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【变式1】《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙两人从出发到相遇用了$x$个单位时间，则根据题意可列方程为 （
A.$(3x)^2=(7x)^2 -10^2$
B.$(3x)^2 + (7x)^2=10^2$
C.$(3x)^2=(7x -10)^2$
D.$(3x)^2 +10^2=(7x -10)^2$
D
）A.$(3x)^2=(7x)^2 -10^2$
B.$(3x)^2 + (7x)^2=10^2$
C.$(3x)^2=(7x -10)^2$
D.$(3x)^2 +10^2=(7x -10)^2$
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合“路程=速度×时间”的行程基本关系，再对应图形找到直角三角形的三条边分别对应的路程：①乙一直向东走，路程为速度乘时间即$3x$，对应直角三角形的水平直角边；②甲总路程为$7x$，先走了10步向南，因此斜向的斜边长度为总路程减去10，即$7x-10$；③竖直方向的直角边长度就是甲先向南走的10步。最后利用直角三角形勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方）列方程即可。
【解析】
设两人从出发到相遇用时$x$个单位时间：
1. 乙向东匀速行走，速度为3步/单位时间，因此乙走的总路程为$3x$，即$Rt△ ABC$的水平直角边$AC=3x$；
2. 甲的总路程为速度乘时间，即$7x$，甲先向南走了10步（对应$Rt△ ABC$的竖直直角边$AB=10$），剩余斜向行走的路程为斜边$BC=7x-10$；
3. 在$Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入对应边长可得：$10^2+(3x)^2=(7x-10)^2$，与选项D的等式一致。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；行程问题；列方程
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的实际应用题，解题核心是将各段路程对应到直角三角形的边长上，再利用勾股定理建立等量关系，解题时需注意区分斜边和直角边对应的路程，避免混淆关系列错等式。
【难度系数】
0.7
解题时先结合“路程=速度×时间”的行程基本关系，再对应图形找到直角三角形的三条边分别对应的路程：①乙一直向东走，路程为速度乘时间即$3x$，对应直角三角形的水平直角边；②甲总路程为$7x$，先走了10步向南，因此斜向的斜边长度为总路程减去10，即$7x-10$；③竖直方向的直角边长度就是甲先向南走的10步。最后利用直角三角形勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方）列方程即可。
【解析】
设两人从出发到相遇用时$x$个单位时间：
1. 乙向东匀速行走，速度为3步/单位时间，因此乙走的总路程为$3x$，即$Rt△ ABC$的水平直角边$AC=3x$；
2. 甲的总路程为速度乘时间，即$7x$，甲先向南走了10步（对应$Rt△ ABC$的竖直直角边$AB=10$），剩余斜向行走的路程为斜边$BC=7x-10$；
3. 在$Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入对应边长可得：$10^2+(3x)^2=(7x-10)^2$，与选项D的等式一致。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；行程问题；列方程
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的实际应用题，解题核心是将各段路程对应到直角三角形的边长上，再利用勾股定理建立等量关系，解题时需注意区分斜边和直角边对应的路程，避免混淆关系列错等式。
【难度系数】
0.7
【变式2】(2025安庆期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.点P,Q同时出发,当P,Q两点中有一个点运动到终点时,两点均停止运动.则几秒后,可使△PCQ的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{12}$?
答案
解:
∵四边形ABCD是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴CD=AB=6 cm,∠C=90°.
∵S△PCQ=1/12 S矩形ABCD,
∴1/2 PC×CQ=1/12 CD×BC.
设P,Q运动时间为t s,
由题意知,BP=2t cm,CQ=t cm,其中0≤t≤4,
∴CP=(8−2t)cm,
∴1/2 t(8−2t)=1/12×6×8,
解得t₁=t₂=2.
答:2 s后,可使△PCQ的面积为矩形ABCD面积的1/12.
∵四边形ABCD是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴CD=AB=6 cm,∠C=90°.
∵S△PCQ=1/12 S矩形ABCD,
∴1/2 PC×CQ=1/12 CD×BC.
设P,Q运动时间为t s,
由题意知,BP=2t cm,CQ=t cm,其中0≤t≤4,
∴CP=(8−2t)cm,
∴1/2 t(8−2t)=1/12×6×8,
解得t₁=t₂=2.
