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1.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$是$AC$边上两点，$BE ⊥ AB$，$BD ⊥ BC$，则$BD$是下列哪个三角形的高（
A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$
A
）.A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形这条边上的高，核心特征是高与对应的边互相垂直。接下来结合题目给出的$BD⊥ BC$的垂直条件，逐一分析各选项中的三角形，判断BD是否满足该三角形高的特征即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为该三角形的高。
已知条件给出$BD ⊥ BC$，即$∠ DBC=90°$，垂足为点B：
选项A：在$△ BCD$中，过顶点D向边BC所在直线作垂线，垂足恰好为B，因此线段BD是$△ BCD$中BC边上的高，符合要求。
选项B：$△ ABC$的高需从其三个顶点A、B、C出发向对边作垂线，BD既不垂直AB、AC，也不是从A或C向BC作的垂线，因此不是$△ ABC$的高，排除。
选项C：$△ ABE$中仅已知$BE ⊥ AB$，BD与$△ ABE$的三条边均无垂直关系，因此不是$△ ABE$的高，排除。
选项D：题中未给出BD与$△ BDE$其余边的垂直关系，因此不是$△ BDE$的高，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对三角形高的定义的理解与应用，解题的关键是牢牢抓住高与对应边垂直的特征，结合已知条件逐一排查即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形这条边上的高，核心特征是高与对应的边互相垂直。接下来结合题目给出的$BD⊥ BC$的垂直条件，逐一分析各选项中的三角形，判断BD是否满足该三角形高的特征即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为该三角形的高。
已知条件给出$BD ⊥ BC$，即$∠ DBC=90°$，垂足为点B：
选项A：在$△ BCD$中，过顶点D向边BC所在直线作垂线，垂足恰好为B，因此线段BD是$△ BCD$中BC边上的高，符合要求。
选项B：$△ ABC$的高需从其三个顶点A、B、C出发向对边作垂线，BD既不垂直AB、AC，也不是从A或C向BC作的垂线，因此不是$△ ABC$的高，排除。
选项C：$△ ABE$中仅已知$BE ⊥ AB$，BD与$△ ABE$的三条边均无垂直关系，因此不是$△ ABE$的高，排除。
选项D：题中未给出BD与$△ BDE$其余边的垂直关系，因此不是$△ BDE$的高，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对三角形高的定义的理解与应用，解题的关键是牢牢抓住高与对应边垂直的特征，结合已知条件逐一排查即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
2. 如图,如果$BD=DE=EF=FC$,那么(
A.$AD$
B.$AE$
C.$AF$
D.以上都是
A
)是$△ ABE$的中线.A.$AD$
B.$AE$
C.$AF$
D.以上都是
答案
A
解析
【分析】
解题首先要回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。要找△ABE的中线，首先确定△ABE的边，其中边BE在底边BC上，已知BD=DE=EF=FC，可得BD=DE，即D是BE的中点，那么连接顶点A和BE中点D的线段就是△ABE的中线，对应选项判断即可。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段是三角形的中线。
对于△ABE，观察它的边BE，由已知条件BD=DE，可知点D是边BE的中点，因此连接顶点A与BE中点D的线段AD是△ABE的中线，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义、线段中点的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是对三角形中线定义的理解和应用，解题时先锁定目标三角形，再找到对应边的中点，即可快速确定对应的中线，只要熟练掌握相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。要找△ABE的中线，首先确定△ABE的边，其中边BE在底边BC上，已知BD=DE=EF=FC，可得BD=DE，即D是BE的中点，那么连接顶点A和BE中点D的线段就是△ABE的中线，对应选项判断即可。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段是三角形的中线。
