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14. 李爱数同学发现操场中有一个不规则的封闭图形ABC如图所示，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下表：
请根据以上信息，回答问题：
（1）求石子落在圆内的频率（精确到0.01）；
（2）估计封闭图形ABC的面积（π取3.14，结果精确到0.01）。
请根据以上信息，回答问题：
（1）求石子落在圆内的频率（精确到0.01）；
（2）估计封闭图形ABC的面积（π取3.14，结果精确到0.01）。
答案
14. (1) 观察表格知，随着投掷次数的增大，石子落在圆内的频率为$\frac{1}{3}\approx 0.33$ (2) 设封闭图形的面积为$a$. 根据题意，得$\frac{π}{a}=\frac{1}{3}$. 解得$a=3π$. $\therefore$ 封闭图形$ABC$的面积为$3π \approx 9.42(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
（1）求解石子落在圆内的频率时，依据频率的稳定性规律：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为频率的估计值。观察试验数据可知，随着投掷次数增大，石子落在圆内的频率稳定在$\frac{1}{3}$附近，据此可求近似频率。
（2）求解封闭图形面积时，利用频率估计概率的结论：石子落在圆内的概率近似等于圆的面积与封闭图形总面积的比值，以此列出比例式，代入已知的圆半径即可计算出封闭图形的面积。
【解析】
（1）观察表格中的试验数据，随着投掷次数不断增加，石子落在圆内的频率逐渐稳定在$\frac{1}{3}$附近，因此石子落在圆内的频率为$\frac{1}{3}\approx0.33$。
（2）设封闭图形ABC的面积为$a\ \mathrm{m}^2$。
已知圆的半径为1m，可得圆的面积为$π r^2=π×1^2=π\ (\mathrm{m}^2)$。
根据频率估计概率的原理，圆面积与封闭图形面积的比值等于石子落在圆内的频率，列等式得：
$\frac{π}{a}=\frac{1}{3}$
解得$a=3π$，代入$π=3.14$计算得$a\approx3×3.14=9.42\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）石子落在圆内的频率约为0.33；
（2）封闭图形ABC的面积约为$9.42\mathrm{m}^2$。
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算
【点评】
本题结合实际操作场景考查频率与概率的应用，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合几何概率的面积比例关系列式计算即可，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
（1）求解石子落在圆内的频率时，依据频率的稳定性规律：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为频率的估计值。观察试验数据可知，随着投掷次数增大，石子落在圆内的频率稳定在$\frac{1}{3}$附近，据此可求近似频率。
（2）求解封闭图形面积时，利用频率估计概率的结论：石子落在圆内的概率近似等于圆的面积与封闭图形总面积的比值，以此列出比例式，代入已知的圆半径即可计算出封闭图形的面积。
【解析】
（1）观察表格中的试验数据，随着投掷次数不断增加，石子落在圆内的频率逐渐稳定在$\frac{1}{3}$附近，因此石子落在圆内的频率为$\frac{1}{3}\approx0.33$。
（2）设封闭图形ABC的面积为$a\ \mathrm{m}^2$。
已知圆的半径为1m，可得圆的面积为$π r^2=π×1^2=π\ (\mathrm{m}^2)$。
根据频率估计概率的原理，圆面积与封闭图形面积的比值等于石子落在圆内的频率，列等式得：
$\frac{π}{a}=\frac{1}{3}$
解得$a=3π$，代入$π=3.14$计算得$a\approx3×3.14=9.42\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）石子落在圆内的频率约为0.33；
（2）封闭图形ABC的面积约为$9.42\mathrm{m}^2$。
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算
【点评】
本题结合实际操作场景考查频率与概率的应用，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合几何概率的面积比例关系列式计算即可，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
1. (济南中考)某学校食堂准备了A、B、C、D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，那么他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题可按以下思路推导：首先明确两人选择套餐的过程相互独立，先通过列举法（或分步计数思路）求出所有等可能的总结果数，再找出两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
小明从4种套餐中随机选1种，有4种等可能的选择，小亮同样从4种套餐中随机选1种，也有4种等可能的选择，因此两人选择套餐的总等可能结果数为 $4×4=16$ 种。
两人恰好选到同一种套餐的情况有：都选A、都选B、都选C、都选D，共4种结果。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率常考基础题型，解题关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数，计算时注意避免漏算或重复统计的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题可按以下思路推导：首先明确两人选择套餐的过程相互独立，先通过列举法（或分步计数思路）求出所有等可能的总结果数，再找出两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
