例1 (1)在$△ ABC$中,(1)若$∠ A=20°,∠ B=60°$,则$∠ C=$;
(2)若$∠ A=20°,∠ B=∠ C$,则$∠ C=$;
(3)若$∠ A=20°,∠ B-∠ C=30°$,则$∠ C=$;
(4)若$∠ A=∠ B=∠ C$,则$∠ C=$;
(5)若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,则$∠ C=$.
【思路导析】三角形的内角和为$180°$.
【请你解答】
(1);(2);
(3);(4);
(5).

解：根据三角形内角和为180°，计算如下：
(1) $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 20° - 60° = 100°$
(2) $\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ B = ∠ C$
$\therefore ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 20°}{2} = 80°$
(3) $\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ A=20°$
$\therefore ∠ B + ∠ C = 160°$
又$\because ∠ B - ∠ C = 30°$
$\therefore$ 两式相减得$2∠ C = 130°$，即$∠ C = 65°$
(4) $\because ∠ A = ∠ B = ∠ C$，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
$\therefore 3∠ C = 180°$，$∠ C = 60°$
(5) 设$∠ A = x$，则$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$，
代入内角和公式得$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，
$\therefore ∠ C = 3x = 90°$
答案依次为：(1)$100°$；(2)$80°$；(3)$65°$；(4)$60°$；(5)$90°$。

【分析】
本题所有小题均围绕三角形内角和为180°这一核心定理解答。解题时先明确已知的角度数量关系，将其代入三角形内角和公式，通过直接计算、消元、设未知数列方程等方式即可求出∠C的度数：(1)已知两个角的度数，直接用内角和减去已知两角即可；(2)已知两角相等，用内角和减去已知角后平分即可；(3)已知两角的差，结合两角和的关系消元求解即可；(4)已知三角相等，直接将内角和三等分即可；(5)已知角度比，设每份为x，列方程求解即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，计算如下：
(1) $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 20° - 60° = 100°$
(2) $\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ B = ∠ C$
$\therefore ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 20°}{2} = 80°$
(3) $\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ A=20°$
$\therefore ∠ B + ∠ C = 160°$
又$\because ∠ B - ∠ C = 30°$
$\therefore$ 两式相减得$2∠ C = 130°$，即$∠ C = 65°$
(4) $\because ∠ A = ∠ B = ∠ C$，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
$\therefore 3∠ C = 180°$，$∠ C = 60°$
(5) 设$∠ A = x$，则$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$，
代入内角和公式得$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，
$\therefore ∠ C = 3x = 90°$
【答案】
(1)$100°$；(2)$80°$；(3)$65°$；(4)$60°$；(5)$90°$
【知识点】
三角形内角和定理；比例分配；方程应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，通过设置不同的已知角度关系，考查对定理的掌握程度和灵活计算能力，有助于掌握根据角的数量关系列式、设元求解的常用解题方法。
【难度系数】
0.9

例2 如图,在海面上停着三艘船A,B,C,C船在A船的北偏西$40°$方向,B船在A船的南偏西$80°$方向,C船在B船的北偏东$35°$方向,从C船看A,B两船,视线CA,CB的夹角$∠ ACB$是多少度?
【思路导析】A,B,C三船的连线构成$△ ABC$,所求的$∠ ACB$是$△ ABC$的一个内角,

如果能求出$∠ CAB,∠ CBA$的度数,根据三角形的内角和等于$180°$,就可以求出$∠ ACB$的度数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 对顶三角形

解：由题意可知，AD//BE，
∠CAD=40°，∠BAF=80°，∠CBE=35°。
∵ ∠DAF=180°，
∴ ∠CAB = 180° - ∠CAD - ∠BAF = 180° - 40° - 80° = 60°。
∵ AD//BE，
∴ ∠ABE = ∠BAF = 80°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABC = ∠ABE - ∠CBE = 80° - 35° = 45°。
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，得：
∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 60° - 45° = 75°。
答：视线CA，CB的夹角∠ACB是75°。