答:2 s后,可使△PCQ的面积为矩形ABCD面积的1/12.
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质得到相关边长和直角条件，明确△PCQ是直角三角形，可直接用直角边计算面积；其次设运动时间为t，根据两个点的运动速度，用含t的代数式分别表示出线段PC、CQ的长度，同时确定t的取值范围（P点4秒即可到达终点，因此t最大为4）；最后根据△PCQ的面积与矩形面积的数量关系列方程，解方程后验证解是否符合t的取值范围，即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴CD=AB=6 cm，∠C=90°，矩形ABCD的面积为$6×8=48\ \mathrm{cm}^2$。
设P、Q的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
由题意得：$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，其中$0≤ t≤4$（P先到达终点，运动最长时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$），
∴$PC=BC-BP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$。
∵$S_{△ PCQ}=\frac{1}{12}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$，
∴$\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{12}×48$，
代入得$\frac{1}{2}t(8-2t)=4$，
整理得$t^2-4t+4=0$，
解得$t_1=t_2=2$，符合$0≤ t≤4$的取值范围。
【答案】
$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$
【知识点】
矩形的性质；动点面积问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点结合方程的典型习题，解题关键是将动态的线段长度转化为含参数的代数式，结合面积等量关系建立方程，同时要注意结合动点的运动范围对所求的解进行实际意义的验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形的性质得到相关边长和直角条件，明确△PCQ是直角三角形，可直接用直角边计算面积；其次设运动时间为t，根据两个点的运动速度，用含t的代数式分别表示出线段PC、CQ的长度，同时确定t的取值范围（P点4秒即可到达终点，因此t最大为4）；最后根据△PCQ的面积与矩形面积的数量关系列方程，解方程后验证解是否符合t的取值范围，即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴CD=AB=6 cm，∠C=90°，矩形ABCD的面积为$6×8=48\ \mathrm{cm}^2$。
设P、Q的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
由题意得：$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，其中$0≤ t≤4$（P先到达终点，运动最长时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$），
∴$PC=BC-BP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$。
∵$S_{△ PCQ}=\frac{1}{12}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$，
∴$\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{12}×48$，
代入得$\frac{1}{2}t(8-2t)=4$，
整理得$t^2-4t+4=0$，
解得$t_1=t_2=2$，符合$0≤ t≤4$的取值范围。
【答案】
$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$
【知识点】
矩形的性质；动点面积问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点结合方程的典型习题，解题关键是将动态的线段长度转化为含参数的代数式，结合面积等量关系建立方程，同时要注意结合动点的运动范围对所求的解进行实际意义的验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
1.在一幅长 60 cm、宽 40 cm 的矩形风景画(图中阴影小矩形)的四周镶上等宽的白色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图(图中虚线边框矩形)的面积是 2 709 cm².设白色纸边的宽度为 x cm,那么 x 满足的方程是 (
A.$(60+2x)(40+x)=2\,709$
B.$(60+2x)(40+2x)=2\,709$
C.$(60+x)(40+2x)=2\,709$
D.$(60+x)(40+x)=2\,709$
B
)A.$(60+2x)(40+x)=2\,709$
B.$(60+2x)(40+2x)=2\,709$
C.$(60+x)(40+2x)=2\,709$
D.$(60+x)(40+x)=2\,709$
答案
1. B
解析
【分析】
要列出满足题意的方程，首先需要确定镶边后整个挂图的长和宽。已知白色纸边宽度为x cm，且在风景画四周都镶等宽纸边，因此风景画的长方向左右各有x cm的纸边，总共增加2x cm；宽方向上下各有x cm的纸边，总共也增加2x cm。再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的挂图总面积，即可得到对应的方程。
【解析】
解：
∵白色纸边的宽度为x cm，且在风景画四周镶等宽的纸边