对于△ABE，观察它的边BE，由已知条件BD=DE，可知点D是边BE的中点，因此连接顶点A与BE中点D的线段AD是△ABE的中线，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义、线段中点的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是对三角形中线定义的理解和应用，解题时先锁定目标三角形，再找到对应边的中点，即可快速确定对应的中线，只要熟练掌握相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则下列结论正确的有(
① $AD$ 平分$∠ BAF$；
②$AF$ 平分$∠ BAC$；
③$AE$ 平分$∠ DAF$；④$AF$ 平分$∠ DAC$；
⑤$AE$ 平分$∠ BAC$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
).① $AD$ 平分$∠ BAF$；
②$AF$ 平分$∠ BAC$；
③$AE$ 平分$∠ DAF$；④$AF$ 平分$∠ DAC$；
⑤$AE$ 平分$∠ BAC$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
C
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需紧扣角平分线的定义：将一个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。我们结合已知的∠1=∠2、∠3=∠4，逐一验证每个结论中射线分出的两个角是否相等即可。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
① 要使AD平分∠BAF，需满足∠3=∠1+∠2，题中仅给出∠3=∠4，无法证明∠3=∠1+∠2，故①错误；
② 要使AF平分∠BAC，需满足∠3+∠1+∠2=∠4，没有已知条件支持该等式成立，故②错误；
③ AE将∠DAF分为∠1和∠2，已知∠1=∠2，符合角平分线的定义，故③正确；
④ 要使AF平分∠DAC，需满足∠1+∠2=∠4，没有已知条件支持该等式成立，故④错误；
⑤ AE将∠BAC分为∠BAE和∠EAC，其中∠BAE=∠3+∠1，∠EAC=∠2+∠4，已知∠3=∠4、∠1=∠2，因此∠BAE=∠EAC，符合角平分线的定义，故⑤正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需严格依据角平分线的定义，结合题目给出的角的等量关系判断，不能默认题目未给出的角相等，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.7
要判断各结论是否正确，需紧扣角平分线的定义：将一个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。我们结合已知的∠1=∠2、∠3=∠4，逐一验证每个结论中射线分出的两个角是否相等即可。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
① 要使AD平分∠BAF，需满足∠3=∠1+∠2，题中仅给出∠3=∠4，无法证明∠3=∠1+∠2，故①错误；
② 要使AF平分∠BAC，需满足∠3+∠1+∠2=∠4，没有已知条件支持该等式成立，故②错误；
③ AE将∠DAF分为∠1和∠2，已知∠1=∠2，符合角平分线的定义，故③正确；
④ 要使AF平分∠DAC，需满足∠1+∠2=∠4，没有已知条件支持该等式成立，故④错误；
⑤ AE将∠BAC分为∠BAE和∠EAC，其中∠BAE=∠3+∠1，∠EAC=∠2+∠4，已知∠3=∠4、∠1=∠2，因此∠BAE=∠EAC，符合角平分线的定义，故⑤正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需严格依据角平分线的定义，结合题目给出的角的等量关系判断，不能默认题目未给出的角相等，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.7
4.如图，画出△ABC的三条高. 
答案
解
解析
【分析】
要画出三角形的三条高，首先需要回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。观察△ABC可知它是钝角三角形，钝角的两条夹边对应的高会落在三角形外部，需要先延长对应边所在的直线再作垂线：①先确定每个顶点对应的对边：顶点A对应对边BC，顶点B对应对边AC，顶点C对应对边AB；②分别过三个顶点作对边所在直线的垂线，标注垂直符号，所得线段就是对应的高。
【解析】
1. 画AB边上的高：延长AB边所在的直线，过点C作AB所在直线的垂线，垂足记为D，线段CD就是AB边上的高；
2. 画BC边上的高：延长BC边所在的直线，过点A作BC所在直线的垂线，垂足记为E，线段AE就是BC边上的高；
