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2. 一副三角尺拼成的图形如图所示，则∠BAC的度数为(
A.$75°$
B.$60°$
C.$105°$
D.$120°$
A
).A.$75°$
B.$60°$
C.$105°$
D.$120°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题首先需要回忆一副三角尺的各内角度数：等腰直角三角尺的两个锐角都是45°，另一个直角三角尺的两个锐角分别是30°和60°。观察图形可知，△ABC的两个底角分别对应两个三角尺的锐角，再根据三角形内角和为180°，就可以求出∠BAC的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知：
∠ABC=45°，∠ACB=60°，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-45°-60°=75°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，三角尺的角度特征
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟悉常见三角尺的角度，结合三角形内角和定理即可快速计算出所求角的度数。
【难度系数】
0.9
解题首先需要回忆一副三角尺的各内角度数：等腰直角三角尺的两个锐角都是45°，另一个直角三角尺的两个锐角分别是30°和60°。观察图形可知，△ABC的两个底角分别对应两个三角尺的锐角，再根据三角形内角和为180°，就可以求出∠BAC的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知：
∠ABC=45°，∠ACB=60°，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-45°-60°=75°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，三角尺的角度特征
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟悉常见三角尺的角度，结合三角形内角和定理即可快速计算出所求角的度数。
【难度系数】
0.9
3. 如图，经测量，点B在点A的南偏西$60°$方向，点C在点A的南偏东$20°$方向，BE为正北方向.若$∠ CBE = 100°$，则$∠ ACB$的度数是
60°
.答案
3.$60°$
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义，明确所有正北、正南方向的直线互相平行。第一步先根据B、C相对于A的方向角求出∠BAC的度数；第二步利用平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知的∠CBE求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和为180°即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
设过点A的正南方向虚线为AD，
∵ BE为正北方向，AD为正南方向，
∴ BE//AD，
∵ 点B在点A的南偏西60°方向，点C在点A的南偏东20°方向，
∴ ∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°，
∵ BE//AD，内错角相等，
∴ ∠ABE=∠BAD=60°，
又
∵ ∠CBE=100°，
∴ ∠ABC=∠CBE - ∠ABE=100°-60°=40°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°
【答案】
60°
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于方向角与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是利用南北方向线互相平行的性质梳理各角之间的数量关系，计算过程简单，注意不要混淆角的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合方向角的定义，明确所有正北、正南方向的直线互相平行。第一步先根据B、C相对于A的方向角求出∠BAC的度数；第二步利用平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知的∠CBE求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和为180°即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
设过点A的正南方向虚线为AD，
∵ BE为正北方向，AD为正南方向，
∴ BE//AD，
∵ 点B在点A的南偏西60°方向，点C在点A的南偏东20°方向，
∴ ∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°，
∵ BE//AD，内错角相等，
∴ ∠ABE=∠BAD=60°，
又
∵ ∠CBE=100°，
∴ ∠ABC=∠CBE - ∠ABE=100°-60°=40°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°
【答案】
60°
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于方向角与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是利用南北方向线互相平行的性质梳理各角之间的数量关系，计算过程简单，注意不要混淆角的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图，直尺的一边经过三角尺DCB的直角顶点B. 若$∠ C=30°$，$∠ ABC=20°$，则$∠ DEF$的度数为
50°
.答案
4.$50°$
解析
【分析】
解题时可按照两步思考：第一步，所求角∠DEF在直尺的边上，直尺对边互相平行，可通过平行线的性质将∠DEF转化为与之相等的同位角，即三角尺上的∠DAB；第二步，△ABC中已知∠C和∠ABC的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠DAB的度数，进而得到∠DEF的大小。
【解析】
∵ ∠DAB是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠DAB = ∠C + ∠ABC
代入∠C=30°，∠ABC=20°，得：
∠DAB = 30° + 20° = 50°
∵ 直尺的上下对边互相平行，即EF//AB
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠DEF = ∠DAB = 50°
【答案】
50°
【知识点】
三角形外角的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，结合直尺三角板的常见模型，考查基础几何性质的应用，准确识别外角和平行线的同位角是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可按照两步思考：第一步，所求角∠DEF在直尺的边上，直尺对边互相平行，可通过平行线的性质将∠DEF转化为与之相等的同位角，即三角尺上的∠DAB；第二步，△ABC中已知∠C和∠ABC的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠DAB的度数，进而得到∠DEF的大小。
【解析】
∵ ∠DAB是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠DAB = ∠C + ∠ABC
代入∠C=30°，∠ABC=20°，得：
∠DAB = 30° + 20° = 50°
∵ 直尺的上下对边互相平行，即EF//AB
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠DEF = ∠DAB = 50°
【答案】
50°
【知识点】
三角形外角的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，结合直尺三角板的常见模型，考查基础几何性质的应用，准确识别外角和平行线的同位角是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ ACB$，$CD$是$△ ABC$的高，$CE$是$∠ ACB$的平分线.判断$△ ABC$的形状，并求出$∠ DCE$的度数.
