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10.如图,已知AD是△ABC的边BC上的中线.(1)作出△ABD的边BD上的高；(2)若△ABD的面积为6,且BD边上的高为3,求BC的长. 
第10题图
第10题图答案
解：
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E，线段AE即为所求的△ABD的边BD上的高。
(2) 由三角形面积公式，得
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$
将$S_{△ ABD}=6$，$AE=3$代入，得
$6=\frac{1}{2} × BD × 3$
解得 $BD=4$。
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ $BC=2BD=2×4=8$。
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E，线段AE即为所求的△ABD的边BD上的高。
(2) 由三角形面积公式，得
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$
将$S_{△ ABD}=6$，$AE=3$代入，得
$6=\frac{1}{2} × BD × 3$
解得 $BD=4$。
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ $BC=2BD=2×4=8$。
解析
【分析】
(1) 作三角形指定边上的高，依据三角形高的定义，需从与这条边相对的顶点向边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是高。本题中△ABD的BD边对应的顶点是A，BD在直线BC上，所以过A向BC作垂线即可得到所求的高。
(2) 要求BC的长，已知AD是BC的中线，根据中线性质可知BC=2BD，因此先求BD长度即可；已知△ABD的面积和BD边上的高，代入三角形面积公式可求出BD，再利用中线性质就能算出BC的长。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E，线段AE即为△ABD的边BD上的高。
(2) 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$
将$S_{△ ABD}=6$，$AE=3$代入上式，得：
$6=\frac{1}{2} × BD × 3$
解得$BD=4$。
∵AD是△ABC的边BC上的中线，即D为BC中点，
∴$BC=2BD=2×4=8$。
【答案】
(1) 过点A作AE⊥BC于E，线段AE即为所求；
(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形高的定义；三角形面积计算；三角形中线的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形高、中线的概念以及三角形面积公式的应用，掌握相关基础概念和公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
(1) 作三角形指定边上的高，依据三角形高的定义，需从与这条边相对的顶点向边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是高。本题中△ABD的BD边对应的顶点是A，BD在直线BC上，所以过A向BC作垂线即可得到所求的高。
(2) 要求BC的长，已知AD是BC的中线，根据中线性质可知BC=2BD，因此先求BD长度即可；已知△ABD的面积和BD边上的高，代入三角形面积公式可求出BD，再利用中线性质就能算出BC的长。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E，线段AE即为△ABD的边BD上的高。
(2) 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$
将$S_{△ ABD}=6$，$AE=3$代入上式，得：
$6=\frac{1}{2} × BD × 3$
解得$BD=4$。
∵AD是△ABC的边BC上的中线，即D为BC中点，
∴$BC=2BD=2×4=8$。
【答案】
(1) 过点A作AE⊥BC于E，线段AE即为所求；
(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形高的定义；三角形面积计算；三角形中线的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形高、中线的概念以及三角形面积公式的应用，掌握相关基础概念和公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
11.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE// AB$.
(1)若$DF// AC$，$EF$交$AD$于点$O$.试问：$DO$是否为$△ EDF$的角平分线？说明理由.
(2)若$DO$是$△ EDF$的角平分线，试探索$DF$与$AC$的位置关系，并说明理由.
(1)若$DF// AC$，$EF$交$AD$于点$O$.试问：$DO$是否为$△ EDF$的角平分线？说明理由.
(2)若$DO$是$△ EDF$的角平分线，试探索$DF$与$AC$的位置关系，并说明理由.