小明从4种套餐中随机选1种，有4种等可能的选择，小亮同样从4种套餐中随机选1种，也有4种等可能的选择，因此两人选择套餐的总等可能结果数为 $4×4=16$ 种。
两人恰好选到同一种套餐的情况有：都选A、都选B、都选C、都选D，共4种结果。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率常考基础题型，解题关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数，计算时注意避免漏算或重复统计的情况。
【难度系数】
0.8
2.（河南中考）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外其他完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是
【 】
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
【 】
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率求解，解题思路可遵循以下步骤：首先回忆概率的核心计算规则：某事件发生的概率=该事件对应的等可能结果数÷所有等可能结果的总数；接下来用列举法罗列出从4张卡片中不放回抽取2张的全部等可能情况，统计总情况数；再找到其中恰好是“丽”和“山”的符合条件的情况数，代入公式即可算出最终概率，列举时注意不要重复计数也不要遗漏情况。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有BC这1种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列举法求概率；组合计数
【点评】
本题结合甲骨文传统文化考查概率基础计算，属于常规基础题型，解题的关键是准确列举所有等可能的抽取结果，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
本题考查简单随机事件的概率求解，解题思路可遵循以下步骤：首先回忆概率的核心计算规则：某事件发生的概率=该事件对应的等可能结果数÷所有等可能结果的总数；接下来用列举法罗列出从4张卡片中不放回抽取2张的全部等可能情况，统计总情况数；再找到其中恰好是“丽”和“山”的符合条件的情况数，代入公式即可算出最终概率，列举时注意不要重复计数也不要遗漏情况。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有BC这1种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列举法求概率；组合计数
【点评】
本题结合甲骨文传统文化考查概率基础计算，属于常规基础题型，解题的关键是准确列举所有等可能的抽取结果，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
3.（福建中考）在分别写有－1、1、2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要解这道概率题，需遵循“找总等可能情况数→找符合条件的情况数→代入概率公式计算”的思路。首先明确两个核心要点：一是不放回抽取两张卡片，所有抽取结果是等可能的；二是互为相反数的两个数仅符号不同，本题中只有-1和1满足互为相反数的要求。我们可以通过枚举法列出所有不放回抽取的结果，再统计符合要求的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
解：从写有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果为：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)，共3种。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果只有(-1,1)这1种。
根据概率公式$ P=\frac{\mathrm{事件包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}} $，可得所求概率为$ \frac{1}{3} $。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是准确列举出不放回抽取的所有等可能结果，同时正确掌握相反数的概念，避免因漏算、多算总情况数出现错误。
【难度系数】
0.75
要解这道概率题，需遵循“找总等可能情况数→找符合条件的情况数→代入概率公式计算”的思路。首先明确两个核心要点：一是不放回抽取两张卡片，所有抽取结果是等可能的；二是互为相反数的两个数仅符号不同，本题中只有-1和1满足互为相反数的要求。我们可以通过枚举法列出所有不放回抽取的结果，再统计符合要求的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
解：从写有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果为：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)，共3种。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果只有(-1,1)这1种。
根据概率公式$ P=\frac{\mathrm{事件包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}} $，可得所求概率为$ \frac{1}{3} $。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是准确列举出不放回抽取的所有等可能结果，同时正确掌握相反数的概念，避免因漏算、多算总情况数出现错误。
【难度系数】
0.75