答案
解: $\because ∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ ACB$，$\therefore ∠ B = 2∠ A$，
$∠ ACB = 3∠ A$。$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
$\therefore ∠ A + 2∠ A + 3∠ A = 180°$，解得 $∠ A = 30°$。
$\therefore ∠ ACB = 90°$。$\therefore △ ABC$ 为直角三角形。$\because CD$ 是
$△ ABC$ 的高，$\therefore ∠ ADC = 90°$。$\therefore ∠ ACD = 180°-90°- 30° = 60°$。$\because CE$ 是 $∠ ACB$ 的平分线，
$\therefore ∠ ACE = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。$\therefore ∠ DCE = ∠ ACD - ∠ ACE=60°-45°=15°$。
$∠ ACB = 3∠ A$。$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
$\therefore ∠ A + 2∠ A + 3∠ A = 180°$，解得 $∠ A = 30°$。
$\therefore ∠ ACB = 90°$。$\therefore △ ABC$ 为直角三角形。$\because CD$ 是
$△ ABC$ 的高，$\therefore ∠ ADC = 90°$。$\therefore ∠ ACD = 180°-90°- 30° = 60°$。$\because CE$ 是 $∠ ACB$ 的平分线，
$\therefore ∠ ACE = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。$\therefore ∠ DCE = ∠ ACD - ∠ ACE=60°-45°=15°$。
解析
【分析】
首先根据题目给出的三个内角的数量关系，结合三角形内角和为180°的性质，把∠B和∠ACB都用∠A表示，列方程求解出三个内角的度数，即可判断△ABC的形状；接下来求∠DCE时，先利用CD是三角形的高，在直角△ACD中求出∠ACD的度数，再根据CE是角平分线求出∠ACE的度数，最后通过两个角的差即可算出∠DCE的度数。
【解析】
解：设$∠ A=x$，由$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ ACB$，可得$∠ B=2x$，$∠ ACB=3x$。
根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
代入得：$x+2x+3x=180°$，
解得$x=30°$，即$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ACB=3×30°=90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
$\because CD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$△ ACD$中，$∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ A=180°-90°-30°=60°$，
$\because CE$是$∠ ACB$的平分线，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=60°-45°=15°$。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形，$∠ DCE=15°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题属于三角形内角的基础计算题，解题的核心是利用内角和定理确定三角形各内角度数，再结合角平分线、高的性质完成角度的和差转化，需熟练掌握角度之间的运算关系。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的三个内角的数量关系，结合三角形内角和为180°的性质，把∠B和∠ACB都用∠A表示，列方程求解出三个内角的度数，即可判断△ABC的形状；接下来求∠DCE时，先利用CD是三角形的高，在直角△ACD中求出∠ACD的度数，再根据CE是角平分线求出∠ACE的度数，最后通过两个角的差即可算出∠DCE的度数。
【解析】
解：设$∠ A=x$，由$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ ACB$，可得$∠ B=2x$，$∠ ACB=3x$。
根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
代入得：$x+2x+3x=180°$，
解得$x=30°$，即$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ACB=3×30°=90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
$\because CD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$△ ACD$中，$∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ A=180°-90°-30°=60°$，
