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1. 三角形的内角和
三角形的内角和等于
三角形的内角和等于
180°
.答案
180°
解析
【分析】
本题是对三角形基本性质的直接考查，解题时只需回忆所学的三角形内角和相关定理，直接填写定理结论即可，无需额外推导。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此该空直接填入180°即可。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，重点考查对三角形基础性质的掌握程度，相关结论是后续解决角度计算、几何证明等问题的必备基础。
【难度系数】
0.95
本题是对三角形基本性质的直接考查，解题时只需回忆所学的三角形内角和相关定理，直接填写定理结论即可，无需额外推导。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此该空直接填入180°即可。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，重点考查对三角形基础性质的掌握程度，相关结论是后续解决角度计算、几何证明等问题的必备基础。
【难度系数】
0.95
典例1 在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 10°$，$∠ C = ∠ B + 10°$，求$△ ABC$各内角的度数.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
答案
解：
∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°
∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°
根据三角形内角和定理，得∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B、∠C代入得：
∠A + (∠A + 10°) + (∠A + 20°) = 180°
3∠A + 30° = 180°
解得∠A = 50°
∴ ∠B = 50° + 10° = 60°
∠C = 60° + 10° = 70°
答：△ABC中∠A为50°，∠B为60°，∠C为70°。
∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°
∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°
根据三角形内角和定理，得∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B、∠C代入得：
∠A + (∠A + 10°) + (∠A + 20°) = 180°
3∠A + 30° = 180°
解得∠A = 50°
∴ ∠B = 50° + 10° = 60°
∠C = 60° + 10° = 70°
答：△ABC中∠A为50°，∠B为60°，∠C为70°。
解析
【分析】
本题给出了三角形三个内角的递推关系，解题时首先可以通过角度的等量代换，将∠B、∠C都用∠A表示出来，再结合三角形内角和为180°的定理，建立关于∠A的一元一次方程，解出∠A的度数后，再根据已知的角度关系依次求出∠B和∠C的度数即可。
【解析】
∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°
∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°，得∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B=∠A+10°、∠C=∠A+20°代入上式得：
∠A + (∠A + 10°) + (∠A + 20°) = 180°
整理得3∠A + 30° = 180°
解得∠A = 50°
∴ ∠B = 50° + 10° = 60°
∠C = 60° + 10° = 70°
【答案】
△ABC的三个内角度数分别为∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等量代换
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内角和的常规应用题型，核心是利用方程思想解决几何角度计算问题，解题的关键是将多个未知角统一用同一个未知量表示，再结合内角和定理列方程求解，这种代数法解几何问题的思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题给出了三角形三个内角的递推关系，解题时首先可以通过角度的等量代换，将∠B、∠C都用∠A表示出来，再结合三角形内角和为180°的定理，建立关于∠A的一元一次方程，解出∠A的度数后，再根据已知的角度关系依次求出∠B和∠C的度数即可。
【解析】
∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°
∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°，得∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B=∠A+10°、∠C=∠A+20°代入上式得：
∠A + (∠A + 10°) + (∠A + 20°) = 180°
整理得3∠A + 30° = 180°
解得∠A = 50°
∴ ∠B = 50° + 10° = 60°
∠C = 60° + 10° = 70°
【答案】
△ABC的三个内角度数分别为∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等量代换
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内角和的常规应用题型，核心是利用方程思想解决几何角度计算问题，解题的关键是将多个未知角统一用同一个未知量表示，再结合内角和定理列方程求解，这种代数法解几何问题的思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
举一反三 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
答案
解
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°−60°=120°.
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°−60°=120°.
解析
【分析】
要求∠BPC的度数，首先观察到∠BPC是△PBC的内角，根据三角形内角和为180°，只需要先求出∠PBC与∠PCB的度数和即可。已知BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质，可得∠PBC+∠PCB=½(∠ABC+∠ACB)，因此接下来需要先求∠ABC+∠ACB的和。在△ABC中，已知∠A=60°，利用三角形内角和定理即可算出∠ABC+∠ACB的度数，代入后就能求出∠PBC+∠PCB的和，最终算出∠BPC的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=½∠ABC，∠PCB=½∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB = ½(∠ABC + ∠ACB)=½×120°=60°。
∵在△PBC中，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是通过角平分线的性质建立待求角与已知角的关联，熟练掌握本题的推导思路后，可总结出这类三角形内双角平分线夹角的通用结论，能够快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
要求∠BPC的度数，首先观察到∠BPC是△PBC的内角，根据三角形内角和为180°，只需要先求出∠PBC与∠PCB的度数和即可。已知BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质，可得∠PBC+∠PCB=½(∠ABC+∠ACB)，因此接下来需要先求∠ABC+∠ACB的和。在△ABC中，已知∠A=60°，利用三角形内角和定理即可算出∠ABC+∠ACB的度数，代入后就能求出∠PBC+∠PCB的和，最终算出∠BPC的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=½∠ABC，∠PCB=½∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB = ½(∠ABC + ∠ACB)=½×120°=60°。
∵在△PBC中，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是通过角平分线的性质建立待求角与已知角的关联，熟练掌握本题的推导思路后，可总结出这类三角形内双角平分线夹角的通用结论，能够快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
