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举一反三 如图，已知AE为△ABC的中线，AB=8 cm，AC=6 cm，△ACE的周长为16 cm，则△ABE的周长为
18
cm.答案
18
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可得BE=CE。观察两个三角形的周长构成：△ACE的周长=AC+CE+AE，△ABE的周长=AB+BE+AE，两者的公共部分是AE，且BE=CE，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的差。我们可以先从△ACE的周长求出CE+AE的值，再整体代入△ABE的周长公式计算即可。
【解析】
∵AE是△ABC的中线
∴E是BC的中点，即BE=CE
已知△ACE的周长为16cm，即：
$\mathrm{AC}+\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=16\mathrm{cm}$
将$\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}$代入，得：
$\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=16-6=10\mathrm{cm}$
∴$\mathrm{BE}+\mathrm{AE}=\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=10\mathrm{cm}$
△ABE的周长为：
$\mathrm{AB}+\mathrm{BE}+\mathrm{AE}=8+10=18\mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
三角形中线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用三角形中线的性质找到相等的边，通过整体代换的思想简化计算，不需要分别求解各未知边的长度，是三角形中线相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可得BE=CE。观察两个三角形的周长构成：△ACE的周长=AC+CE+AE，△ABE的周长=AB+BE+AE，两者的公共部分是AE，且BE=CE，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的差。我们可以先从△ACE的周长求出CE+AE的值，再整体代入△ABE的周长公式计算即可。
【解析】
∵AE是△ABC的中线
∴E是BC的中点，即BE=CE
已知△ACE的周长为16cm，即：
$\mathrm{AC}+\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=16\mathrm{cm}$
将$\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}$代入，得：
$\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=16-6=10\mathrm{cm}$
∴$\mathrm{BE}+\mathrm{AE}=\mathrm{CE}+\mathrm{AE}=10\mathrm{cm}$
△ABE的周长为：
$\mathrm{AB}+\mathrm{BE}+\mathrm{AE}=8+10=18\mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
三角形中线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用三角形中线的性质找到相等的边，通过整体代换的思想简化计算，不需要分别求解各未知边的长度，是三角形中线相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
典例2 如图,在△ABC中,DE // BC,CD平分∠ACB,∠ACB=60°,则∠EDC为(
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
A
).A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
答案
答案A
解析
∵CD平分∠ACB,
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
∵DE//BC,
∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$.
故选A.
解析
∵CD平分∠ACB,
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
∵DE//BC,
∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$.
故选A.
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：已知CD平分∠ACB、∠ACB=60°，且DE//BC，要求∠EDC的度数。解题时第一步先利用角平分线的定义，计算出∠DCB的度数；第二步观察∠EDC和∠DCB的位置关系，二者是平行线DE、BC被CD所截形成的内错角，根据平行线的性质即可得到∠EDC和∠DCB相等，进而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵$DE// BC$，
∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$（两直线平行，内错角相等）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查角平分线定义和平行线性质的应用，只要准确识别角的位置关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
拿到题目先梳理已知条件：已知CD平分∠ACB、∠ACB=60°，且DE//BC，要求∠EDC的度数。解题时第一步先利用角平分线的定义，计算出∠DCB的度数；第二步观察∠EDC和∠DCB的位置关系，二者是平行线DE、BC被CD所截形成的内错角，根据平行线的性质即可得到∠EDC和∠DCB相等，进而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵$DE// BC$，
∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$（两直线平行，内错角相等）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查角平分线定义和平行线性质的应用，只要准确识别角的位置关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
举一反三 如图,在$△ ABC$中,CD平分$∠ ACB$交AB于点D,过点D作$DE// BC$交AC于点E.若$∠ A=54°,∠ B=48°$,则$∠ CDE$的大小为(
A.$44°$
B.$40°$
C.$39°$
D.$38°$
C
).A.$44°$
B.$40°$
C.$39°$
D.$38°$
答案
C
解析
【分析】
要求∠CDE的度数，首先观察到DE//BC，根据平行线的性质可将∠CDE转化为与其相等的内错角∠BCD；而CD是∠ACB的角平分线，因此只需求出∠ACB的度数即可得到∠BCD的大小；已知△ABC中两个内角的度数，利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB，按此思路逐步推导即可求解。
【解析】
第一步：计算△ABC中∠ACB的度数
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
第二步：根据角平分线的定义求∠BCD
∵CD平分$∠ ACB$
∴$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
第三步：根据平行线的性质求∠CDE
∵$DE // BC$，两直线平行，内错角相等
∴$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过平行线的性质完成所求角的转化，再结合角平分线和三角形内角和的知识点逐步推导即可，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求∠CDE的度数，首先观察到DE//BC，根据平行线的性质可将∠CDE转化为与其相等的内错角∠BCD；而CD是∠ACB的角平分线，因此只需求出∠ACB的度数即可得到∠BCD的大小；已知△ABC中两个内角的度数，利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB，按此思路逐步推导即可求解。
【解析】
第一步：计算△ABC中∠ACB的度数
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
第二步：根据角平分线的定义求∠BCD
∵CD平分$∠ ACB$
∴$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
第三步：根据平行线的性质求∠CDE
∵$DE // BC$，两直线平行，内错角相等
∴$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过平行线的性质完成所求角的转化，再结合角平分线和三角形内角和的知识点逐步推导即可，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
典例3 如图,过△ABC的顶点A,作BC边上的高,垂足为D.以下作法正确的是(
规律方法 正确画出三角形的高要掌握以下两点:(1)“高”与顶点的对边所在直线垂直;(2)“高”的一个端点是原三角形的顶点,另一个端点是垂足.