3. 画AC边上的高：过点B作AC所在直线的垂线，垂足记为F，线段BF就是AC边上的高。
【答案】
【知识点】
三角形的高，垂线的画法，钝角三角形高的特征
【点评】
本题属于基础作图题，核心是理解三角形高的定义，需要注意钝角三角形有2条高在三角形外部，作高时要先延长对应边所在直线，同时不要忘记标注垂直符号。
【难度系数】
0.8
要画出三角形的三条高，首先需要回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。观察△ABC可知它是钝角三角形，钝角的两条夹边对应的高会落在三角形外部，需要先延长对应边所在的直线再作垂线：①先确定每个顶点对应的对边：顶点A对应对边BC，顶点B对应对边AC，顶点C对应对边AB；②分别过三个顶点作对边所在直线的垂线，标注垂直符号，所得线段就是对应的高。
【解析】
1. 画AB边上的高：延长AB边所在的直线，过点C作AB所在直线的垂线，垂足记为D，线段CD就是AB边上的高；
2. 画BC边上的高：延长BC边所在的直线，过点A作BC所在直线的垂线，垂足记为E，线段AE就是BC边上的高；
3. 画AC边上的高：过点B作AC所在直线的垂线，垂足记为F，线段BF就是AC边上的高。
【答案】
【知识点】
三角形的高，垂线的画法，钝角三角形高的特征
【点评】
本题属于基础作图题，核心是理解三角形高的定义，需要注意钝角三角形有2条高在三角形外部，作高时要先延长对应边所在直线，同时不要忘记标注垂直符号。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$，$HE$是$△ AEC$的中线，那么以$AD$为高的三角形有(
A.2个
B.3个
C.5个
D.6个
D
).A.2个
B.3个
C.5个
D.6个
答案
D 解析 以AD为高的三角形有△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC,共6个,故选D.
解析
【分析】
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做该三角形的高。本题中AD⊥BC于D，说明只要三角形的一条边在直线BC上，且第三个顶点为A，AD就可以作为这个三角形的高。解题时注意排除题目中AE是角平分线、HE是中线这类无关干扰条件，按顺序计数符合要求的三角形即可。
【解析】
已知AD⊥BC于点D，因此所有以A为顶点、且有一条边在直线BC上的三角形，AD都是它的高。
BC边上共有B、D、E、C四个点，任取两个点和点A即可组成符合要求的三角形，按顺序列举如下：
1. 左端点为B：△ABD、△ABE、△ABC，共3个；
2. 左端点为D：△ADE、△ADC，共2个；
3. 左端点为E：△AEC，共1个。
总数量为3+2+1=6个，因此以AD为高的三角形共有6个。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 三角形计数
【点评】
本题核心考查对三角形高的概念的理解，解题时要注意排除无关条件的干扰，计数时按照固定顺序列举，避免漏数或者重复计数。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做该三角形的高。本题中AD⊥BC于D，说明只要三角形的一条边在直线BC上，且第三个顶点为A，AD就可以作为这个三角形的高。解题时注意排除题目中AE是角平分线、HE是中线这类无关干扰条件，按顺序计数符合要求的三角形即可。
【解析】
已知AD⊥BC于点D，因此所有以A为顶点、且有一条边在直线BC上的三角形，AD都是它的高。
BC边上共有B、D、E、C四个点，任取两个点和点A即可组成符合要求的三角形，按顺序列举如下：
1. 左端点为B：△ABD、△ABE、△ABC，共3个；
2. 左端点为D：△ADE、△ADC，共2个；
3. 左端点为E：△AEC，共1个。
总数量为3+2+1=6个，因此以AD为高的三角形共有6个。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 三角形计数
【点评】
本题核心考查对三角形高的概念的理解，解题时要注意排除无关条件的干扰，计数时按照固定顺序列举，避免漏数或者重复计数。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AD，CE 是$△ ABC$的两条高，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$，求AD 的长.
答案
解 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD$,
∵$AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$,
∴$\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$,
解得$AD=3\ \mathrm{cm}$.