答案
解：
(1) DO是△EDF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DF//AC，
∴ ∠1 = ∠4，
∴ ∠3 = ∠4。
即DO平分∠EDF，
∴ DO是△EDF的角平分线。
(2) DF//AC，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DO是△EDF的角平分线，
∴ ∠3 = ∠4，
∴ ∠1 = ∠4。
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行）。
(1) DO是△EDF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DF//AC，
∴ ∠1 = ∠4，
∴ ∠3 = ∠4。
即DO平分∠EDF，
∴ DO是△EDF的角平分线。
(2) DF//AC，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DO是△EDF的角平分线，
∴ ∠3 = ∠4，
∴ ∠1 = ∠4。
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
(1)要判断DO是否为△EDF的角平分线，需根据角平分线的定义证明∠3=∠4。首先利用AD是△ABC的角平分线得到∠1=∠2，再结合DE//AB，由平行线内错角相等推出∠2=∠3，可得∠1=∠3；再结合DF//AC，由平行线内错角相等推出∠1=∠4，经等量代换即可得到∠3=∠4，从而得出结论。
(2)要探索DF与AC的位置关系，先由AD是角平分线和DE//AB推出∠1=∠3，再结合DO是△EDF的角平分线可得∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据内错角相等、两直线平行，即可判断DF和AC的位置关系。
【解析】
(1) DO是△EDF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DF//AC，
∴ ∠1 = ∠4（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠4。
即DO平分∠EDF，
∴ DO是△EDF的角平分线。
(2) DF//AC，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DO是△EDF的角平分线，
∴ ∠3 = ∠4，
∴ ∠1 = ∠4。
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) DO是△EDF的角平分线；
(2) DF//AC
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查角平分线的定义和平行线的性质、判定，解题核心是通过角的等量代换建立已知条件和待证结论的关联，需要熟练掌握角与线位置关系的互推逻辑。
【难度系数】
0.8
(1)要判断DO是否为△EDF的角平分线，需根据角平分线的定义证明∠3=∠4。首先利用AD是△ABC的角平分线得到∠1=∠2，再结合DE//AB，由平行线内错角相等推出∠2=∠3，可得∠1=∠3；再结合DF//AC，由平行线内错角相等推出∠1=∠4，经等量代换即可得到∠3=∠4，从而得出结论。
(2)要探索DF与AC的位置关系，先由AD是角平分线和DE//AB推出∠1=∠3，再结合DO是△EDF的角平分线可得∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据内错角相等、两直线平行，即可判断DF和AC的位置关系。
【解析】
(1) DO是△EDF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DF//AC，
∴ ∠1 = ∠4（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠4。
即DO平分∠EDF，
∴ DO是△EDF的角平分线。
(2) DF//AC，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1 = ∠3。
∵ DO是△EDF的角平分线，
∴ ∠3 = ∠4，
∴ ∠1 = ∠4。
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) DO是△EDF的角平分线；
(2) DF//AC
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查角平分线的定义和平行线的性质、判定，解题核心是通过角的等量代换建立已知条件和待证结论的关联，需要熟练掌握角与线位置关系的互推逻辑。
【难度系数】
0.8
12.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=8\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AB=10\ \mathrm{cm}$.若动点$P$从点$C$开始,按$C→A→B→C$的路径运动,且速度为每秒$2\ \mathrm{cm}$.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分?
(2)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分?
(3)当$t$为何值时,$△ BCP$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$?
(1)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分?
(2)当$t$为何值时,$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分?
(3)当$t$为何值时,$△ BCP$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$?