【分析】
要计算∠ACB的度数，可利用三角形内角和定理求解，因此需先求出△ABC另外两个内角∠CAB、∠ABC的度数：首先根据正北方向互相平行，可知AD//BE；结合已知的方向角，先根据平角为180°，用180°减去∠CAD和∠BAF的度数得到∠CAB；再根据平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，减去∠CBE得到∠ABC；最后用三角形内角和180°减去两个已求内角的度数，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知，AD//BE，
∠CAD=40°，∠BAF=80°，∠CBE=35°。
∵ ∠DAF=180°，
∴ ∠CAB = 180° - ∠CAD - ∠BAF = 180° - 40° - 80° = 60°。
∵ AD//BE，
∴ ∠ABE = ∠BAF = 80°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABC = ∠ABE - ∠CBE = 80° - 35° = 45°。
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，得：
∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 60° - 45° = 75°。
答：视线CA，CB的夹角∠ACB是75°。
【答案】
75°
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合海上航船的实际场景考查几何计算，解题的核心是准确理解方向角的含义，理清各角度之间的位置关系，结合平行线性质和三角形内角和定理逐步推导求解，计算时要注意角度的加减不要出错。
【难度系数】
0.7

例3 如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P.

(1)试探索∠P与∠A，∠D之间的数量关系；
(2)若∠A:∠D:∠P=2:4:x，求x的值.
【思路导析】观察图形，可知∠D+∠DCP=∠P+∠DBP，∠A+∠ABP=∠P+∠PCA.
【示范解答】(1)∵ CP平分∠ACD，BP平分∠ABD，
∴ ∠DCP=∠PCA，∠ABP=∠PBD.
∵ ∠D+∠DCP=∠P+∠DBP，∠A+∠ABP=∠P+∠PCA，
∴ ∠D+∠A=2∠P，
∴ ∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠D).
(2)设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk，由∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠D)，有kx=$\frac{1}{2}$(2k+4k)，得x=3.

解：(1)∵ CP平分∠ACD，BP平分∠ABD，
∴ ∠DCP=∠PCA，∠ABP=∠PBD。
在两个含对顶角的三角形中，由三角形内角和为180°可得：
∠D + ∠DCP = ∠P + ∠DBP，
∠A + ∠ABP = ∠P + ∠PCA。
将两式左右两边分别相加，得：
∠D + ∠DCP + ∠A + ∠ABP = ∠P + ∠DBP + ∠P + ∠PCA，
代入∠DCP=∠PCA，∠ABP=∠PBD，化简得：
∠D + ∠A = 2∠P，
即$\boldsymbol{∠P=\frac{1}{2}(∠A+∠D)}$。
(2)设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），
将其代入$∠P=\frac{1}{2}(∠A+∠D)$，得：
$xk=\frac{1}{2}(2k+4k)$，
等式两边同时除以k，得：
$x=\frac{1}{2}×6=3$。
∴ x的值为3。

【分析】
(1)要探索∠P与∠A、∠D的数量关系，首先结合角平分线定义可得相等的角：∠DCP=∠PCA，∠ABP=∠PBD。再观察图形存在两组含公共对顶角的三角形，根据三角形内角和为180°，对顶角相等，因此每组三角形中剩余两个内角的和相等，可得到两个角的等式，将两式相加消去相等的角即可推导三个角的关系。
(2)已知三个角的比例关系，可设参数k分别表示三个角的度数，代入第一问得到的数量关系，消去参数k即可求出x的值。
【解析】
(1)
∵ CP平分∠ACD，BP平分∠ABD，
∴ ∠DCP=∠PCA，∠ABP=∠PBD。
根据三角形内角和为180°，结合对顶角相等，可得：
∠D + ∠DCP = ∠P + ∠DBP ①，
∠A + ∠ABP = ∠P + ∠PCA ②。
将①②左右两边分别相加，得：
∠D + ∠DCP + ∠A + ∠ABP = ∠P + ∠DBP + ∠P + ∠PCA，
把∠DCP=∠PCA、∠ABP=∠PBD代入上式化简，得：
∠D + ∠A = 2∠P，
即$∠P=\frac{1}{2}(∠A+∠D)$。
(2)设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），
将其代入$∠P=\frac{1}{2}(∠A+∠D)$，得：
$xk=\frac{1}{2}(2k+4k)$，
等式两边同时除以不为0的k，解得：
$x=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠P=\frac{1}{2}(∠A+∠D)}$
(2) $\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题是典型的三角形角度推导题型，解题核心是利用含对顶角的三角形建立角的等量关系，结合角平分线性质消去未知角得到目标结论，第二问用设参数的方法处理比例问题，简化了计算过程，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6