∵$AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$,
∴$\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$,
解得$AD=3\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要求AD的长度，可采用等面积法求解：同一个三角形的面积是固定的，我们可以选择两组不同的底和对应的高来表示三角形的面积，构建等式求解未知的高。△ABC中，以AB为底时，对应的高是CE；以BC为底时，对应的高是AD，两个表达式计算的都是△ABC的面积，因此相等，代入已知数值即可求出AD。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD$
已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$，将数值代入等式：
$\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$
化简得：$12=4AD$
解得$AD=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AD=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形高的定义、三角形面积公式、等面积法
【点评】
本题属于三角形面积相关的基础题型，解题关键是抓住同一三角形面积恒定的特点，通过不同底高组合表示面积构建等式，等面积法是求解三角形高、边长类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
要求AD的长度，可采用等面积法求解：同一个三角形的面积是固定的，我们可以选择两组不同的底和对应的高来表示三角形的面积，构建等式求解未知的高。△ABC中，以AB为底时，对应的高是CE；以BC为底时，对应的高是AD，两个表达式计算的都是△ABC的面积，因此相等，代入已知数值即可求出AD。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD$
已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$，将数值代入等式：
$\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$
化简得：$12=4AD$
解得$AD=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AD=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形高的定义、三角形面积公式、等面积法
【点评】
本题属于三角形面积相关的基础题型，解题关键是抓住同一三角形面积恒定的特点，通过不同底高组合表示面积构建等式，等面积法是求解三角形高、边长类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10.
(1)求AB,AC的长;
(2)求BC边的取值范围.
(1)求AB,AC的长;
(2)求BC边的取值范围.
答案
解 (1)
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$,
∴$△ABD$的周长$-△ADC$的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,即$AB-AC=2$①,又$AB+AC=10$②，
由①+②,得$2AB=12$,解得$AB=6$,
由②-①,得$2AC=8$,解得$AC=4$,
∴$AB=6,AC=4$.
(2)
∵$AB=6,AC=4$,
∴$2＜BC＜10$.
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$,
∴$△ABD$的周长$-△ADC$的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,即$AB-AC=2$①,又$AB+AC=10$②，
由①+②,得$2AB=12$,解得$AB=6$,
由②-①,得$2AC=8$,解得$AC=4$,
∴$AB=6,AC=4$.
(2)
∵$AB=6,AC=4$,
∴$2＜BC＜10$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先根据三角形中线的性质得到BD=CD，再分别写出两个三角形的周长表达式，作差后公共边AD、相等线段BD和CD会抵消，即可推出AB与AC的差为2，结合已知AB+AC=10，联立两个等量关系就能解出AB、AC的长度。
（2）求解第二问时，直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已求出的AB、AC长度，即可得到BC的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$，
∴$△ABD$的周长$-△ADC$的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$，即$AB-AC=2$①，
又$AB+AC=10$②，
由①+②，得$2AB=12$，解得$AB=6$，
由②-①，得$2AC=8$，解得$AC=4$。
(2) 根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
∵$AB=6,AC=4$，
∴$AB-AC＜BC＜AB+AC$，即$2＜BC＜10$。
【答案】
(1) $AB=6$，$AC=4$；
(2) $2＜BC＜10$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形三边关系；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是通过中线性质化简周长差，得到两条边的数量关系，再结合三边关系求解，计算周长差时要注意公共边、相等线段可以直接抵消，减少计算量。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先根据三角形中线的性质得到BD=CD，再分别写出两个三角形的周长表达式，作差后公共边AD、相等线段BD和CD会抵消，即可推出AB与AC的差为2，结合已知AB+AC=10，联立两个等量关系就能解出AB、AC的长度。
（2）求解第二问时，直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已求出的AB、AC长度，即可得到BC的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$，
∴$△ABD$的周长$-△ADC$的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$，即$AB-AC=2$①，
又$AB+AC=10$②，
由①+②，得$2AB=12$，解得$AB=6$，
由②-①，得$2AC=8$，解得$AC=4$。
(2) 根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
∵$AB=6,AC=4$，
∴$AB-AC＜BC＜AB+AC$，即$2＜BC＜10$。
【答案】
(1) $AB=6$，$AC=4$；
(2) $2＜BC＜10$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形三边关系；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是通过中线性质化简周长差，得到两条边的数量关系，再结合三边关系求解，计算周长差时要注意公共边、相等线段可以直接抵消，减少计算量。
【难度系数】
0.7
