3. (2025杭州期末)如图，点P是锐角∠BAC的边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AC于点Q。若$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，则$\tan A=$（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. B

【分析】
这道题考查锐角三角函数中正切的定义，解题思路如下：第一步，先根据PQ⊥AC判断出△AQP是直角三角形，确定∠A所在的直角三角形；第二步，回忆正切的定义：直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，明确∠A的对边是PQ，邻边是AQ；第三步，结合已知的$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，换算得到$\frac{PQ}{AQ}$的值，即可求出tanA的结果。
【解析】
解：
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=90°，即△AQP为直角三角形。
在Rt△AQP中，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{PQ}{AQ}$，
已知$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，则$\frac{PQ}{AQ}=2$，
因此$\tan A=2$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题的核心是准确区分直角三角形中锐角对应的对边和邻边，避免因对边、邻边混淆导致比值计算错误。
【难度系数】
0.8

4. (2025贵阳月考)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\mathrm{Rt}△ ABC$的边长都扩大为原来的2倍，则$\tan A$的值（）

A.不变
B.变大
C.变小
D.无法判断

4. A

【分析】
首先明确锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。解题时可以通过两种思路推导：一是直接计算边长扩大后∠A的对边和邻边的比值，和原比值对比；二是利用相似三角形的性质，边长等比例扩大后新三角形和原三角形相似，∠A的大小不变，而三角函数值仅由角的大小决定，即可判断tanA的变化。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{∠A\mathrm{的对边}}{∠A\mathrm{的邻边}}=\frac{BC}{AC}$
当$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边长都扩大为原来的2倍时，∠A的对边变为$2BC$，邻边变为$2AC$，此时：
$\tan A=\frac{2BC}{2AC}=\frac{BC}{AC}$
可见扩大前后$\tan A$的比值不变，因此$\tan A$的值不变。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义
2. 相似三角形的性质
3. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心要理解锐角三角函数的本质是比值，仅对应角的大小，和所在直角三角形的边长无关，不要被边长变化的条件误导。
【难度系数】
0.8

5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$. 如果$\dfrac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，那么$∠ B=$.

5. $60°$

【分析】
本题是直角三角形中已知边长比求锐角度数的问题，解题思路如下：第一步，回忆锐角三角函数中正切的定义，即直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；第二步，确定∠B的对边和邻边，发现题目给出的AC与BC的比值恰好就是∠B的正切值；第三步，结合特殊角的三角函数值，找到正切值为√3的锐角度数即可得到答案。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
已知$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，因此$\tan B=\sqrt{3}$，
又因为∠B是锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
所以$∠B=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，只要准确对应锐角的对边、邻边，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6.求出图中∠A，∠B的正切值.

解:$\because BC=2,BA=6,∠ C=90°,\therefore AC= \sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4},\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$

【分析】
要计算直角三角形中两个锐角的正切值，首先回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。本题已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，首先需要用勾股定理求出未知直角边AC的长度，再分别确定∠A、∠B的对边和邻边，代入正切定义计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=6，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
根据正切的定义：
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$\tan A=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\tan B=2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，正切的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直角三角形中锐角三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理和正切的定义，计算过程中注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8

7.计算:
(1)$(π - 1)^0 - \sqrt{12} + 2\tan 60° - |1 - \sqrt{2}|$;
(2)$\sin 60° · \cos 30° + \sqrt{2}\sin 45° - 3\tan^2 30°$.

解:(1)原式$=1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}.$
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2$
$=\frac{3}{4}+1-1=\frac{3}{4}.$

【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路为：先分别计算每一个小项的值，再按照先乘除后加减的顺序合并计算结果。
(1) 分别拆解各部分：①根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，可得$(π-1)^0=1$；②化简二次根式$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；③特殊角三角函数值$\tan60°=\sqrt{3}$，计算得$2\tan60°=2\sqrt{3}$；④判断绝对值内式子正负，$1-\sqrt{2}＜0$，去绝对值得$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，最后合并同类项即可。
(2) 先代入对应特殊角的三角函数值，再按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算：先分别确定$\sin60°、\cos30°、\sin45°、\tan30°$的数值，先算乘方运算，再算乘法，最后合并计算结果。
【解析】
(1) 分别计算每一项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 - 2\sqrt{3} + 2×\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)\\&=1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\\&=2-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\&=\frac{3}{4}+\frac{2}{2}-3×\frac{1}{3}\\&=\frac{3}{4}+1-1\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，零指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值，运算时要注意运算顺序和符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75

8.如图，AD是$△ ABC$的高.若$BD=2CD=4$，$\tan C=3$，则$△ ABC$的面积为 （）


A.12
B.18
C.24
D.36

8. B

【分析】
解题时先从已知条件BD=2CD=4入手，先求出CD的长度，进而得到底边BC的总长度；再结合AD是△ABC的高，可知△ADC是直角三角形，根据正切的定义tanC=对边/邻边=AD/CD，代入已知的tanC=3和CD的长度，即可求出高AD的长度；最后利用三角形面积公式计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵BD=2CD=4，
∴CD=2，
∴BC=BD+CD=4+2=6，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=3$，
∴AD=3×CD=3×2=6，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×6=18$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义；三角形面积公式；高线的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题的关键是利用正切值求出三角形的高，再结合底边长计算面积，解题过程中要注意先梳理清楚各线段之间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

9. (2026临汾期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为。

9. $\frac{1}{2}$

【分析】
要求$\tan∠ BAC$的值，需先将$∠ BAC$放在直角三角形中求解。结合正方形网格的特点，我们可以先设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理计算出$△ ABC$的$AB$、$AC$边长，再通过面积法求出$AC$边上的高，进而在含$∠ BAC$的直角三角形中求出对边和邻边的长度，最后根据正切的定义计算结果即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$△ ABC$的面积：
由图可知$BC=2$，点$A$到$BC$的垂直距离为3，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
2. 用勾股定理计算边长：
$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 求$AC$边上的高：
过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，代入数值得：
$3=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × BD$，解得$BD=\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ ABD$中，计算$AD$的长度：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{10-2}=2\sqrt{2}$。
5. 根据正切的定义计算：
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查锐角正切值的求解，解题的核心是通过构造直角三角形，利用面积法求出对应高的长度，解题过程需要熟练运用勾股定理和三角函数的定义，属于常考的基础变形题型。
【难度系数】
0.65

10.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的点F处,已知$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,求$\tan∠DCF$的值.

解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AB=CD,∠ D=90°.$
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,且由折叠知 $CF=BC,\therefore \frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}.$
设 $CD=2x,CF=3x(x＞0),\therefore DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5}x.$
$\therefore \tan∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

【分析】
解题时首先从已知条件入手：第一，矩形的性质可得到AB=CD、∠D是直角，明确△DCF为直角三角形；第二，折叠的性质可知折叠前后对应边相等，即CF=BC，由此可将已知的$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$转化为直角△DCF中$\frac{CD}{CF}=\frac{2}{3}$；接下来要求$\tan∠DCF$，根据正切的定义，需要求出∠DCF的对边DF和邻边CD的比值，因此可以设参数表示CD和CF的长度，用勾股定理求出DF的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD$，$∠ D=90°$。
由折叠的性质可得：$CF=BC$。
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$。
设$CD=2x(x＞0)$，则$CF=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ DCF$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
∴$\tan∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的核心是利用折叠性质将已知线段比转化到目标直角三角形中，再结合勾股定理和三角函数的定义求解，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7