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一、利用定义求值
1. (2026成都月考)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，$AC=5$，则下列表示正确的是（
A.$\cos A=\dfrac{12}{13}$
B.$\sin A=\dfrac{12}{13}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{12}$
D.$\tan B=\dfrac{5}{13}$
1. (2026成都月考)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，$AC=5$，则下列表示正确的是（
B
）A.$\cos A=\dfrac{12}{13}$
B.$\sin A=\dfrac{12}{13}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{12}$
D.$\tan B=\dfrac{5}{13}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题首先要回忆直角三角形中锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。接下来先确定所求锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，再分别计算各选项对应的三角函数值，和选项对比判断正误即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边为$AB=13$，
对于$∠ A$：对边是$BC=12$，邻边是$AC=5$，
选项A：$\cos A=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，故A错误；
选项B：$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，故B正确；
选项C：$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，故C错误；
对于$∠ B$：对边是$AC=5$，邻边是$BC=12$，
选项D：$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的掌握程度，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边和斜边，代入定义计算即可得出正确结果，是锐角三角函数章节的常规考查题。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆直角三角形中锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。接下来先确定所求锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，再分别计算各选项对应的三角函数值，和选项对比判断正误即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边为$AB=13$，
对于$∠ A$：对边是$BC=12$，邻边是$AC=5$，
选项A：$\cos A=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，故A错误；
选项B：$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，故B正确；
选项C：$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，故C错误；
对于$∠ B$：对边是$AC=5$，邻边是$BC=12$，
选项D：$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的掌握程度，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边和斜边，代入定义计算即可得出正确结果，是锐角三角函数章节的常规考查题。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\dfrac{1}{2}AC$，则$\sin B$的值为（
A.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$2$
A
）A.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$2$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算Rt△ABC中sinB的值，首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知两条直角边的数量关系，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。另外锐角的正弦值范围是0＜sinB＜1，可先排除明显错误的选项D。
【解析】
设$BC = k$，
∵ $BC=\dfrac{1}{2}AC$，
∴ $AC = 2k$，
∵ $∠C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2k)^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$，
根据锐角正弦的定义，$\sin B$是$∠B$的对边与斜边的比值，$∠B$的对边为$AC$，
∴ $\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2k}{\sqrt{5}k} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题是求锐角三角函数值的基础题，利用设参数法计算边的比值是常用解题技巧，解题时要注意准确区分锐角对应的对边和斜边，避免因混淆边的位置出错。
【难度系数】
0.7
要计算Rt△ABC中sinB的值，首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知两条直角边的数量关系，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。另外锐角的正弦值范围是0＜sinB＜1，可先排除明显错误的选项D。
【解析】
设$BC = k$，
∵ $BC=\dfrac{1}{2}AC$，
∴ $AC = 2k$，
∵ $∠C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2k)^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$，
根据锐角正弦的定义，$\sin B$是$∠B$的对边与斜边的比值，$∠B$的对边为$AC$，
∴ $\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2k}{\sqrt{5}k} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题是求锐角三角函数值的基础题，利用设参数法计算边的比值是常用解题技巧，解题时要注意准确区分锐角对应的对边和斜边，避免因混淆边的位置出错。
【难度系数】
0.7
3. (2026衡阳期末)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos A=\dfrac{3}{5}$，则$\tan A$等于（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
B
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
3. B
解析
【分析】
这是直角三角形中已知锐角余弦值求正切值的基础题，解题思路如下：首先明确锐角三角函数的本质是直角三角形中对应边的比值，已知$\cos A=\frac{3}{5}$，即$∠ A$的邻边与斜边的比为$3:5$，我们可以用设参数的方法将这两条边用含相同参数的式子表示，再结合勾股定理求出$∠ A$的对边，最后根据正切的定义（对边与邻边的比值）代入计算即可得到结果，思路清晰且符合学段知识要求。
【解析】
解：$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形，
根据余弦的定义可得：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$AC=3k$（$k＞0$），则$AB=5k$，
由勾股定理计算$∠ A$的对边$BC$：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{25k^2-9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$，
再根据正切的定义：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义，正切的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的常规基础题，主要考察直角三角形中三角函数定义和勾股定理的结合应用，通过设参数表示边长的方法可简化计算，熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中已知锐角余弦值求正切值的基础题，解题思路如下：首先明确锐角三角函数的本质是直角三角形中对应边的比值，已知$\cos A=\frac{3}{5}$，即$∠ A$的邻边与斜边的比为$3:5$，我们可以用设参数的方法将这两条边用含相同参数的式子表示，再结合勾股定理求出$∠ A$的对边，最后根据正切的定义（对边与邻边的比值）代入计算即可得到结果，思路清晰且符合学段知识要求。
【解析】
解：$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形，
根据余弦的定义可得：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$AC=3k$（$k＞0$），则$AB=5k$，
由勾股定理计算$∠ A$的对边$BC$：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{25k^2-9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$，
再根据正切的定义：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义，正切的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的常规基础题，主要考察直角三角形中三角函数定义和勾股定理的结合应用，通过设参数表示边长的方法可简化计算，熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、构造直角三角形求值
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$\sin A=\dfrac{5}{13}$，点$D$在$AB$边上，且$∠ BDC=45°$，$BC=5$.求：
(1)$AD$的长；
(2)$∠ ACD$的正弦值.
