\frac{4}{9}$
.答案
9.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路清晰可分为三步：第一步先确定总结果数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，两人各出1张，所有等可能的搭配结果可通过乘法原理快速计算；第二步逐一列举所有搭配结果，筛选出“甲出的卡片数字比乙大”的结果并统计数量；第三步代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有$3×3=9$种，分别为：$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,6)$、$(4,2)$、$(4,3)$、$(4,6)$、$(5,2)$、$(5,3)$、$(5,6)$。
其中满足甲出的卡片数字比乙大的结果有：$(4,2)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(5,3)$，共4种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查列举法的应用，解题时需注意不要遗漏或重复计数，熟练掌握概率计算公式是得分关键。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路清晰可分为三步：第一步先确定总结果数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，两人各出1张，所有等可能的搭配结果可通过乘法原理快速计算；第二步逐一列举所有搭配结果，筛选出“甲出的卡片数字比乙大”的结果并统计数量；第三步代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有$3×3=9$种，分别为：$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,6)$、$(4,2)$、$(4,3)$、$(4,6)$、$(5,2)$、$(5,3)$、$(5,6)$。
其中满足甲出的卡片数字比乙大的结果有：$(4,2)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(5,3)$，共4种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查列举法的应用，解题时需注意不要遗漏或重复计数，熟练掌握概率计算公式是得分关键。
【难度系数】
0.7
10.(2025·江西)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是 （
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏,请用画树状图法或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是 （
B
）A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏,请用画树状图法或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案
10.(1)B
(2)解:将“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,画树状图如答图所示.
由树状图可知,一共有12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$
解析
【分析】
(1) 首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。四个盲盒中仅1个装有“数独”卡片，随机抽取1个，有可能抽到也有可能抽不到，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回抽取问题，可通过树状图列举所有等可能结果：第一步先列举小贤抽取的4种可能结果，第二步针对小贤的每一种抽取结果，列举小艺抽取剩余3个盲盒的可能结果，即可得到所有等可能的总结果数；再找出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽到“数独”卡片，也可能抽不到，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选B。
(2) 设“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别对应字母A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，因此两人抽取为不放回试验，画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别为（小贤抽C、小艺抽D）和（小贤抽D、小艺抽C）。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)B
(2)解:将“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,画树状图如答图所示.
由树状图可知,一共有12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率计算
【点评】
本题以校园游戏活动为背景，贴近学生生活，第一问基础简单，考查对不同事件类型的辨析；第二问考查不放回情境下的概率求解，需要注意抽取后不放回的条件，避免误算为有放回的情况，整体侧重对概率基础知识点和解题方法的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。四个盲盒中仅1个装有“数独”卡片，随机抽取1个，有可能抽到也有可能抽不到，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回抽取问题，可通过树状图列举所有等可能结果：第一步先列举小贤抽取的4种可能结果，第二步针对小贤的每一种抽取结果，列举小艺抽取剩余3个盲盒的可能结果，即可得到所有等可能的总结果数；再找出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽到“数独”卡片，也可能抽不到，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选B。
(2) 设“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别对应字母A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，因此两人抽取为不放回试验，画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别为（小贤抽C、小艺抽D）和（小贤抽D、小艺抽C）。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)B
(2)解:将“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,画树状图如答图所示.
由树状图可知,一共有12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率计算
【点评】
本题以校园游戏活动为背景，贴近学生生活，第一问基础简单，考查对不同事件类型的辨析；第二问考查不放回情境下的概率求解，需要注意抽取后不放回的条件，避免误算为有放回的情况，整体侧重对概率基础知识点和解题方法的考查。
【难度系数】
0.7
11.(2025·南京江宁区期末)小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记4,5,6三个数字,一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字.若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动;若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
答案
11.解:不公平.理由如下:
列表如下.
| | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- |
| 4 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 10 | 11 | 12 |
由表可知,共有9种等可能的结果,其中和为偶数的结果有5种,和为奇数的结果有4种,$\therefore P(参加敬老服务活动)=\frac{5}{9},P(参加文明礼仪宣传活动)=\frac{4}{9}.$
$\because \frac{5}{9}≠ \frac{4}{9}, \therefore$这个游戏不公平.
列表如下.
| | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- |
| 4 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 10 | 11 | 12 |
由表可知,共有9种等可能的结果,其中和为偶数的结果有5种,和为奇数的结果有4种,$\therefore P(参加敬老服务活动)=\frac{5}{9},P(参加文明礼仪宣传活动)=\frac{4}{9}.$
$\because \frac{5}{9}≠ \frac{4}{9}, \therefore$这个游戏不公平.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是验证双方获胜的概率是否相等。本题是有放回的抽卡试验，两次抽取结果互不影响，共有9种等可能结果。我们可以通过列表法列举出两次抽取数字之和的所有情况，分别统计和为偶数、和为奇数的结果数，再根据概率公式计算两人对应的获胜概率，最后比较两个概率是否相等即可得出结论。
【解析】
这个游戏不公平，理由如下：
根据题意列表如下：
| | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| 4 | 8 | 9 | 10|
| 5 | 9 | 10 | 11|
| 6 | 10 | 11 | 12|
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种，和为奇数的结果有4种。
∴$P(参加敬老服务活动)=\frac{5}{9}$，$P(参加文明礼仪宣传活动)=\frac{4}{9}$
∵$\frac{5}{9} ≠ \frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等
∴这个游戏不公平。
【答案】
这个游戏不公平，理由见解析。
【知识点】
游戏公平性判断；列表法求概率；概率计算
【点评】
本题是概率应用的常见题型，解题关键是明确游戏公平的本质是双方获胜概率相等，解题时要注意区分抽取是放回还是不放回，避免统计总结果数时出错，熟练掌握列表法或树状图法列举等可能事件是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心是验证双方获胜的概率是否相等。本题是有放回的抽卡试验，两次抽取结果互不影响，共有9种等可能结果。我们可以通过列表法列举出两次抽取数字之和的所有情况，分别统计和为偶数、和为奇数的结果数，再根据概率公式计算两人对应的获胜概率，最后比较两个概率是否相等即可得出结论。
【解析】
这个游戏不公平，理由如下：
根据题意列表如下：
| | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| 4 | 8 | 9 | 10|
| 5 | 9 | 10 | 11|
| 6 | 10 | 11 | 12|
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种，和为奇数的结果有4种。
∴$P(参加敬老服务活动)=\frac{5}{9}$，$P(参加文明礼仪宣传活动)=\frac{4}{9}$
∵$\frac{5}{9} ≠ \frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等
∴这个游戏不公平。
【答案】
这个游戏不公平，理由见解析。
【知识点】
游戏公平性判断；列表法求概率；概率计算
【点评】
本题是概率应用的常见题型，解题关键是明确游戏公平的本质是双方获胜概率相等，解题时要注意区分抽取是放回还是不放回，避免统计总结果数时出错，熟练掌握列表法或树状图法列举等可能事件是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
