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5. (2025厦门月考)某单位组织员工前往大剧院欣赏表演.表演前,主办方工作人员准备利用26 m长的墙为一边,用48 m隔栏绳围另外三边,设立一个面积为300 m²的矩形等候区.如图,为了方便群众进出,在两边空出两个各为1 m的出入口(出入口不用隔栏绳).那么围成的这个矩形的边AB,BC的长是多少米?
答案
解:设矩形等候区的边AB为x m,则BC=(48−2x+2)m,
根据题意,得x(48−2x+2)=300,
解得x₁=10,x₂=15,
当x=10时,BC=30＞26,不符合题意,舍去;
当x=15时,BC=20＜26,符合题意.
答:矩形等候区的边AB为15 m,BC为20 m.
根据题意,得x(48−2x+2)=300,
解得x₁=10,x₂=15,
当x=10时,BC=30＞26,不符合题意,舍去;
当x=15时,BC=20＜26,符合题意.
答:矩形等候区的边AB为15 m,BC为20 m.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，选择垂直于墙的边AB的长度设为x m，便于表示平行于墙的边BC的长度；第二步，结合隔栏绳总长、出入口宽度推导BC的表达式：两个垂直于墙的边各有1m宽的出入口，因此每侧垂直边实际使用的隔栏绳长度为(x-1)m，两侧共使用2(x-1)m，剩余隔栏绳全部用于围BC边，因此BC=48-2(x-1)=50-2x；第三步，根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程；第四步，解方程后，结合“墙长26m，因此BC长度不能超过26m”的隐含限制条件，对求得的解进行取舍，排除不符合实际的解，得到最终结果。
【解析】
解：设矩形等候区的边AB长为x m，则边BC的长为(48 - 2x + 2)m即(50-2x)m。
根据矩形面积为300 m²，列方程得：
$x(50-2x)=300$
整理为标准形式：$x^2 -25x +150=0$
因式分解得：$(x-10)(x-15)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=15$。
对解进行检验：
当$x=10$时，$BC=50-2×10=30\ \mathrm{m}$，$30＞26$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=50-2×15=20\ \mathrm{m}$，$20＜26$，符合题意。
【答案】
围成的矩形的边AB长为15 m，BC长为20 m。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积公式
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的易错点有两个：一是容易忽略出入口的宽度，错误表示平行于墙的边的长度；二是容易遗漏墙长的限制条件，未对解得的结果进行取舍，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，选择垂直于墙的边AB的长度设为x m，便于表示平行于墙的边BC的长度；第二步，结合隔栏绳总长、出入口宽度推导BC的表达式：两个垂直于墙的边各有1m宽的出入口，因此每侧垂直边实际使用的隔栏绳长度为(x-1)m，两侧共使用2(x-1)m，剩余隔栏绳全部用于围BC边，因此BC=48-2(x-1)=50-2x；第三步，根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程；第四步，解方程后，结合“墙长26m，因此BC长度不能超过26m”的隐含限制条件，对求得的解进行取舍，排除不符合实际的解，得到最终结果。
【解析】
解：设矩形等候区的边AB长为x m，则边BC的长为(48 - 2x + 2)m即(50-2x)m。
根据矩形面积为300 m²，列方程得：
$x(50-2x)=300$
整理为标准形式：$x^2 -25x +150=0$
因式分解得：$(x-10)(x-15)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=15$。
对解进行检验：
当$x=10$时，$BC=50-2×10=30\ \mathrm{m}$，$30＞26$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=50-2×15=20\ \mathrm{m}$，$20＜26$，符合题意。
【答案】
围成的矩形的边AB长为15 m，BC长为20 m。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积公式
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的易错点有两个：一是容易忽略出入口的宽度，错误表示平行于墙的边的长度；二是容易遗漏墙长的限制条件，未对解得的结果进行取舍，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
6. (2025 南京期中)如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ B=90°,AB=4\ \mathrm{cm},BC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 移动,到达点 $B$ 时停止移动,点 $P$ 出发几秒后,$PA=\sqrt{3}PC$?
答案
解:设点P移动时间为t s,根据题意,得PA=t cm,PB=(4−t)cm,
在Rt△PBC中,∠B=90°,BC=√2 cm,
根据勾股定理,得PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18.