∴整个挂图的长 = 原风景画的长 + 左右两侧纸边总宽度 = $60+2x$（cm）
整个挂图的宽 = 原风景画的宽 + 上下两侧纸边总宽度 = $40+2x$（cm）
根据矩形面积公式，结合整个挂图的面积为2709 cm²，可列方程：
$(60+2x)(40+2x)=2709$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积类应用题，解题关键是准确表示出镶边后大矩形的长和宽，注意纸边在原图形四周均有分布，因此长和宽都需要加上2倍的纸边宽度，避免出现仅加单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.8
要列出满足题意的方程，首先需要确定镶边后整个挂图的长和宽。已知白色纸边宽度为x cm，且在风景画四周都镶等宽纸边，因此风景画的长方向左右各有x cm的纸边，总共增加2x cm；宽方向上下各有x cm的纸边，总共也增加2x cm。再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的挂图总面积，即可得到对应的方程。
【解析】
解：
∵白色纸边的宽度为x cm，且在风景画四周镶等宽的纸边
∴整个挂图的长 = 原风景画的长 + 左右两侧纸边总宽度 = $60+2x$（cm）
整个挂图的宽 = 原风景画的宽 + 上下两侧纸边总宽度 = $40+2x$（cm）
根据矩形面积公式，结合整个挂图的面积为2709 cm²，可列方程：
$(60+2x)(40+2x)=2709$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积类应用题，解题关键是准确表示出镶边后大矩形的长和宽，注意纸边在原图形四周均有分布，因此长和宽都需要加上2倍的纸边宽度，避免出现仅加单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.8
2.用6 m长的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框(窗框自身宽忽略不计).若窗框的面积为1.5 m²,则窗框的长AB为 
（
A.1 m
B.1.5 m
C.1.6 m
D.1.8 m
（B
）A.1 m
B.1.5 m
C.1.6 m
D.1.8 m
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察窗框结构，可知铝合金总长度对应2条竖直边AB的长度加3条水平边的长度。我们可以设AB的长度为x m，先用含x的代数式表示出水平边的长度，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长度为x m。
由铝合金总长度为6m，可得3条水平边的总长度为$(6-2x)$ m，因此每条水平边的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据窗框面积为1.5 m²，列方程：
$x · \frac{6-2x}{3} = 1.5$
方程两边同乘3得：$x(6-2x)=4.5$
整理得：$4x^2-12x+9=0$
因式分解得$(2x-3)^2=0$，解得$x=1.5$
经检验，$x=1.5$符合实际几何意义，故AB的长度为1.5m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题的核心是准确识别窗框的边数，正确用未知数表示各边长度，结合面积公式列方程求解，注意求出的解要符合实际边长的取值要求。
【难度系数】
0.7
首先观察窗框结构，可知铝合金总长度对应2条竖直边AB的长度加3条水平边的长度。我们可以设AB的长度为x m，先用含x的代数式表示出水平边的长度，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长度为x m。
由铝合金总长度为6m，可得3条水平边的总长度为$(6-2x)$ m，因此每条水平边的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据窗框面积为1.5 m²，列方程：
$x · \frac{6-2x}{3} = 1.5$
方程两边同乘3得：$x(6-2x)=4.5$
整理得：$4x^2-12x+9=0$
因式分解得$(2x-3)^2=0$，解得$x=1.5$
经检验，$x=1.5$符合实际几何意义，故AB的长度为1.5m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题的核心是准确识别窗框的边数，正确用未知数表示各边长度，结合面积公式列方程求解，注意求出的解要符合实际边长的取值要求。
【难度系数】
0.7
3. 如图，一块矩形绿地长 90 m、宽 60 m. 在绿地中开辟两条道路，两条道路的宽分别为 a m，b m，使得 $a:b=2:3$，开辟道路后剩余的绿地面积为 $5046\ \mathrm{m}^2$，则 $b$ 的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. C
解析
【分析】
解题时可以采用平移法简化计算：将四块绿地向中间平移，可拼接成一个新的矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去斜向道路的水平宽度b，宽等于原矩形的宽减去水平道路的竖直宽度a，因此剩余绿地面积就是新矩形的面积。再结合已知的a与b的比例关系$a:b=2:3$，将a用含b的代数式表示，代入面积公式列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到b的值。
【解析】
解：将剩余的四块绿地平移拼接后，可得新矩形的长为$(90 - b)\ \mathrm{m}$，宽为$(60 - a)\ \mathrm{m}$。
根据剩余绿地面积为$5046\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$(90 - b)(60 - a) = 5046$
已知$a:b=2:3$，因此$a=\frac{2}{3}b$，代入上式得：