$\because CE$是$∠ ACB$的平分线，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=60°-45°=15°$。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形，$∠ DCE=15°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题属于三角形内角的基础计算题，解题的核心是利用内角和定理确定三角形各内角度数，再结合角平分线、高的性质完成角度的和差转化，需熟练掌握角度之间的运算关系。
【难度系数】
0.7
6.（跨学科）如图，从A点发出的光线（入射光线）AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线（法线垂直于平面镜，入射光线和反射光线与法线所夹的角相等）。设$∠ A = α$，$∠ ABC = β$，$∠ ADE = \gamma$，则$α$，$β$，$\gamma$之间的数量关系是（
A.$α + β = \gamma$
B.$2α + β = \gamma$
C.$α + 2β = \gamma$
D.$α + 2β = 2\gamma$
B
）。A.$α + β = \gamma$
B.$2α + β = \gamma$
C.$α + 2β = \gamma$
D.$α + 2β = 2\gamma$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的光的反射条件，推导出入射光线、反射光线与平面镜的夹角相等；再利用三角形外角的性质，将相关角用α、β、γ表示，最后通过等量代换整理得到三个角的数量关系。
【解析】
根据光的反射规律：法线垂直于平面镜，且入射光线、反射光线与法线的夹角相等，可得：
1. 在B点处：法线$m⊥$平面镜$l$，$∠ ABm=∠ CBm$，因此$∠ ABl=∠ CBl$（等角的余角相等）。
已知$∠ ABC=β$，且$∠ ABC + ∠ ABl + ∠ CBl = 180°$，代入$∠ ABl=∠ CBl$得：
$β + 2∠ CBl = 180°$，整理得$∠ CBl = \frac{180°-β}{2} = 90° - \frac{β}{2}$。
根据三角形外角的性质，$∠ CBl$是$△ ABD$的外角，因此$∠ CBl = ∠ A + ∠ ADB$，代入$∠ A=α$和$∠ CBl$的表达式，得：
$∠ ADB = 90° - \frac{β}{2} - α$ ①
2. 在D点处：法线$n⊥$平面镜$l$，$∠ ADn=∠ EDn$，因此$∠ ADl=∠ EDl$（等角的余角相等）。
已知$∠ ADE=\gamma$，且$∠ ADE + ∠ ADl + ∠ EDl = 180°$，代入$∠ ADl=∠ EDl$得：
$\gamma + 2∠ ADl = 180°$，整理得$∠ ADl = \frac{180°-\gamma}{2} = 90° - \frac{\gamma}{2}$。
又$∠ ADB$和$∠ ADl$是同一个角，因此$∠ ADB = 90° - \frac{\gamma}{2}$ ②
联立①②，得：$90° - \frac{β}{2} - α = 90° - \frac{\gamma}{2}$
两边消去$90°$后乘以2，整理得：$2α + β = \gamma$
【答案】
B
【知识点】
光的反射规律；三角形外角的性质；角度计算
【点评】
本题为跨学科综合题，将物理的光的反射知识与数学角度运算相结合，解题的核心是通过反射规律得到等角关系，再结合三角形外角性质完成等量代换，考查了知识的迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题目给出的光的反射条件，推导出入射光线、反射光线与平面镜的夹角相等；再利用三角形外角的性质，将相关角用α、β、γ表示，最后通过等量代换整理得到三个角的数量关系。
【解析】
根据光的反射规律：法线垂直于平面镜，且入射光线、反射光线与法线的夹角相等，可得：
1. 在B点处：法线$m⊥$平面镜$l$，$∠ ABm=∠ CBm$，因此$∠ ABl=∠ CBl$（等角的余角相等）。
已知$∠ ABC=β$，且$∠ ABC + ∠ ABl + ∠ CBl = 180°$，代入$∠ ABl=∠ CBl$得：
$β + 2∠ CBl = 180°$，整理得$∠ CBl = \frac{180°-β}{2} = 90° - \frac{β}{2}$。
根据三角形外角的性质，$∠ CBl$是$△ ABD$的外角，因此$∠ CBl = ∠ A + ∠ ADB$，代入$∠ A=α$和$∠ CBl$的表达式，得：
$∠ ADB = 90° - \frac{β}{2} - α$ ①
2. 在D点处：法线$n⊥$平面镜$l$，$∠ ADn=∠ EDn$，因此$∠ ADl=∠ EDl$（等角的余角相等）。
已知$∠ ADE=\gamma$，且$∠ ADE + ∠ ADl + ∠ EDl = 180°$，代入$∠ ADl=∠ EDl$得：
$\gamma + 2∠ ADl = 180°$，整理得$∠ ADl = \frac{180°-\gamma}{2} = 90° - \frac{\gamma}{2}$。
又$∠ ADB$和$∠ ADl$是同一个角，因此$∠ ADB = 90° - \frac{\gamma}{2}$ ②
联立①②，得：$90° - \frac{β}{2} - α = 90° - \frac{\gamma}{2}$
两边消去$90°$后乘以2，整理得：$2α + β = \gamma$
【答案】
B
【知识点】
