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知识点 三角形的内角和定理
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于
180°
。答案
180°
解析
【分析】
本题考查三角形内角和定理的基础识记，属于概念类题型。解题时只需直接回忆三角形内角和定理的具体内容即可，不需要额外推导或计算，核心是对基础定理内容的准确记忆。
【解析】
三角形内角和定理明确规定：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重检验对核心基础定理的掌握情况，难度较低，熟记定理内容即可快速作答得分。
【难度系数】
0.95
本题考查三角形内角和定理的基础识记，属于概念类题型。解题时只需直接回忆三角形内角和定理的具体内容即可，不需要额外推导或计算，核心是对基础定理内容的准确记忆。
【解析】
三角形内角和定理明确规定：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重检验对核心基础定理的掌握情况，难度较低，熟记定理内容即可快速作答得分。
【难度系数】
0.95
例1 (教材改编)求出下列各图形中x的值.
答案
x的值依次为30、45、60、30
解析
【分析】
解题核心依据是三角形内角和为180°，对每个三角形，先明确已知角的度数和未知角x的数量关系，将所有内角相加等于180°，通过计算或解简单一元一次方程即可求出x的值：
1. 第一个三角形已知两个内角的度数，直接用内角和减去两个已知角的和就能得到x；
2. 第二个三角形含直角90°，剩下两个角相等均为x，据此列方程求解；
3. 第三个三角形三个内角都为x，列方程求解即可；
4. 第四个三角形三个内角分别为x°、2x°、3x°，根据内角和列方程求解。
【解析】
根据三角形内角和等于180°，分别计算如下：
1. 第一个三角形：
$x=180-80-70=30$
2. 第二个直角三角形：
$2x+90=180$
$2x=90$
$x=45$
3. 第三个三角形：
$3x=180$
$x=60$
4. 第四个三角形：
$x+2x+3x=180$
$6x=180$
$x=30$
【答案】
x的值依次为30、45、60、30
【知识点】
三角形内角和定理，解一元一次方程
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，结合方程思想求解未知角度数，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键，有助于夯实三角形相关的基础计算能力。
【难度系数】
0.9
解题核心依据是三角形内角和为180°，对每个三角形，先明确已知角的度数和未知角x的数量关系，将所有内角相加等于180°，通过计算或解简单一元一次方程即可求出x的值：
1. 第一个三角形已知两个内角的度数，直接用内角和减去两个已知角的和就能得到x；
2. 第二个三角形含直角90°，剩下两个角相等均为x，据此列方程求解；
3. 第三个三角形三个内角都为x，列方程求解即可；
4. 第四个三角形三个内角分别为x°、2x°、3x°，根据内角和列方程求解。
【解析】
根据三角形内角和等于180°，分别计算如下：
1. 第一个三角形：
$x=180-80-70=30$
2. 第二个直角三角形：
$2x+90=180$
$2x=90$
$x=45$
3. 第三个三角形：
$3x=180$
$x=60$
4. 第四个三角形：
$x+2x+3x=180$
$6x=180$
$x=30$
【答案】
x的值依次为30、45、60、30
【知识点】
三角形内角和定理，解一元一次方程
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，结合方程思想求解未知角度数，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键，有助于夯实三角形相关的基础计算能力。
【难度系数】
0.9
例2 如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东$62°$的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东$13°$的方向上，则此时从巡逻艇M上看这两艘船的视角$∠ AMB=$
49
°。答案
49
解析
【分析】
解题时先明确A、B两点的正北方向线互相平行，正北方向与水平线段AB垂直，结合给出的北偏东的方位角，先求出△AMB中∠MAB和∠ABM的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可计算出∠AMB的度数。
【解析】
由题意可知，A、B两点的正北方向线互相平行，且正北方向与水平线段AB垂直，因此：
∠MAB = 90° - 62° = 28°，
∠ABM = 90° + 13° = 103°，
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，在△AMB中：
∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠ABM = 180° - 28° - 103° = 49°。
【答案】
49
【知识点】
三角形内角和定理，方位角的应用，平行线的性质
【点评】
本题将方位角和三角形内角和知识结合考查，解题的关键是正确理解方位角的含义，准确求出三角形的两个内角度数，属于基础类题型，掌握相关基础知识点即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确A、B两点的正北方向线互相平行，正北方向与水平线段AB垂直，结合给出的北偏东的方位角，先求出△AMB中∠MAB和∠ABM的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可计算出∠AMB的度数。
【解析】
由题意可知，A、B两点的正北方向线互相平行，且正北方向与水平线段AB垂直，因此：
∠MAB = 90° - 62° = 28°，
∠ABM = 90° + 13° = 103°，
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，在△AMB中：
∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠ABM = 180° - 28° - 103° = 49°。
【答案】
49
【知识点】
三角形内角和定理，方位角的应用，平行线的性质
【点评】
本题将方位角和三角形内角和知识结合考查，解题的关键是正确理解方位角的含义，准确求出三角形的两个内角度数，属于基础类题型，掌握相关基础知识点即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
1. 在一个三角形中，若三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
A
)。A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案
1.A
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先需要求出三角形最大内角的度数，再根据角的分类判断即可。解题时先回忆三角形内角和为180°，已知三个内角的度数比，我们可以设每份角度为x，用含x的式子表示三个内角，再根据内角和列方程求解，最后计算最大角的度数判断三角形类型。
【解析】
设三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$6x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，可列方程：
$x + 2x + 6x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
则最大内角的度数为$6x = 6×20° = 120°$。
因为120°是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理，通过比例设未知数列方程求出最大内角度数，即可快速判断三角形的类型。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，首先需要求出三角形最大内角的度数，再根据角的分类判断即可。解题时先回忆三角形内角和为180°，已知三个内角的度数比，我们可以设每份角度为x，用含x的式子表示三个内角，再根据内角和列方程求解，最后计算最大角的度数判断三角形类型。