$(90 - b)(60 - \frac{2}{3}b) = 5046$
展开并整理方程：
$5400 - 60b - 60b + \frac{2}{3}b^2 = 5046$
$\frac{2}{3}b^2 - 120b + 354 = 0$
两边同乘3再除以2得：
$b^2 - 180b + 531 = 0$
用求根公式解得：$b_1=3$，$b_2=177$（$b_2=177$大于原矩形的长和宽，不符合实际，舍去）。
因此$b=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；比例的性质
【点评】
本题考查几何图形面积与方程的结合应用，利用平移法将不规则的剩余绿地转化为规则矩形是解题的关键，计算时要注意舍去不符合实际场景的根，避免错解。
【难度系数】
0.7
解题时可以采用平移法简化计算：将四块绿地向中间平移，可拼接成一个新的矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去斜向道路的水平宽度b，宽等于原矩形的宽减去水平道路的竖直宽度a，因此剩余绿地面积就是新矩形的面积。再结合已知的a与b的比例关系$a:b=2:3$，将a用含b的代数式表示，代入面积公式列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到b的值。
【解析】
解：将剩余的四块绿地平移拼接后，可得新矩形的长为$(90 - b)\ \mathrm{m}$，宽为$(60 - a)\ \mathrm{m}$。
根据剩余绿地面积为$5046\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$(90 - b)(60 - a) = 5046$
已知$a:b=2:3$，因此$a=\frac{2}{3}b$，代入上式得：
$(90 - b)(60 - \frac{2}{3}b) = 5046$
展开并整理方程：
$5400 - 60b - 60b + \frac{2}{3}b^2 = 5046$
$\frac{2}{3}b^2 - 120b + 354 = 0$
两边同乘3再除以2得：
$b^2 - 180b + 531 = 0$
用求根公式解得：$b_1=3$，$b_2=177$（$b_2=177$大于原矩形的长和宽，不符合实际，舍去）。
因此$b=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；比例的性质
【点评】
本题考查几何图形面积与方程的结合应用，利用平移法将不规则的剩余绿地转化为规则矩形是解题的关键，计算时要注意舍去不符合实际场景的根，避免错解。
【难度系数】
0.7
4.在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图
所示. 在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80 mm和60 mm，圆的半径为x mm，根据题意列方程为
所示. 在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80 mm和60 mm，圆的半径为x mm，根据题意列方程为$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
.答案
4. $2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系：两个圆的面积和 = 剩余面积的$\frac{1}{2}$。接下来分别计算对应量：先根据圆的面积公式求出两个圆的总面积，再计算矩形的面积，用矩形面积减去两个圆的面积得到剩余面积，最后把对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 计算两个圆的面积和：已知圆的半径为$x$ mm，单个圆的面积为$π x^2$ mm²，因此两个圆的面积和为$2π x^2$ mm²。
2. 计算矩形的面积：矩形长为80 mm，宽为60 mm，面积为$80 × 60$ mm²。
3. 计算剩余面积：剩余面积 = 矩形面积 - 两个圆的面积和，即$(80 × 60 - 2π x^2)$ mm²。
4. 根据题意“两圆的面积和是剩余面积的一半”，代入等量关系即可列出方程。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
【知识点】
列一元二次方程，几何面积计算，等量关系梳理
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心考查从题干中提取等量关系的能力，解题时要注意准确区分各部分面积的对应关系，避免把两个量的倍数关系搞反。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目中的等量关系：两个圆的面积和 = 剩余面积的$\frac{1}{2}$。接下来分别计算对应量：先根据圆的面积公式求出两个圆的总面积，再计算矩形的面积，用矩形面积减去两个圆的面积得到剩余面积，最后把对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 计算两个圆的面积和：已知圆的半径为$x$ mm，单个圆的面积为$π x^2$ mm²，因此两个圆的面积和为$2π x^2$ mm²。
2. 计算矩形的面积：矩形长为80 mm，宽为60 mm，面积为$80 × 60$ mm²。
3. 计算剩余面积：剩余面积 = 矩形面积 - 两个圆的面积和，即$(80 × 60 - 2π x^2)$ mm²。
4. 根据题意“两圆的面积和是剩余面积的一半”，代入等量关系即可列出方程。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
【知识点】
列一元二次方程，几何面积计算，等量关系梳理
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心考查从题干中提取等量关系的能力，解题时要注意准确区分各部分面积的对应关系，避免把两个量的倍数关系搞反。
【难度系数】
0.7