∵PA=√3 PC,即PA²=3PC²,
∴t²=3(t²−8t+18),
解得t₁=3,t₂=9.
∵0≤t≤4,
∴t=3.
即点P出发3 s后,PA=√3 PC.
在Rt△PBC中,∠B=90°,BC=√2 cm,
根据勾股定理,得PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18.
∵PA=√3 PC,即PA²=3PC²,
∴t²=3(t²−8t+18),
解得t₁=3,t₂=9.
∵0≤t≤4,
∴t=3.
即点P出发3 s后,PA=√3 PC.
解析
【分析】
这是一道动点结合几何等量关系的应用题，解题思路如下：第一步，设点P的运动时间为t秒，先根据运动速度和路径，用含t的代数式表示出PA、PB的长度；第二步，观察到△PBC是直角三角形，可利用勾股定理用含t的代数式表示出PC²；第三步，根据题目给出的PA=√3 PC的等量关系，两边平方后得到PA²=3PC²，代入对应的含t的表达式即可得到关于t的一元二次方程；第四步，解方程后结合点P的运动范围（0≤t≤4）对根进行取舍，得到符合题意的解。
【解析】
设点P移动时间为t s，根据题意，得PA=t cm，PB=(4−t)cm，
在Rt△PBC中，∠B=90°，BC=√2 cm，
根据勾股定理，得PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18。
∵PA=√3 PC，等式两边平方可得PA²=3PC²，
∴t²=3(t²−8t+18)，
整理得2t²-24t+54=0，即t²-12t+27=0，
因式分解得(t-3)(t-9)=0，
解得t₁=3，t₂=9。
∵点P从A到B的总运动时间为4÷1=4s，即0≤t≤4，
∴t=9不符合题意，舍去，故t=3。
【答案】
3 s
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；动点问题求解
【点评】
本题是典型的几何动点类应用题，解题核心是将动点的运动时间转化为线段的长度表达式，结合几何定理建立方程求解，需要注意的是解完方程后要结合动点的实际运动范围对解进行取舍，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
这是一道动点结合几何等量关系的应用题，解题思路如下：第一步，设点P的运动时间为t秒，先根据运动速度和路径，用含t的代数式表示出PA、PB的长度；第二步，观察到△PBC是直角三角形，可利用勾股定理用含t的代数式表示出PC²；第三步，根据题目给出的PA=√3 PC的等量关系，两边平方后得到PA²=3PC²，代入对应的含t的表达式即可得到关于t的一元二次方程；第四步，解方程后结合点P的运动范围（0≤t≤4）对根进行取舍，得到符合题意的解。
【解析】
设点P移动时间为t s，根据题意，得PA=t cm，PB=(4−t)cm，
在Rt△PBC中，∠B=90°，BC=√2 cm，
根据勾股定理，得PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18。
∵PA=√3 PC，等式两边平方可得PA²=3PC²，
∴t²=3(t²−8t+18)，
整理得2t²-24t+54=0，即t²-12t+27=0，
因式分解得(t-3)(t-9)=0，
解得t₁=3，t₂=9。
∵点P从A到B的总运动时间为4÷1=4s，即0≤t≤4，
∴t=9不符合题意，舍去，故t=3。
【答案】
3 s
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；动点问题求解
【点评】
本题是典型的几何动点类应用题，解题核心是将动点的运动时间转化为线段的长度表达式，结合几何定理建立方程求解，需要注意的是解完方程后要结合动点的实际运动范围对解进行取舍，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
7. (2025金华期末)用一张长为40 cm，宽为25 cm的矩形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒.
(1)如图①，裁去角上四个小正方形之后，折成如图②的无盖纸盒.若纸盒底面积为450 cm²，则纸盒的高是多少？
(2)如图③，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个矩形后，将剩下的纸片(空白部分)折成一个有盖的纸盒.若折成纸盒的表面积为912 cm²，则裁去的正方形的边长是多少？
(1)如图①，裁去角上四个小正方形之后，折成如图②的无盖纸盒.若纸盒底面积为450 cm²，则纸盒的高是多少？
(2)如图③，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个矩形后，将剩下的纸片(空白部分)折成一个有盖的纸盒.若折成纸盒的表面积为912 cm²，则裁去的正方形的边长是多少？
答案
解:(1)设纸盒的高为x cm,则纸盒的底面是长为(40−2x)cm,宽为(25−2x)cm的矩形,
根据题意,得(40−2x)(25−2x)=450,
解得x₁=5,x₂=27.5(不合题意,舍去).