A
).规律方法 正确画出三角形的高要掌握以下两点:(1)“高”与顶点的对边所在直线垂直;(2)“高”的一个端点是原三角形的顶点,另一个端点是垂足.
答案
答案A
解析 根据三角形高线的定义,BC边上的高是过点A向BC作垂线段,垂足为D,纵观各图形,B,C,D选项都不符合高线的定义,A选项符合高线的定义.故选A.
解析 根据三角形高线的定义,BC边上的高是过点A向BC作垂线段,垂足为D,纵观各图形,B,C,D选项都不符合高线的定义,A选项符合高线的定义.故选A.
解析
【分析】
要判断哪条是BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。BC边上的高需要满足两个核心要求：①线段的一个端点是顶点A，另一个端点是垂足D；②AD与BC所在的直线互相垂直。我们对照这两个要求逐一排查选项即可找到正确答案。
【解析】
根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC所在直线作垂线段，垂足为D：
选项B：垂线段过点C，未经过顶点A，不符合高线要求；
选项C：垂线段AD与AB垂直，不与BC垂直，不符合高线要求；
选项D：垂线段过点B，未经过顶点A，不符合高线要求；
选项A：AD是过A向BC所在直线作的垂线段，垂足为D，完全符合BC边上高的定义。
【答案】
A
【知识点】
三角形高线的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解三角形高的定义，注意三角形的高可以在三角形内部、边上，也可以在三角形外部，不要被“高只能在三角形内”的错误认知误导。
【难度系数】
0.8
要判断哪条是BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。BC边上的高需要满足两个核心要求：①线段的一个端点是顶点A，另一个端点是垂足D；②AD与BC所在的直线互相垂直。我们对照这两个要求逐一排查选项即可找到正确答案。
【解析】
根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC所在直线作垂线段，垂足为D：
选项B：垂线段过点C，未经过顶点A，不符合高线要求；
选项C：垂线段AD与AB垂直，不与BC垂直，不符合高线要求；
选项D：垂线段过点B，未经过顶点A，不符合高线要求；
选项A：AD是过A向BC所在直线作的垂线段，垂足为D，完全符合BC边上高的定义。
【答案】
A
【知识点】
三角形高线的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解三角形高的定义，注意三角形的高可以在三角形内部、边上，也可以在三角形外部，不要被“高只能在三角形内”的错误认知误导。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图,在$△ ABC$中,AB边上的高线是(
A.线段AD
B.线段AF
C.线段BG
D.线段CE
解析 ∵CD平分∠ACB,
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
∵DE//BC,∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$.
故选A.
典例3
答案A
解析 根据三角形高线的定义,BC边上的高是过点A向BC作垂线段,垂足为D,纵观各图形,B,C,D选项都不符合高线的定义,A选项符合高线的定义.故选A.
D
).A.线段AD
B.线段AF
C.线段BG
D.线段CE
解析 ∵CD平分∠ACB,
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
∵DE//BC,∴$∠ EDC=∠ DCB=30°$.
故选A.
典例3
答案A
解析 根据三角形高线的定义,BC边上的高是过点A向BC作垂线段,垂足为D,纵观各图形,B,C,D选项都不符合高线的定义,A选项符合高线的定义.故选A.
答案
D
解析
【分析】
要判断AB边上的高线，首先要明确三角形高线的定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高线。第一步先确定AB边所对的顶点是点C，第二步找过点C且垂直于AB所在直线的线段即可对应选出答案。
【解析】
根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找△ABC中AB边上的高线：
1. AB边所对的顶点为点C；
2. 观察图形，过点C作AB所在直线的垂线，垂足为E，因此线段CE是AB边上的高线。
分析其余选项：A选项线段AD是BC边上的高线，B选项线段AF不是三角形的高线，C选项线段BG是AC边上的高线，均不符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握三角形高线的定义，注意区分不同边对应的高线，避免混淆边和所对顶点的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断AB边上的高线，首先要明确三角形高线的定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高线。第一步先确定AB边所对的顶点是点C，第二步找过点C且垂直于AB所在直线的线段即可对应选出答案。
【解析】
根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找△ABC中AB边上的高线：
1. AB边所对的顶点为点C；
2. 观察图形，过点C作AB所在直线的垂线，垂足为E，因此线段CE是AB边上的高线。
分析其余选项：A选项线段AD是BC边上的高线，B选项线段AF不是三角形的高线，C选项线段BG是AC边上的高线，均不符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握三角形高线的定义，注意区分不同边对应的高线，避免混淆边和所对顶点的对应关系。
【难度系数】
0.8