光的反射规律；三角形外角的性质；角度计算
【点评】
本题为跨学科综合题，将物理的光的反射知识与数学角度运算相结合，解题的核心是通过反射规律得到等角关系，再结合三角形外角性质完成等量代换，考查了知识的迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在$△ ABC$中，BD是边AC上的高，CE是$∠ ACB$的平分线，BD，CE相交于点F. 若$∠ AEC = 80°$，$∠ BFC = 128°$，求$∠ ABC$的度数. 
答案
解: $\because ∠ BFC = 128°$，$\therefore ∠ CFD = 180°-128° = 52°$。
$\because BD$ 是边 $AC$ 上的高，$\therefore ∠ BDC = 90°$。$\therefore ∠ DCF = 180°-∠ BDC - ∠ CFD = 180°-90°-52° = 38°$。又$∠ AEC = 80°$，$\therefore ∠ A = 180° - ∠ DCF - ∠ AEC = 180°-38°-80° = 62°$。$\because CE$ 是 $∠ ACB$ 的平分线，$\therefore ∠ BCA = 2∠ DCF = 76°$。$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ BCA = 180°-62°-76°=42°$。
$\because BD$ 是边 $AC$ 上的高，$\therefore ∠ BDC = 90°$。$\therefore ∠ DCF = 180°-∠ BDC - ∠ CFD = 180°-90°-52° = 38°$。又$∠ AEC = 80°$，$\therefore ∠ A = 180° - ∠ DCF - ∠ AEC = 180°-38°-80° = 62°$。$\because CE$ 是 $∠ ACB$ 的平分线，$\therefore ∠ BCA = 2∠ DCF = 76°$。$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ BCA = 180°-62°-76°=42°$。
解析
【分析】
解题时我们可以从已知的角的度数出发逐步推导：首先，∠BFC和∠CFD是邻补角，可先求出∠CFD的度数；再结合BD是AC边上的高，可知∠BDC=90°，在Rt△CDF中利用三角形内角和就能求出∠DCF的度数；接下来CE是角平分线，可得到∠ACB的度数，同时在△AEC中用内角和求出∠A的度数；最后在△ABC中利用内角和定理即可算出∠ABC的度数。
【解析】
∵ ∠BFC = 128°，∠BFC与∠CFD互为邻补角，
∴ ∠CFD = 180° - 128° = 52°。
∵ BD是边AC上的高，
∴ ∠BDC = 90°。
在△CDF中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DCF = 180° - ∠BDC - ∠CFD = 180° - 90° - 52° = 38°。
在△AEC中，已知∠AEC=80°，根据三角形内角和为180°，得：
∠A = 180° - ∠DCF - ∠AEC = 180° - 38° - 80° = 62°。
∵ CE是∠ACB的平分线，
∴ ∠ACB = 2∠DCF = 2×38° = 76°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 62° - 76° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要结合已知条件逐步推导角与角之间的数量关系，解题时注意灵活运用邻补角、直角三角形的角度特点简化计算，避免因找错角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以从已知的角的度数出发逐步推导：首先，∠BFC和∠CFD是邻补角，可先求出∠CFD的度数；再结合BD是AC边上的高，可知∠BDC=90°，在Rt△CDF中利用三角形内角和就能求出∠DCF的度数；接下来CE是角平分线，可得到∠ACB的度数，同时在△AEC中用内角和求出∠A的度数；最后在△ABC中利用内角和定理即可算出∠ABC的度数。
【解析】
∵ ∠BFC = 128°，∠BFC与∠CFD互为邻补角，
∴ ∠CFD = 180° - 128° = 52°。
∵ BD是边AC上的高，
∴ ∠BDC = 90°。
在△CDF中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DCF = 180° - ∠BDC - ∠CFD = 180° - 90° - 52° = 38°。
在△AEC中，已知∠AEC=80°，根据三角形内角和为180°，得：
∠A = 180° - ∠DCF - ∠AEC = 180° - 38° - 80° = 62°。
∵ CE是∠ACB的平分线，
∴ ∠ACB = 2∠DCF = 2×38° = 76°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 62° - 76° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要结合已知条件逐步推导角与角之间的数量关系，解题时注意灵活运用邻补角、直角三角形的角度特点简化计算，避免因找错角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，
，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$O$.