答:纸盒的高为5 cm.
(2)设裁去的正方形的边长为y cm,
根据题意,得40×25−2y²−2×20y=912,
解得y₁=2,y₂=−22(不合题意,舍去).
答:裁去的正方形的边长为2 cm.
根据题意,得(40−2x)(25−2x)=450,
解得x₁=5,x₂=27.5(不合题意,舍去).
答:纸盒的高为5 cm.
(2)设裁去的正方形的边长为y cm,
根据题意,得40×25−2y²−2×20y=912,
解得y₁=2,y₂=−22(不合题意,舍去).
答:裁去的正方形的边长为2 cm.
解析
【分析】
(1) 解第一问时，首先明确裁去的小正方形边长就是无盖纸盒的高，设高为x cm，折叠后纸盒底面的长为原长减去2倍的高，宽为原宽减去2倍的高，再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，最后结合边长的实际意义筛选合理的解即可。
(2) 解第二问时，设裁去的正方形边长为y cm，折成有盖纸盒的表面积等于原矩形总面积减去裁去的2个正方形和2个矩形的面积，据此列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 设纸盒的高为$ x \, \mathrm{cm} $，则折成无盖纸盒后，底面矩形的长为$ (40-2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (25-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ (40-2x)(25-2x)=450 $
整理得$ 2x^2-65x+275=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=27.5 $
当$ x=27.5 $时，$ 2x=55＞25 $，不符合实际情况，故舍去。
(2) 设裁去的正方形的边长为$ y \, \mathrm{cm} $。
原矩形硬纸片的面积为$ 40×25=1000 \, \mathrm{cm}^2 $，裁去的阴影部分总面积为$ 2y^2+2×20y \, \mathrm{cm}^2 $，根据纸盒表面积为$ 912 \, \mathrm{cm}^2 $列方程：
$ 40×25 - 2y^2 - 2×20y=912 $
整理得$ y^2+20y-44=0 $
解得$ y_1=2 $，$ y_2=-22 $
边长不能为负，故$ y=-22 $舍去。
【答案】
(1) 纸盒的高是5 cm；
(2) 裁去的正方形的边长是2 cm。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸盒折叠场景考查方程的应用，核心是找准折叠前后图形的边长对应关系，根据面积等量关系列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 解第一问时，首先明确裁去的小正方形边长就是无盖纸盒的高，设高为x cm，折叠后纸盒底面的长为原长减去2倍的高，宽为原宽减去2倍的高，再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，最后结合边长的实际意义筛选合理的解即可。
(2) 解第二问时，设裁去的正方形边长为y cm，折成有盖纸盒的表面积等于原矩形总面积减去裁去的2个正方形和2个矩形的面积，据此列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 设纸盒的高为$ x \, \mathrm{cm} $，则折成无盖纸盒后，底面矩形的长为$ (40-2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (25-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ (40-2x)(25-2x)=450 $
整理得$ 2x^2-65x+275=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=27.5 $
当$ x=27.5 $时，$ 2x=55＞25 $，不符合实际情况，故舍去。
(2) 设裁去的正方形的边长为$ y \, \mathrm{cm} $。
原矩形硬纸片的面积为$ 40×25=1000 \, \mathrm{cm}^2 $，裁去的阴影部分总面积为$ 2y^2+2×20y \, \mathrm{cm}^2 $，根据纸盒表面积为$ 912 \, \mathrm{cm}^2 $列方程：
$ 40×25 - 2y^2 - 2×20y=912 $
整理得$ y^2+20y-44=0 $
解得$ y_1=2 $，$ y_2=-22 $
边长不能为负，故$ y=-22 $舍去。
【答案】
(1) 纸盒的高是5 cm；
(2) 裁去的正方形的边长是2 cm。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸盒折叠场景考查方程的应用，核心是找准折叠前后图形的边长对应关系，根据面积等量关系列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
