3. 如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AC边上的两点，$BE ⊥ AB$，$BD ⊥ BC$，则以BD为高的三角形是().

A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$

3. A

【分析】
解题的核心是先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。我们结合题目给出的垂直条件，逐一判断每个选项中的三角形是否满足“BD是它的高”：首先已知BD⊥BC，说明BD和BC垂直，只需找到哪个三角形中，BD是从一个顶点向对边作的垂线即可。
【解析】
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
已知条件给出$BD ⊥ BC$：
1. 对选项A：在$△ BCD$中，BD是从顶点D向对边BC所作的垂线段，完全符合三角形高的定义，因此BD是$△ BCD$的高。
2. 对选项B：$△ ABC$的高需要分别从A、B、C三个顶点向对边作垂线，BD不满足是$△ ABC$任意一条边上的高，排除。
3. 对选项C：$△ ABE$中已知$BE ⊥ AB$，高与BD无关，且BD没有垂直于$△ ABE$的任意一条边，排除。
4. 对选项D：题中没有给出BD垂直于$△ BDE$的任意一条边的条件，不符合高的定义，排除。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义，垂直的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形高的特征：过三角形的一个顶点，且垂直于该顶点的对边，结合已知垂直条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8

4. 如图，AD，AE，AF分别是$△ ABC$的高、角平分线和中线，则下列结论错误的是().

A.$BF=CF$
B.$∠ BAE=∠ CAE$
C.$BE=CE$
D.$∠ ADB=∠ ADC$

第4题图 第5题图

4. C

【分析】
解题时首先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义，再将定义对应到各选项逐一判断：①AF是中线，说明F是BC中点，可得BF=CF，判断A正确；②AE是角平分线，说明AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE，判断B正确；③AD是高，说明AD垂直BC，可得∠ADB=∠ADC=90°，判断D正确；④E是角平分线与BC的交点，不是BC中点，因此BE≠CE，C错误，即可选出答案。
【解析】
我们根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一分析选项：
1. 因为AF是△ABC的中线，根据中线定义，F是BC的中点，因此$BF=CF$，A选项结论正确，不符合题意；
2. 因为AE是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，AE平分$∠BAC$，因此$∠BAE=∠CAE$，B选项结论正确，不符合题意；
3. AE是角平分线，仅能说明它平分$∠BAC$，E不是BC的中点，因此$BE≠CE$，C选项结论错误，符合题意；
4. 因为AD是△ABC的高，根据高的定义，$AD⊥BC$，因此$∠ADB=∠ADC=90°$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形三类特殊线段定义和性质的掌握，只要准确记忆各线段的特点就能快速作答。
【难度系数】
0.9

5. 如图，在$△ ABC$中，AD为中线，DE和DF分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高. 若$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$，则$DE=$.

5. 2

【分析】
解题思路如下：首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形，因此△ADB和△ADC的面积相等。接下来，两个三角形的面积可以分别用各自的底与对应高的乘积的一半表示，结合已知的边长和高的数值，建立等式即可求出DE的长度。
【解析】
∵ AD是△ABC的中线
∴ BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$\boldsymbol{S_{△ ABD}=S_{△ ACD}}$
∵ DE是△ADB的高，DF是△ADC的高
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$
∴ $\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × AC × DF$，两边同时消去$\frac{1}{2}$得：$AB × DE = AC × DF$
将$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$代入得：
$3 × DE = 4 × 1.5$
$3DE=6$
解得$DE=2$
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式
【点评】
本题解题核心是利用三角形中线平分三角形面积的性质，结合面积公式建立等量关系求解未知高，计算难度低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$，$AF$分别是$△ ABC$的中线和高，$BE$是$△ ABD$的角平分线.
(1)若$△ ABC$的面积为$80$，$BD=10$，求$AF$的长；
(2)若$∠ DBE=15°$，求$∠ BAF$的度数.

解：(1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$BD = 10$，$\therefore BC = 2BD=20$. $\because AF$ 是 $△ ABC$ 的高，$S_{△ ABC} = 80$，$\therefore \frac{1}{2} BC · AF = \frac{1}{2} × 20 · AF = 80$，即 $AF = 8$.
(2) $\because BE$ 是 $△ ABD$ 的角平分线，$∠ DBE = 15°$，$\therefore ∠ ABD = 2∠ DBE=30°$. 易知$∠ AFB = 90°$，$\therefore ∠ BAF = 180° - ∠ ABD - ∠ AFB = 60°$.

