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例1 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合。请把下列各数填入相应的集合中：
$3, -7, -\frac{2}{3}, 5.\dot{6}, 0, -8\frac{1}{4}, 15, \frac{1}{9}.$
正数集合：{ , …};
负数集合：{ , …};
整数集合：{ , …};
分数集合：{ , …}.
【思路导析】依据有理数的相关概念加以甄别，注意有限小数和循环小数也是分数。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
$3, -7, -\frac{2}{3}, 5.\dot{6}, 0, -8\frac{1}{4}, 15, \frac{1}{9}.$
正数集合：{ , …};
负数集合：{ , …};
整数集合：{ , …};
分数集合：{ , …}.
【思路导析】依据有理数的相关概念加以甄别，注意有限小数和循环小数也是分数。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
正数集合：$\{ 3,5.\dot{6},15,\dfrac{1}{9},\dots \}$；
负数集合：$\{ -7,-\dfrac{2}{3},-8\dfrac{1}{4},\dots \}$；
整数集合：$\{ 3,-7,0,15,\dots \}$；
分数集合：$\{ -\dfrac{2}{3},5.\dot{6},-8\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{9},\dots \}$。
正数集合：$\{ 3,5.\dot{6},15,\dfrac{1}{9},\dots \}$；
负数集合：$\{ -7,-\dfrac{2}{3},-8\dfrac{1}{4},\dots \}$；
整数集合：$\{ 3,-7,0,15,\dots \}$；
分数集合：$\{ -\dfrac{2}{3},5.\dot{6},-8\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{9},\dots \}$。
解析
【分析】
解题时先明确四类集合的定义：①正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数、0、负整数；③分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也属于分数范畴。接下来逐个判断给出的8个数分别符合哪类集合的特征，再归类填入即可。
【解析】
我们逐个分析各数的属性：
1. $3$：是大于0的正整数，属于正数集合、整数集合；
2. $-7$：是小于0的负整数，属于负数集合、整数集合；
3. $-\frac{2}{3}$：是小于0的负分数，属于负数集合、分数集合；
4. $5.\dot{6}$：是大于0的无限循环小数，可转化为分数，属于正数集合、分数集合；
5. $0$：是整数，既不属于正数也不属于负数，仅属于整数集合；
6. $-8\frac{1}{4}$：是小于0的负分数，属于负数集合、分数集合；
7. $15$：是大于0的正整数，属于正数集合、整数集合；
8. $\frac{1}{9}$：是大于0的正分数，属于正数集合、分数集合。
将对应数填入对应集合即可。
【答案】
正数集合：$\{ 3,5.\dot{6},15,\dfrac{1}{9},\dots \}$；
负数集合：$\{ -7,-\dfrac{2}{3},-8\frac{1}{4},\dots \}$；
整数集合：$\{ 3,-7,0,15,\dots \}$；
分数集合：$\{ -\dfrac{2}{3},5.\dot{6},-8\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{9},\dots \}$。
【知识点】
有理数的分类，正数与负数的识别，整数与分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类有理数的定义，需注意两个易错点：一是0既不属于正数也不属于负数，二是无限循环小数属于分数范畴。
【难度系数】
0.85
解题时先明确四类集合的定义：①正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数、0、负整数；③分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也属于分数范畴。接下来逐个判断给出的8个数分别符合哪类集合的特征，再归类填入即可。
【解析】
我们逐个分析各数的属性：
1. $3$：是大于0的正整数，属于正数集合、整数集合；
2. $-7$：是小于0的负整数，属于负数集合、整数集合；
3. $-\frac{2}{3}$：是小于0的负分数，属于负数集合、分数集合；
4. $5.\dot{6}$：是大于0的无限循环小数，可转化为分数，属于正数集合、分数集合；
5. $0$：是整数，既不属于正数也不属于负数，仅属于整数集合；
6. $-8\frac{1}{4}$：是小于0的负分数，属于负数集合、分数集合；
7. $15$：是大于0的正整数，属于正数集合、整数集合；
8. $\frac{1}{9}$：是大于0的正分数，属于正数集合、分数集合。
将对应数填入对应集合即可。
【答案】
正数集合：$\{ 3,5.\dot{6},15,\dfrac{1}{9},\dots \}$；
负数集合：$\{ -7,-\dfrac{2}{3},-8\frac{1}{4},\dots \}$；
整数集合：$\{ 3,-7,0,15,\dots \}$；
分数集合：$\{ -\dfrac{2}{3},5.\dot{6},-8\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{9},\dots \}$。
【知识点】
有理数的分类，正数与负数的识别，整数与分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类有理数的定义，需注意两个易错点：一是0既不属于正数也不属于负数，二是无限循环小数属于分数范畴。
【难度系数】
0.85
例2 如图,大圆覆盖的区域表示有理数的范围,中圆覆盖的区域表示整数的范围,小圆覆盖的区域表示正整数的范围,把下列各数填入它所属的集合的圆内.