答案
解：
(1) $△ ABC$的周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，
周长的一半为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点$P$运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$2t=12$，
解得$t=6$。
$\therefore$ 当$t=6$时，$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分。
(2) 三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，因此当点$P$为$AB$的中点时，$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分。
此时点$P$运动的路程为$AC + AP = 8 + 10÷2 =13\ \mathrm{cm}$，
则$2t=13$，
解得$t=6.5$。
$\therefore$ 当$t=6.5$时，$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分。
(3) $△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在$AC$上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$\dfrac{1}{2}× BC× CP=12$，即$\dfrac{1}{2}×6× CP=12$，
解得$CP=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=4$，解得$t=2$。
② 当点$P$在$AB$上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$，
此时$P$为$AB$的中点，点$P$运动的路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=13$，解得$t=6.5$。
综上，当$t$为$2$或$6.5$时，$△ BCP$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$。
(1) $△ ABC$的周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，
周长的一半为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点$P$运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$2t=12$，
解得$t=6$。
$\therefore$ 当$t=6$时，$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分。
(2) 三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，因此当点$P$为$AB$的中点时，$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分。
此时点$P$运动的路程为$AC + AP = 8 + 10÷2 =13\ \mathrm{cm}$，
则$2t=13$，
解得$t=6.5$。
$\therefore$ 当$t=6.5$时，$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分。
(3) $△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在$AC$上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$\dfrac{1}{2}× BC× CP=12$，即$\dfrac{1}{2}×6× CP=12$，
解得$CP=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=4$，解得$t=2$。
② 当点$P$在$AB$上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$，
此时$P$为$AB$的中点，点$P$运动的路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=13$，解得$t=6.5$。
综上，当$t$为$2$或$6.5$时，$△ BCP$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 先计算△ABC的总周长，要使CP把周长分成相等的两部分，点P运动的路程刚好等于周长的一半，结合点P的运动速度即可列方程求解t。
(2) 根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可知当P为AB中点时，CP平分△ABC的面积，计算此时P运动的总路程，结合速度列方程求t。
(3) 分两种情况讨论：①点P在AC上时，△BCP以BC为底、CP为高，根据面积公式列方程求CP长度，进而求t；②点P在AB上时，△BCP的面积为△ABC面积的一半，此时P为AB中点，对应情况同(2)即可计算t。
【解析】
(1) △ABC的周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，周长的一半为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点P运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$2t=12$，
解得$t=6$。
(2) 三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，因此当点P为AB的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分。
此时点P运动的路程为$AC + AP = 8 + 10÷2 =13\ \mathrm{cm}$，
则$2t=13$，
解得$t=6.5$。
(3) △ABC的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$，分两种情况讨论：
① 当点P在AC上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$\dfrac{1}{2}× BC× CP=12$，即$\dfrac{1}{2}×6× CP=12$，
解得$CP=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=4$，解得$t=2$。
② 当点P在AB上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$，
此时P为AB的中点，点P运动的路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=13$，解得$t=6.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=6}$；(2) $\boldsymbol{t=6.5}$；(3) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{t=6.5}$
【知识点】
三角形周长与面积计算、三角形中线的性质、动点问题分类讨论
【点评】
本题为三角形动点综合题，将行程问题与三角形的周长、面积计算结合，解题时需根据点P的运动位置分类讨论，避免漏解，同时可利用三角形中线平分面积的性质简化计算，考查综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算△ABC的总周长，要使CP把周长分成相等的两部分，点P运动的路程刚好等于周长的一半，结合点P的运动速度即可列方程求解t。
(2) 根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可知当P为AB中点时，CP平分△ABC的面积，计算此时P运动的总路程，结合速度列方程求t。
(3) 分两种情况讨论：①点P在AC上时，△BCP以BC为底、CP为高，根据面积公式列方程求CP长度，进而求t；②点P在AB上时，△BCP的面积为△ABC面积的一半，此时P为AB中点，对应情况同(2)即可计算t。
【解析】
(1) △ABC的周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，周长的一半为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点P运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$2t=12$，
解得$t=6$。
(2) 三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，因此当点P为AB的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分。
此时点P运动的路程为$AC + AP = 8 + 10÷2 =13\ \mathrm{cm}$，
则$2t=13$，
解得$t=6.5$。
(3) △ABC的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$，分两种情况讨论：
① 当点P在AC上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$\dfrac{1}{2}× BC× CP=12$，即$\dfrac{1}{2}×6× CP=12$，
解得$CP=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=4$，解得$t=2$。
② 当点P在AB上时，$S_{△ BCP}=12\ \mathrm{cm}^2=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$，
此时P为AB的中点，点P运动的路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2t=13$，解得$t=6.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=6}$；(2) $\boldsymbol{t=6.5}$；(3) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{t=6.5}$
【知识点】
三角形周长与面积计算、三角形中线的性质、动点问题分类讨论
【点评】
本题为三角形动点综合题，将行程问题与三角形的周长、面积计算结合，解题时需根据点P的运动位置分类讨论，避免漏解，同时可利用三角形中线平分面积的性质简化计算，考查综合分析能力。
【难度系数】
0.6