【分析】
(1) 要求AF的长度，可借助三角形面积公式求解。首先根据三角形中线平分对边的性质，由已知BD的长度推出底边BC的长度，再将△ABC的面积和BC的长度代入面积公式，即可计算出高AF的长。
(2) 要求∠BAF的度数，首先根据角平分线的性质，由∠DBE的度数求出∠ABD的度数，再结合AF是三角形的高可得∠AFB=90°，最后利用三角形内角和定理即可算出∠BAF的度数。
【解析】
(1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$BD = 10$，
$\therefore BC = 2BD=2×10=20$，
$\because AF$ 是 $△ ABC$ 的高，$S_{△ ABC} = 80$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} BC · AF = \frac{1}{2} × 20 · AF = 80$，
解得 $AF = 8$。
(2) $\because BE$ 是 $△ ABD$ 的角平分线，$∠ DBE = 15°$，
$\therefore ∠ ABD = 2∠ DBE=2×15°=30°$，
$\because AF$ 是 $△ ABC$ 的高，
$\therefore ∠ AFB = 90°$，
$\therefore ∠ BAF = 180° - ∠ ABD - ∠ AFB = 180°-30°-90°= 60°$。
【答案】
(1) $AF=8$；(2) $∠ BAF=60°$
【知识点】
三角形三线的性质，三角形面积计算，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形中线、高、角平分线的概念及简单应用，计算难度低，掌握相关定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7. 如图，已知$△ ABC$.
(1)画出$BC$边上的中线$AD$；
(2)画出$△ ADC$的边$AD$上的高$CF$；
(3)若$AD=5$，$CF=3$，求$△ ABC$的面积.

7. (1)略 (2)略
(3)解：$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} AD · CF = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$. $\because AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$\therefore BD = CD$. $\therefore S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$. $\therefore S_{△ ABC} = 2S_{△ ACD} = 15$.

【分析】
(1) 画BC边上的中线：先找到BC的中点D，再连接点A和点D，所得线段AD即为所求；
(2) 画△ADC的边AD上的高：过点C向AD所在直线作垂线，垂足为F，垂线段CF即为所求的高；
(3) 求△ABC的面积：首先利用三角形面积公式求出△ACD的面积，再根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，可知△ABD和△ACD面积相等，因此△ABC的面积是△ACD面积的2倍，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 取BC的中点D，连接AD，AD即为BC边上的中线；
(2) 过点C作CF⊥AD，垂足为F，CF即为△ADC边AD上的高；
(3) 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} AD · CF = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD = CD$，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
∴$S_{△ ABC} = 2S_{△ ACD} = 2×\frac{15}{2}=15$。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boxed{15}$
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题为基础题，考查了三角形中线、高的作图方法，以及三角形面积公式和中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线可将三角形分为两个面积相等的小三角形，作图时注意高是顶点到对边的垂线段。
【难度系数】
0.8

8. 如图，已知AD，AE分别是$△ ABC$的高和中线，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=90°$. 求：
(1)$AD$的长；
(2)$△ ABE$的面积；
(3)$△ ACE$与$△ ABE$的周长的差.

解：(1)$\because ∠ CAB=90°$，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，$\therefore \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} BC · AD$. $\therefore AD = \frac{AB · AC}{BC} = \frac{6 × 8}{10} = 4.8\ (\mathrm{cm})$.
(2) $\because AE$ 是 $△ ABC$ 的中线，$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ ACE}$. $\therefore S_{△ ABE} = \frac{1}{2} S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 6 × 8 = 12(\mathrm{cm}^2)$.
(3)$\because AE$ 是边 $BC$ 上的中线，$\therefore BE=CE$. $\therefore C_{△ ACE} - C_{△ ABE} = AC + AE + CE - (AB + AE + BE) = AC - AB = 8-6 = 2(\mathrm{cm})$.

【分析】
(1) 求AD的长时，AD是直角△ABC斜边上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方法：一是两直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，二者相等建立等式，即可求出AD；
(2) 求△ABE的面积时，AE是△ABC的中线，中线会把三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等，都等于△ABC面积的一半，先计算△ABC的面积再除以2即可得到结果；
(3) 求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，其中AE是公共边，且中线性质可得BE=CE，二者相减时公共边和相等线段会抵消，仅需计算AC与AB的差即可。
【解析】
(1) $\because ∠CAB=90°$，AD是边BC上的高，
$\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} BC·AD$，
$\therefore AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{6 × 8}{10} = 4.8\ (\mathrm{cm})$。
(2) $\because$ AE是$△ ABC$的中线，
$\therefore BE=CE$，$△ ABE$和$△ ACE$等底同高，故$S_{△ABE} = S_{△ACE}$，
$\therefore S_{△ABE} = \frac{1}{2} S_{△ABC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 6 × 8 = 12(\mathrm{cm}^2)$。
(3) $\because$ AE是边BC上的中线，$\therefore BE=CE$，
$\therefore C_{△ACE} - C_{△ABE} = (AC + AE + CE) - (AB + AE + BE) = AC - AB = 8-6 = 2(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $AD$的长为$\boxed{4.8\ \mathrm{cm}}$；
(2) $△ ABE$的面积为$\boxed{12\ \mathrm{cm}^2}$；
(3) $△ ACE$与$△ ABE$的周长的差为$\boxed{2\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等面积法求线段长，三角形中线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是三角形相关性质的基础应用题，解题关键是掌握直角三角形面积的计算方法、三角形中线分对边为等长线段且分三角形为等面积两部分的性质，计算周长差时注意抵消公共边和相等线段可简化运算。
【难度系数】
0.8