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$\sin A=\dfrac{5}{13}$，点$D$在$AB$边上，且$∠ BDC=45°$，$BC=5$.求：
(1)$AD$的长；
(2)$∠ ACD$的正弦值.
答案
4. 解:(1)$\because ∠ B=90°,∠ BDC=45°,∴ BC=BD=5.$
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{5}{13},∴ AC=13,$
$\therefore AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12,$
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7.$
(2)如图,过点 A 作 $AE⊥CD$,交 CD 的延长线于点 E.
$\because ∠ ADE=∠ CDB=45°,$
$\therefore △ ADE$ 是等腰直角三角形,
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ ADE=\dfrac{7\sqrt{2}}{2},$
$\therefore \sin∠ ACD=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\dfrac{7\sqrt{2}}{26}.$
解析
【分析】
本题分两小问求解，解题思路如下：
(1)求$AD$的长：$AD=AB-BD$，因此只需分别求出$AB$、$BD$的长度即可。首先由$∠ B=90°$、$∠ BDC=45°$可判定$△ BCD$是等腰直角三角形，直接得到$BD=BC$；再结合$\sin A$的定义求出$AC$的长度，用勾股定理算出$AB$，最后作差即可得到$AD$。
(2)求$∠ ACD$的正弦值：根据锐角三角函数的定义，需要将目标角放在直角三角形中计算，因此过点$A$作$AE⊥ CD$交$CD$的延长线于$E$，构造$\mathrm{Rt}△ AEC$。先利用对顶角相等得到$∠ ADE=45°$，判定$△ ADE$是等腰直角三角形，求出$AE$的长度，再根据正弦的定义，$∠ ACD$的正弦值等于对边$AE$与斜边$AC$的比值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △BCD$是等腰直角三角形，$\therefore BC=BD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{5}{13}$，$BC=5$，
$\therefore AC=\dfrac{13× BC}{5}=13$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 如图，过点$A$作 $AE⊥CD$，交$CD$的延长线于点$E$。
$\because ∠ADE$与$∠CDB$是对顶角，
$\therefore ∠ADE=∠CDB=45°$，
$\therefore △ ADE$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ADE=7×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$\sin∠ACD=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\dfrac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1) $AD$的长为$7$；
(2) $∠ ACD$的正弦值为$\dfrac{7\sqrt{2}}{26}$，辅助线作法如图：
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，第一问可直接利用特殊直角三角形性质和勾股定理求解，第二问通过作垂线构造包含目标角的直角三角形，是求锐角三角函数值的常用技巧，解题时需注意特殊角三角函数值、对顶角性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题分两小问求解，解题思路如下：
(1)求$AD$的长：$AD=AB-BD$，因此只需分别求出$AB$、$BD$的长度即可。首先由$∠ B=90°$、$∠ BDC=45°$可判定$△ BCD$是等腰直角三角形，直接得到$BD=BC$；再结合$\sin A$的定义求出$AC$的长度，用勾股定理算出$AB$，最后作差即可得到$AD$。
(2)求$∠ ACD$的正弦值：根据锐角三角函数的定义，需要将目标角放在直角三角形中计算，因此过点$A$作$AE⊥ CD$交$CD$的延长线于$E$，构造$\mathrm{Rt}△ AEC$。先利用对顶角相等得到$∠ ADE=45°$，判定$△ ADE$是等腰直角三角形，求出$AE$的长度，再根据正弦的定义，$∠ ACD$的正弦值等于对边$AE$与斜边$AC$的比值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △BCD$是等腰直角三角形，$\therefore BC=BD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{5}{13}$，$BC=5$，
$\therefore AC=\dfrac{13× BC}{5}=13$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 如图，过点$A$作 $AE⊥CD$，交$CD$的延长线于点$E$。
$\because ∠ADE$与$∠CDB$是对顶角，
$\therefore ∠ADE=∠CDB=45°$，
$\therefore △ ADE$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ADE=7×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$\sin∠ACD=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\dfrac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1) $AD$的长为$7$；
(2) $∠ ACD$的正弦值为$\dfrac{7\sqrt{2}}{26}$，辅助线作法如图：
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，第一问可直接利用特殊直角三角形性质和勾股定理求解，第二问通过作垂线构造包含目标角的直角三角形，是求锐角三角函数值的常用技巧，解题时需注意特殊角三角函数值、对顶角性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
四、利用网格特征求值
5. (2026大连期中)如图，$△ ABC$的顶点在正方形网格的交点处，则$\cos A$的值为（
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
5. (2026大连期中)如图，$△ ABC$的顶点在正方形网格的交点处，则$\cos A$的值为（
D
）A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
5. D
解析
【分析】
要求cosA的值，需依据锐角余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值），先构造出包含∠A的直角三角形。我们可以过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点D，得到Rt△ACD；设每个小正方形的边长为1，先分别计算出∠A的邻边AD和斜边AC的长度，再代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由网格可得：AD=6，CD=3。