（1）若$∠ ABC = 40°$，$∠ ACB=50°$，则$∠ BOC=$
（2）若$∠ ABC + ∠ ACB = 116°$，则$∠ BOC=$
（3）若$∠ A=76°$，则$∠ BOC=$
（4）若$∠ BOC=120°$，则$∠ A=$
（5）写出$∠ BOC$与$∠ A$之间的数量关系：
，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$O$.（1）若$∠ ABC = 40°$，$∠ ACB=50°$，则$∠ BOC=$
135
$°$；（2）若$∠ ABC + ∠ ACB = 116°$，则$∠ BOC=$
122
$°$；（3）若$∠ A=76°$，则$∠ BOC=$
128
$°$；（4）若$∠ BOC=120°$，则$∠ A=$
60
$°$；（5）写出$∠ BOC$与$∠ A$之间的数量关系：
$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
.答案
8. (1)135 (2)122 (3)128 (4)60 (5)$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
解析
【分析】
首先明确角平分线的性质：BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，可得$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$；再结合三角形内角和为180°，先在△BOC中表示出$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)$，再通过△ABC的内角和将$∠ ABC+∠ ACB$用∠A表示，即可推导两者的数量关系，最后将各小问的已知条件代入对应式子计算即可。
【解析】
已知BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，因此：
$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$ ①
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入①式可得：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$ ②
（1）将$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=50°$代入①式：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(40°+50°)=180°-45°=135°$
（2）将$∠ ABC+∠ ACB=116°$代入①式：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}×116°=180°-58°=122°$
（3）将$∠ A=76°$代入②式：
$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}×76°=90°+38°=128°$
（4）将$∠ BOC=120°$代入②式：
$120°=90°+\frac{1}{2}∠ A$，解得$∠ A=(120°-90°)×2=60°$
（5）由上述推导可得数量关系：$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1)135；(2)122；(3)128；(4)60；(5)$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【知识点】
1.三角形内角和定理；2.角平分线的定义；3.角度等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是结合角平分线性质和三角形内角和定理推导两角的数量关系，该结论在三角形角度计算类题目中应用广泛，熟练掌握可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先明确角平分线的性质：BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，可得$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$；再结合三角形内角和为180°，先在△BOC中表示出$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)$，再通过△ABC的内角和将$∠ ABC+∠ ACB$用∠A表示，即可推导两者的数量关系，最后将各小问的已知条件代入对应式子计算即可。
【解析】
已知BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，因此：
$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$ ①
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入①式可得：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$ ②
（1）将$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=50°$代入①式：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(40°+50°)=180°-45°=135°$
（2）将$∠ ABC+∠ ACB=116°$代入①式：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}×116°=180°-58°=122°$
（3）将$∠ A=76°$代入②式：
$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}×76°=90°+38°=128°$
（4）将$∠ BOC=120°$代入②式：
$120°=90°+\frac{1}{2}∠ A$，解得$∠ A=(120°-90°)×2=60°$
（5）由上述推导可得数量关系：$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1)135；(2)122；(3)128；(4)60；(5)$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【知识点】
1.三角形内角和定理；2.角平分线的定义；3.角度等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是结合角平分线性质和三角形内角和定理推导两角的数量关系，该结论在三角形角度计算类题目中应用广泛，熟练掌握可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
