1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACE=40°,AD,CE是△ABC的角平分线,则∠DAC=°,∠BCE=°,∠ACB=°.

解：
∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠BCE = ∠ACE = 40°，
∴ ∠ACB = ∠ACE + ∠BCE = 40° + 40° = 80°。
答案依次为：$\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$。

【分析】
解题时先依据角平分线的定义思考：三角形的角平分线会将对应的内角分成两个大小相等的角。第一步求∠DAC：AD是∠BAC的角平分线，因此∠DAC等于∠BAC的一半，代入已知的∠BAC=60°即可计算；第二步求∠BCE：CE是∠ACB的角平分线，因此∠BCE和∠ACE度数相等，已知∠ACE=40°，可直接得到∠BCE的度数；第三步求∠ACB：∠ACB由∠ACE和∠BCE组成，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠BCE = ∠ACE = 40°，
∴ ∠ACB = ∠ACE + ∠BCE = 40° + 40° = 80°。
【答案】
30，40，80
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的应用，解题时只需找准角平分线对应的内角，结合已知角度进行简单计算即可，是需要熟练掌握的基础类题目。
【难度系数】
0.9

2.在$△ ABC$中，AD为中线，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$△ ABD$的周长与$△ ACD$的周长之差为。

$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$

【分析】
首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会平分对边，即AD为△ABC的中线时，D是BC中点，可得BD=CD。要计算两个三角形的周长差，可先分别写出两个三角形的周长表达式，观察式子中公共的边和相等的边，消去相同项后就能简化计算，不需要求出未知边的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
△ACD的周长：$C_{△ ACD}=AC+CD+AD$，
两个三角形的周长差为：
$\begin{aligned}C_{△ ABD}-C_{△ ACD}&=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)\\&=AB-AC+(BD-CD)+(AD-AD)\end{aligned}$
又
∵BD=CD，AD是公共边，
∴周长差$=AB-AC=6-3=3(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题解题的关键是利用三角形中线的性质得到相等的边，再通过周长作差消去公共边和相等边，简化计算过程，无需求解未知边长即可得到结果，解题时注意不要混淆两个三角形的边的对应关系。
【难度系数】
0.8

3.如图，AE是$△ ABC$的角平分线，$AD ⊥ BC$于点D，若$∠ BAC = 130°$，$∠ DAC = 60°$，则$∠ DAE$的度数是。

$\boldsymbol{5°}$

【分析】
解题时先回忆三角形角平分线的定义：角平分线可以将一个角分成两个大小相等的角。本题首先利用AE是∠BAC的角平分线，求出∠EAC的度数，再结合图形中各角的位置关系，可知∠DAE=∠EAC-∠DAC，代入已知的∠DAC的度数就能算出最终结果。
【解析】
解：
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×130°=65°$，
又
∵已知$∠ DAC=60°$，
∴$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=65°-60°=5°$。
【答案】
$\boldsymbol{5°}$
【知识点】
三角形角平分线定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握三角形角平分线的性质，结合图形明确角之间的和差关系即可快速求解，计算时注意看清已知角的数值，避免低级失误。
【难度系数】
0.85

4.有下列说法：
①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；
②直角三角形只有一条高线；
③三角形的中线可能在三角形的外部；
④三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部.其中正确的有
（只填序号）.

①④

【分析】
解题时需结合三角形角平分线、中线、高线的定义，以及不同类型三角形中这三类线段的位置特征，逐一判断4个说法的正误即可。首先回忆三类线段的定义，明确它们都是线段；再分别对应直角三角形高线的数量、中线的位置、不同三角形高线的位置特点依次判断每个说法。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 对于说法①：三角形的角平分线是内角平分线与对边交点和顶点间的线段，中线是顶点与对边中点的连线（线段），高线是顶点到对边的垂线段，三者都属于线段，因此①正确。
2. 对于说法②：直角三角形共有3条高线，两条直角边分别是对应对边上的高线，还有1条是斜边上的高线，因此②错误。
3. 对于说法③：三角形的中线连接的是顶点和对边中点，对边中点始终在三角形的边上，因此中线一定在三角形内部，不可能出现在外部，因此③错误。
4. 对于说法④：锐角三角形的3条高线都在三角形内部，钝角三角形有2条高线在三角形外部，因此三角形的高线可能在内部，也可能在外部，因此④正确。
综上，正确的说法是①④。
【答案】
①④
【知识点】
1. 三角形三线的定义
2. 三角形高的位置特征
3. 三角形中线的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，易错点是容易忽略直角三角形的直角边也是高、混淆中线和高线的位置特点，熟记不同类型三角形中三类线段的位置规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.如图，$AE⊥BC$于点$E$，$BF⊥AC$于点$F$，$CD⊥AB$于点$D$，则$△ ABC$中$AC$边上的高是线段（）


A.$AE$
B.$CD$
C.$BF$
D.$AF$

C

【分析】
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。解题时先确定目标边是AC，再找到AC边对应的对顶点，最后找过该顶点且垂直于AC的线段即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
求△ABC中AC边上的高步骤如下：
1. 确定AC边所对的顶点是点B；
2. 查找过点B且与AC垂直的线段，已知BF⊥AC于点F，因此线段BF是AC边上的高。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确理解三角形高的定义，明确高是对应边所对顶点向该边作的垂线段，注意不要混淆不同边对应的高。
【难度系数】
0.9

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$,$E$是$AC$上的两点,且$AE=DE$,$BD$平分$∠ EBC$,那么下列说法中不正确的是()