$15,-\frac{1}{9},-5,\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,-80,123,2.333$
【思路导析】本例考查应用定义分类.
$\begin{cases}\mathrm{有理数} \begin{cases}\mathrm{整数} \begin{cases}\mathrm{正整数}:15,123 \\\mathrm{零} \\\mathrm{负整数}:-5,-80\end{cases} \\\mathrm{分数}:-\frac{1}{9},\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,2.333\end{cases}\end{cases}$
【规范解答】如图所示.
变式探究
有$A,B,C$三个数集,请把这些数填入图中对应的三个圆圈内.
$A=\{3,2,0,4\}$；
$B=\{5,6,-5,0,2\}$；
$C=\{-5,0,4,-2\}$.
学后反思
1. 有理数是整数和分数的统称,而不是正数和负数的统称.
2. 用集合表示数要注意它们之间的包含关系.
$15,-\frac{1}{9},-5,\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,-80,123,2.333$
【思路导析】本例考查应用定义分类.
$\begin{cases}\mathrm{有理数} \begin{cases}\mathrm{整数} \begin{cases}\mathrm{正整数}:15,123 \\\mathrm{零} \\\mathrm{负整数}:-5,-80\end{cases} \\\mathrm{分数}:-\frac{1}{9},\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,2.333\end{cases}\end{cases}$
【规范解答】如图所示.
变式探究
有$A,B,C$三个数集,请把这些数填入图中对应的三个圆圈内.
$A=\{3,2,0,4\}$；
$B=\{5,6,-5,0,2\}$；
$C=\{-5,0,4,-2\}$.
学后反思
1. 有理数是整数和分数的统称,而不是正数和负数的统称.
2. 用集合表示数要注意它们之间的包含关系.
答案
解：
例2填数结果：
1. 小圆（正整数范围）内填入：$15$，$123$
2. 中圆内、小圆外（整数中非正整数范围）填入：$-5$，$-80$
3. 大圆内、中圆外（有理数中非整数的分数范围）填入：$-\frac{1}{9}$，$\frac{2}{15}$，$-\frac{3}{18}$，$0.1$，$-5.32$，$2.333$
变式探究填数结果：
1. 三个圆共同重叠的区域（同时属于A、B、C）：$0$
2. 仅A、B重叠的区域（属于A、B，不属于C）：$2$
3. 仅A、C重叠的区域（属于A、C，不属于B）：$4$
4. 仅B、C重叠的区域（属于B、C，不属于A）：$-5$
5. A不与其他圆重叠的单独区域：$3$
6. B不与其他圆重叠的单独区域：$5$，$6$
7. C不与其他圆重叠的单独区域：$-2$
例2填数结果：
1. 小圆（正整数范围）内填入：$15$，$123$
2. 中圆内、小圆外（整数中非正整数范围）填入：$-5$，$-80$
3. 大圆内、中圆外（有理数中非整数的分数范围）填入：$-\frac{1}{9}$，$\frac{2}{15}$，$-\frac{3}{18}$，$0.1$，$-5.32$，$2.333$
变式探究填数结果：
1. 三个圆共同重叠的区域（同时属于A、B、C）：$0$
2. 仅A、B重叠的区域（属于A、B，不属于C）：$2$
3. 仅A、C重叠的区域（属于A、C，不属于B）：$4$
4. 仅B、C重叠的区域（属于B、C，不属于A）：$-5$
5. A不与其他圆重叠的单独区域：$3$
6. B不与其他圆重叠的单独区域：$5$，$6$
7. C不与其他圆重叠的单独区域：$-2$
解析
【分析】
解题时先明确集合的包含关系或重叠规则：①例2中三个圆是包含关系，范围从小到大依次是正整数（小圆）、整数（中圆）、有理数（大圆），解题时从范围最小的集合开始筛选数，逐层向外，避免分类混乱；②变式探究是三个互相重叠的集合，重叠区域对应同时属于多个集合的公共元素，解题时先找三个集合共有的元素，再找仅两个集合共有的元素，最后筛选仅属于单个集合的元素，保证不重不漏。
【解析】
例2解题步骤：
1. 明确各集合定义：
小圆：正整数，即大于0的整数；
中圆小圆外区域：整数但非正整数，包含负整数和0；
大圆中圆外区域：有理数但非整数，即分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。
2. 逐数分类：
筛选正整数：15、123，填入小圆；
筛选剩余整数：-5、-80，填入中圆内小圆外区域；
