【例1】如图，有一张长6 cm、宽5 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余部分可制成底面积为6 cm²的有盖长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.

解:设剪去的正方形的边长为x cm,则底面的长为(5−2x)cm,宽为(3−x)cm.
根据题意,得(5−2x)(3−x)=6,
整理,得2x²−11x+9=0,
解得x₁=1,x₂=9/2.
当x=1时,5−2x=3,3−x=2,符合题意;
当x=9/2时,5−2x=−4＜0,不符合题意,舍去.
答:剪去的正方形的边长为1 cm.

【分析】
这是一道结合几何制作场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设剪去的正方形边长为x cm，再结合原矩形的长宽推导长方体底面的长宽表达式：原矩形宽为5cm，上下各剪去边长为x的正方形，因此底面长为(5-2x)cm；原矩形长为6cm，减去左右两个边长x的部分后剩余长度平均分为两份，即底面宽为(3-x)cm；接着根据底面积为6cm²的等量关系列方程，最后解方程后结合边长为正的实际意义对根进行取舍，得到最终结果。
【解析】
解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成的长方体铁盒底面的长为$(5-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(3-x)\mathrm{cm}$。
根据题意，得：
$(5-2x)(3-x)=6$
整理，得：
$2x^2-11x+9=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=\frac{9}{2}$
检验：当$x=1$时，$5-2x=3＞0$，$3-x=2＞0$，符合实际意义；
当$x=\frac{9}{2}$时，$5-2x=-4＜0$，边长不能为负，不符合题意，舍去。
【答案】
剪去的正方形的边长为1 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的几何类方程应用题，解题的关键是准确用未知数表示出目标图形的边长，同时要注意解出方程后必须结合实际场景对根进行检验，排除不符合实际的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

【变式1】(2026南阳月考)一块矩形菜地的面积是150 m²，如果它的长减少5 m，那么它就成为正方形菜地.求这个矩形菜地的长和宽.
设原菜地的宽为x m，则可列方程为（）

A.$x(x+5)=150$
B.$x(x-5)=150$
C.$x+5=150$
D.$x-5=150$

A

【分析】
解题时首先要根据“长减少5m就成为正方形”推导矩形长和宽的关系：正方形各边长相等，说明原矩形的长比宽多5m。设宽为x m，即可表示出长的长度，再结合矩形面积=长×宽的公式，就能列出对应方程。
【解析】
设原菜地的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 长减少5 m后菜地变为正方形，正方形的边长相等，
∴ 原矩形菜地的长比宽多5 m，即长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
又
∵ 矩形面积 = 长×宽，且已知菜地面积为$ 150 \, \mathrm{m}^2 $，
∴ 代入得方程：$ x(x+5)=150 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式，正方形的性质
【点评】
本题是几何图形面积类的基础应用题，解题核心是抓住图形变化前后的边长关系，结合面积公式提取等量关系列方程，侧重考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8

【变式2】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2 m宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x m，矩形的长为AB（且AB＞AD）。
(1)若所用铁栅栏的长为40 m，用含x的代数式表示矩形的长AB；
(2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192 m²，则AD，AB的长应分别为多少米？

解:(1)
∵AD+BC−2+AB−2=40,AD=BC=x,
∴AB=−2x+44.
(2)根据题意,得(−2x+44)·x=192,
解得x₁=6,x₂=16,又AB＞AD,得−2x+44＞x,即x＜44/3.
∵x₂=16＞44/3(舍去),
∴AD=6,
∴AB=−2×6+44=32.
答:AD的长为6 m,AB的长为32 m.

【分析】
(1) 首先明确铁栅栏的构成：矩形靠墙面为CD，无需铁栅栏，需铁栅栏的边为AD、BC、AB，其中AB和BC各有2m宽小门无需铁栅栏，因此总铁栅栏长度满足等量关系：$AD + (BC - 2) + (AB - 2) = 40$。已知$AD=BC=x$，代入等量关系整理即可得到AB的代数式。
(2) 矩形面积公式为长×宽，将$AD=x$、(1)中得到的AB的代数式代入面积为$192\ \mathrm{m}^2$的条件，即可列出一元二次方程求解。解得根后需结合题设$AB＞AD$的限制条件，舍去不符合要求的根，最终得到AD、AB的长度。
【解析】
(1) 由题意，铁栅栏总长度满足：$AD + BC - 2 + AB - 2 = 40$，
∵ 矩形ABCD中$AD=BC=x$，
代入得：$x + x - 2 + AB - 2 = 40$，
整理得：$AB = -2x + 44$。
(2) 根据矩形面积公式，得：$AB· AD = 192$，
将$AB=-2x+44$，$AD=x$代入得：
$(-2x + 44)x = 192$，
整理得：$x^2 - 22x + 96 = 0$，
因式分解得$(x - 6)(x - 16) = 0$，
解得$x_1=6$，$x_2=16$。
又
∵ $AB＞AD$，即$-2x + 44 ＞ x$，
解得$x ＜ \frac{44}{3}\approx14.67$，
∴ $x_2=16 ＞ \frac{44}{3}$，不符合题意，舍去，
∴ $AD=6\ \mathrm{m}$，
代入$AB=-2x+44$得：$AB=-2×6 + 44 = 32\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB=-2x+44$；
(2) AD的长为6 m，AB的长为32 m。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类问题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，正确列代数式和方程，同时要注意结合题设限制条件或实际意义对解进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

【例2】如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=6\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.点$Q$到达点$C$后,点$P,Q$停止运动.设$P,Q$两点分别从点$A,B$同时出发,经过多少秒后,$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$?
易错提醒 在实际问题中,由一元二次方程求得的两个根可能只有一个是符合题意的,因此要注意检验所得到的根是否符合实际意义.

解:设x s后,△PBQ的面积是10 cm²,
根据题意,得4x(6−x)×1/2=10,其中0≤x≤2.5,
解得x₁=1,x₂=5(不合题意,舍去).
答:经过1 s后,△PBQ的面积是10 cm².

【分析】
这是动点结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先确定运动时间的取值范围：点Q从B到C的总路程为10cm，速度为4cm/s，所以最长运动时间为10÷4=2.5s，即运动时间x的范围是0≤x≤2.5。第二步用含x的代数式表示△PBQ的直角边长度：点P速度为1cm/s，x秒移动x cm，因此PB=AB-AP=(6-x)cm；点Qx秒移动4x cm，因此BQ=4x cm。第三步结合直角三角形面积公式列方程：△PBQ为直角三角形，∠B为直角，面积为$\frac{1}{2}×PB×BQ$，根据面积等于10cm²列方程即可。第四步求解方程后，要检验根是否在时间取值范围内，舍去不符合实际意义的根，得到最终结果。
【解析】
解：设经过x s后，△PBQ的面积是10 cm²。
∵点Q从B到C的运动时间为$10÷4=2.5\ \mathrm{s}$，
∴x的取值范围为$0≤x≤2.5$。
根据直角三角形面积公式，得：
$\frac{1}{2} × PB × BQ = 10$
代入$PB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{1}{2} × 4x × (6-x) = 10$
整理得：$x^2 -6x +5=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=5$。
∵$x_2=5＞2.5$，不符合运动时间的取值范围，故舍去。
∴$x=1$。
【答案】
经过1 s后，△PBQ的面积是10 cm²。
【知识点】
一元二次方程的应用；动点面积问题；根的实际检验
【点评】
本题属于典型的几何动点与方程结合的应用题，解题核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，结合面积公式建立方程求解，需特别注意结合动点的运动边界对所求的根进行检验，避免出现不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.7