A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠1=∠2=∠3$
D.$BC$是$△ BDE$的高

C

【分析】
解题时先回忆三角形中线、角平分线、高的定义，再结合题目给出的已知条件，逐个验证四个选项的正确性，最终找出说法错误的选项。首先明确：①三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段；②三角形的角平分线是顶点的内角平分线与对边相交，顶点与交点的连线；③三角形的高是顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项A：已知$AE=DE$，说明E是AD的中点，在$△ ABD$中，BE连接顶点B和AD边的中点E，符合三角形中线的定义，因此BE是$△ ABD$的中线，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知BD平分$∠ EBC$，即$∠ 2=∠ 3$，在$△ BCE$中，BD是顶点B的角平分线与对边CE的交点连线，符合三角形角平分线的定义，因此BD是$△ BCE$的角平分线，B说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：仅能由BD平分$∠ EBC$得到$∠ 2=∠ 3$，题目没有给出BE平分$∠ ABD$的条件，无法推出$∠ 1=∠ 2$，因此$∠ 1=∠ 2=∠ 3$的说法不成立，C说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：已知$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，D、E都在AC边上，因此$BC⊥ DE$，在$△ BDE$中，BC是顶点B到对边DE所在直线的垂线段，符合三角形高的定义，因此BC是$△ BDE$的高，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题核心考查三角形三类重要线段的定义，解题时要严格结合已知条件判断，不能默认没有给出的角相等关系，避免因主观臆断出错。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$△ ABC$中,$CD$平分$∠ ACB$,$DE // BC$,交$AC$于点$E$.若$∠ AED=50°$,则$∠ D$为()

A.$50°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$20°$

B

【分析】
解题时首先结合平行线的同位角相等性质，由DE//BC和已知∠AED的度数求出∠ACB的度数；再利用角平分线的定义求出∠BCD的度数；最后再次利用平行线的内错角相等性质，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵DE//BC，∠AED=50°，
∴∠ACB=∠AED=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
又
∵DE//BC，
∴∠D=∠BCD=25°（两直线平行，内错角相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是灵活运用平行线的性质找到相等的角，结合角平分线的定义完成角度的转化即可求解。
【难度系数】
0.7

8.如图,点 D,E,F 分别是 BC,AD,AC 边上的中点.若阴影部分的面积为 9,则 $S_{△ ABC}$ 为（）

A.1
B.18
C.24
D.36

C

【分析】
遇到三角形边上的中点，首先想到三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的小三角形。我们可以从阴影部分的面积入手，依次推导阴影的两个组成部分和△ABC的面积关系，最终通过阴影面积建立等式求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，可得$ S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} $。
∵点E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，可得$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{4}S_{△ ABC} $。
∵点F是AC的中点，
∴DF是△ADC的中线，可得$ S_{△ ADF} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{4}S_{△ ABC} $。
又
∵点E是AD的中点，
∴EF是△ADF的中线，可得$ S_{△ DEF} = \frac{1}{2}S_{△ ADF} = \frac{1}{2} × \frac{1}{4}S_{△ ABC} = \frac{1}{8}S_{△ ABC} $。
已知阴影部分面积为9，即$ S_{△ BDE} + S_{△ DEF} = 9 $，代入得：
$ \frac{1}{4}S_{△ ABC} + \frac{1}{8}S_{△ ABC} = 9 $
$ \frac{3}{8}S_{△ ABC} = 9 $
解得$ S_{△ ABC} = 24 $。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，比例运算
【点评】
本题重点考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时要顺着中点找到对应的中线，逐步梳理各部分面积的比例关系，就能快速求出总面积，是典型的几何面积计算类题目。
【难度系数】
0.6

9.如图,将△ABC沿AD折叠,点C落在点$C'$处,给出下列说法:①甲折出的AD是BC边上的高;②乙折出的AD是$△ ABC$的角平分线;③丙折出的AD是BC边上的中线;④丙折出的AD是$△ ABC$的角平分线.其中正确的有()


A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④

A

【分析】
解题时先利用折叠的核心性质：折叠前后对应角相等、对应边相等，再结合三角形的高、角平分线、中线的定义，逐个判断4个说法是否正确。首先分析甲图的折叠特征推导AD与BC的位置关系，判断①；再分析乙图的折叠特征推导角的关系，判断②；接着分析丙图的折叠特征推导边的关系，判断③；最后明确丙图无额外等腰条件时无法推出角平分关系，判断④即可。
【解析】
根据折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等，逐一分析：
1. 分析①：甲图折叠后点C落在BC边上的$C'$处，得$∠ ADC=∠ ADC'$，又$∠ ADC+∠ ADC'=180°$，因此$∠ ADC=∠ ADC'=90°$，即$AD⊥ BC$，AD是BC边上的高，①正确；
2. 分析②：乙图折叠后点C落在$△ ABC$内部，得$∠ CAD=∠ C'AD$，即AD平分$∠ BAC$，AD是$△ ABC$的角平分线，②正确；
3. 分析③：丙图折叠后点C与点B重合，得$BD=CD$，即D是BC的中点，AD是BC边上的中线，③正确；
4. 分析④：丙图折叠仅能推出$BD=CD$，题目未说明$△ ABC$是等腰三角形，无法推出AD平分$∠ BAC$，因此AD不一定是$△ ABC$的角平分线，④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，三角形三线的定义
【点评】
本题考查折叠性质与三角形高、角平分线、中线定义的结合应用，解题关键是准确对应折叠前后的边、角关系，注意不要默认$△ ABC$为等腰三角形。
【难度系数】
0.7