剩余数均为分数：$-\frac{1}{9},\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,2.333$，填入大圆内中圆外区域。
变式探究解题步骤：
1. 找三个集合的公共元素：同时在A、B、C中的数只有0，填入三个圆重叠的区域；
2. 找仅A、B共有的元素：A、B都有且不在C中的数是2，填入仅A、B重叠的区域；
3. 找仅A、C共有的元素：A、C都有且不在B中的数是4，填入仅A、C重叠的区域；
4. 找仅B、C共有的元素：B、C都有且不在A中的数是-5，填入仅B、C重叠的区域；
5. 找仅属于A的元素：A中剩余的3不在B、C中，填入A的单独区域；
6. 找仅属于B的元素：B中剩余的5、6不在A、C中，填入B的单独区域；
7. 找仅属于C的元素：C中剩余的-2不在A、B中，填入C的单独区域。
【答案】
例2填数结果：
1. 小圆（正整数范围）内填入：$15$，$123$
2. 中圆内、小圆外（整数中非正整数范围）填入：$-5$，$-80$
3. 大圆内、中圆外（有理数中非整数的分数范围）填入：$-\frac{1}{9}$，$\frac{2}{15}$，$-\frac{3}{18}$，$0.1$，$-5.32$，$2.333$
变式探究填数结果：
1. 三个圆共同重叠的区域（同时属于A、B、C）：$0$
2. 仅A、B重叠的区域（属于A、B，不属于C）：$2$
3. 仅A、C重叠的区域（属于A、C，不属于B）：$4$
4. 仅B、C重叠的区域（属于B、C，不属于A）：$-5$
5. A不与其他圆重叠的单独区域：$3$
6. B不与其他圆重叠的单独区域：$5$，$6$
7. C不与其他圆重叠的单独区域：$-2$
【知识点】
1. 有理数的分类
2. 集合公共元素识别
3. 韦恩图的应用
【点评】
本题核心考察有理数的分类标准和集合公共元素的判断，解题时需先理清集合的包含或重叠关系，按照“先公共后单独、从范围小到范围大”的顺序分类，就能做到不重不漏，是有理数概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确集合的包含关系或重叠规则：①例2中三个圆是包含关系，范围从小到大依次是正整数（小圆）、整数（中圆）、有理数（大圆），解题时从范围最小的集合开始筛选数，逐层向外，避免分类混乱；②变式探究是三个互相重叠的集合，重叠区域对应同时属于多个集合的公共元素，解题时先找三个集合共有的元素，再找仅两个集合共有的元素，最后筛选仅属于单个集合的元素，保证不重不漏。
【解析】
例2解题步骤：
1. 明确各集合定义：
小圆：正整数，即大于0的整数；
中圆小圆外区域：整数但非正整数，包含负整数和0；
大圆中圆外区域：有理数但非整数，即分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。
2. 逐数分类：
筛选正整数：15、123，填入小圆；
筛选剩余整数：-5、-80，填入中圆内小圆外区域；
剩余数均为分数：$-\frac{1}{9},\frac{2}{15},-\frac{3}{18},0.1,-5.32,2.333$，填入大圆内中圆外区域。
变式探究解题步骤：
1. 找三个集合的公共元素：同时在A、B、C中的数只有0，填入三个圆重叠的区域；
2. 找仅A、B共有的元素：A、B都有且不在C中的数是2，填入仅A、B重叠的区域；
3. 找仅A、C共有的元素：A、C都有且不在B中的数是4，填入仅A、C重叠的区域；
4. 找仅B、C共有的元素：B、C都有且不在A中的数是-5，填入仅B、C重叠的区域；
5. 找仅属于A的元素：A中剩余的3不在B、C中，填入A的单独区域；
6. 找仅属于B的元素：B中剩余的5、6不在A、C中，填入B的单独区域；
7. 找仅属于C的元素：C中剩余的-2不在A、B中，填入C的单独区域。
【答案】
例2填数结果：
1. 小圆（正整数范围）内填入：$15$，$123$
2. 中圆内、小圆外（整数中非正整数范围）填入：$-5$，$-80$
3. 大圆内、中圆外（有理数中非整数的分数范围）填入：$-\frac{1}{9}$，$\frac{2}{15}$，$-\frac{3}{18}$，$0.1$，$-5.32$，$2.333$
变式探究填数结果：
1. 三个圆共同重叠的区域（同时属于A、B、C）：$0$
2. 仅A、B重叠的区域（属于A、B，不属于C）：$2$
3. 仅A、C重叠的区域（属于A、C，不属于B）：$4$
4. 仅B、C重叠的区域（属于B、C，不属于A）：$-5$
5. A不与其他圆重叠的单独区域：$3$
6. B不与其他圆重叠的单独区域：$5$，$6$
7. C不与其他圆重叠的单独区域：$-2$
【知识点】
1. 有理数的分类
2. 集合公共元素识别
3. 韦恩图的应用
【点评】
本题核心考察有理数的分类标准和集合公共元素的判断，解题时需先理清集合的包含或重叠关系，按照“先公共后单独、从范围小到范围大”的顺序分类，就能做到不重不漏，是有理数概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