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合网格特性和勾股定理求出对应线段长度，再代入三角函数定义计算即可，解题时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
要求cosA的值，需依据锐角余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值），先构造出包含∠A的直角三角形。我们可以过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点D，得到Rt△ACD；设每个小正方形的边长为1，先分别计算出∠A的邻边AD和斜边AC的长度，再代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由网格可得：AD=6，CD=3。
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合网格特性和勾股定理求出对应线段长度，再代入三角函数定义计算即可，解题时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
6. (2025株洲开学考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6. A
解析
【分析】
要求∠A的正弦值，根据锐角正弦的定义，需要在包含∠A的直角三角形中计算∠A的对边与斜边的比值。观察图形可知∠A不在现成的直角三角形中，因此我们可以通过作高构造直角三角形，结合勾股定理、等面积法求解：首先设每个小正方形边长为1，先计算△ABC的面积和AB、AC的长度，再用等面积法求出AB边上的高CD，最后在Rt△ACD中根据正弦定义计算sinA即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB于点D。
1. 计算△ABC的面积：
BC的长度为2，点A到BC边的垂直距离为3，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
2. 用勾股定理计算AB、AC的长度：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 用等面积法求CD的长度：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$，代入已知数值：
$\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × CD = 3$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的常见题型，解题核心是通过作辅助线构造包含所求角的直角三角形，或借助等面积法求出对应边长，解题时需熟练运用勾股定理计算格点间线段的长度。
【难度系数】
0.6
要求∠A的正弦值，根据锐角正弦的定义，需要在包含∠A的直角三角形中计算∠A的对边与斜边的比值。观察图形可知∠A不在现成的直角三角形中，因此我们可以通过作高构造直角三角形，结合勾股定理、等面积法求解：首先设每个小正方形边长为1，先计算△ABC的面积和AB、AC的长度，再用等面积法求出AB边上的高CD，最后在Rt△ACD中根据正弦定义计算sinA即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB于点D。
1. 计算△ABC的面积：
BC的长度为2，点A到BC边的垂直距离为3，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
2. 用勾股定理计算AB、AC的长度：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 用等面积法求CD的长度：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$，代入已知数值：
$\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × CD = 3$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的常见题型，解题核心是通过作辅助线构造包含所求角的直角三角形，或借助等面积法求出对应边长，解题时需熟练运用勾股定理计算格点间线段的长度。
【难度系数】
0.6
7.在如图所示的$8×8$正方形网格中，小正方形的边长均为1，点$A,B,C,D$都在格点上，$AB$与$CD$相交于点$E$，则$∠ AED$的正切值是（
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B
）A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
答案
7. B
解析
【分析】
要求∠AED的正切值，直接构造包含该角的直角三角形难度较大，我们可以利用平行线的性质找与∠AED相等的角，把所求角转化到网格中容易构造直角三角形的位置，再结合正切的定义计算即可。解题思路：①在网格中选取合适格点，构造平行线得到与∠AED相等的角；②验证转化后的角所在的三角形为直角三角形；③根据正切是直角三角形中对边比邻边的定义计算结果。
【解析】
解：取合适格点，连接线段使BF//CD，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ABF=∠AED。
设每个小正方形的边长为1，结合网格构造Rt△ABF，可得直角边AF=2，BF=4，∠AFB=90°。
根据正切的定义，在Rt△ABF中：
$\tan∠ ABF=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AF}{BF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
因此$\tan∠ AED=\tan∠ ABF=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，平行线的性质，网格图形计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，核心是通过平移构造等角，将未知角转化到直角三角形中求解，渗透了转化的数学思想，对网格读图能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求∠AED的正切值，直接构造包含该角的直角三角形难度较大，我们可以利用平行线的性质找与∠AED相等的角，把所求角转化到网格中容易构造直角三角形的位置，再结合正切的定义计算即可。解题思路：①在网格中选取合适格点，构造平行线得到与∠AED相等的角；②验证转化后的角所在的三角形为直角三角形；③根据正切是直角三角形中对边比邻边的定义计算结果。
【解析】
解：取合适格点，连接线段使BF//CD，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ABF=∠AED。
设每个小正方形的边长为1，结合网格构造Rt△ABF，可得直角边AF=2，BF=4，∠AFB=90°。
根据正切的定义，在Rt△ABF中：
$\tan∠ ABF=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AF}{BF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
因此$\tan∠ AED=\tan∠ ABF=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，平行线的性质，网格图形计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，核心是通过平移构造等角，将未知角转化到直角三角形中求解，渗透了转化的数学思想，对网格读图能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