【解析】
设三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$6x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，可列方程：
$x + 2x + 6x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
则最大内角的度数为$6x = 6×20° = 120°$。
因为120°是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理，通过比例设未知数列方程求出最大内角度数，即可快速判断三角形的类型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，直线$l // BC$，若$∠ 1=65°$，$∠ B=45°$，则$∠ A=$
70
$°$。答案
2.70
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的性质，将已知的∠1转化为△ABC的内角∠C，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠B的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 直线$l // BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ C = ∠ 1 = 65°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，因此：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 45° - 65° = 70°$。
【答案】
70
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，通过角的转化即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行线的性质，将已知的∠1转化为△ABC的内角∠C，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠B的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 直线$l // BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ C = ∠ 1 = 65°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，因此：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 45° - 65° = 70°$。
【答案】
70
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，通过角的转化即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.（教材改编）如图，求$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4$的度数.
答案
解：易知$∠ 1+∠ 2=180°-30°=150°$，$∠ 3+∠ 4=180°-30°=150°$，
$\therefore∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=150°+150°=300°$。
$\therefore∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=150°+150°=300°$。
解析
【分析】
解题时可以利用三角形内角和定理来推导，首先观察图形可知，∠1、∠2和30°角属于同一个三角形的三个内角，∠3、∠4和30°角属于另一个三角形的三个内角。我们可以先根据三角形内角和为180°，分别计算出∠1+∠2的度数与∠3+∠4的度数，再将两个和相加，即可得到四个角的总度数。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
在包含30°、∠1、∠2的三角形中：
$∠1+∠2+30°=180°$，
因此$∠1+∠2=180°-30°=150°$。
在包含30°、∠3、∠4的三角形中：
$∠3+∠4+30°=180°$，
因此$∠3+∠4=180°-30°=150°$。
所以$∠1+∠2+∠3+∠4=150°+150°=300°$。
【答案】
$300°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形内角和定理的基础应用题型，解题核心是将待求的四个角拆分到两个三角形中分别计算求和，再合并结果即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
解题时可以利用三角形内角和定理来推导，首先观察图形可知，∠1、∠2和30°角属于同一个三角形的三个内角，∠3、∠4和30°角属于另一个三角形的三个内角。我们可以先根据三角形内角和为180°，分别计算出∠1+∠2的度数与∠3+∠4的度数，再将两个和相加，即可得到四个角的总度数。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
在包含30°、∠1、∠2的三角形中：
$∠1+∠2+30°=180°$，
因此$∠1+∠2=180°-30°=150°$。
在包含30°、∠3、∠4的三角形中：
$∠3+∠4+30°=180°$，
因此$∠3+∠4=180°-30°=150°$。
所以$∠1+∠2+∠3+∠4=150°+150°=300°$。
【答案】
$300°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形内角和定理的基础应用题型，解题核心是将待求的四个角拆分到两个三角形中分别计算求和，再合并结果即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
1.（佛山期中）在△ABC中，∠A=2∠B=72°，则∠C=（
A.$30°$
B.$36°$
C.$72°$
D.$108°$
C
）。A.$30°$
B.$36°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先拆解已知条件，首先从已知“∠A=2∠B=72°”中先求出∠B的度数，再利用三角形内角和为180°的定理，用180°减去∠A和∠B的度数，即可求出∠C的度数，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=72°，
因此∠B=72°÷2=36°，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-72°-36°=72°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是先根据已知条件求出未知角∠B的度数，再代入内角和公式计算即可，运算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题时先拆解已知条件，首先从已知“∠A=2∠B=72°”中先求出∠B的度数，再利用三角形内角和为180°的定理，用180°减去∠A和∠B的度数，即可求出∠C的度数，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=72°，
因此∠B=72°÷2=36°，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-72°-36°=72°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是先根据已知条件求出未知角∠B的度数，再代入内角和公式计算即可，运算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
