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五、利用等角代换求值
8. 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,将△CDE沿CE折叠,使点D正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE的值.
8. 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,将△CDE沿CE折叠,使点D正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE的值.
答案
8. 解:根据题图可知,$∠ AFE+∠ EFC+∠ BFC=180°.$
根据折叠的性质,知$∠ EFC=∠ D=90°,$
$\therefore ∠ AFE+∠ BFC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$∠ BCF+∠ BFC=90°,$
$\therefore ∠ AFE=∠ BCF.$
根据折叠的性质,有$CF=CD=10.$
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BC=8,CF=10,$
由勾股定理,得$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6,$
$\therefore \tan∠ BCF=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4},$
$\therefore \tan∠ AFE=\tan∠ BCF=\dfrac{3}{4}.$
根据折叠的性质,知$∠ EFC=∠ D=90°,$
$\therefore ∠ AFE+∠ BFC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$∠ BCF+∠ BFC=90°,$
$\therefore ∠ AFE=∠ BCF.$
根据折叠的性质,有$CF=CD=10.$
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BC=8,CF=10,$
由勾股定理,得$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6,$
$\therefore \tan∠ BCF=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4},$
$\therefore \tan∠ AFE=\tan∠ BCF=\dfrac{3}{4}.$
解析
【分析】
要求$\tan∠ AFE$，若直接求解$△ AEF$的边长计算较繁琐，我们可以通过等角代换简化计算：首先结合折叠性质可知$∠ EFC=∠ D=90°$，由此可得$∠ AFE$与$∠ BFC$互余；再结合矩形中$∠ B$为直角，可知$\mathrm{Rt}△ BCF$中$∠ BCF$与$∠ BFC$互余，根据同角的余角相等可推出$∠ AFE=∠ BCF$，因此只需求出$\tan∠ BCF$即可。接下来根据折叠性质得$CF=CD=AB=10$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中用勾股定理求出$BF$的长度，最后根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
根据图形可得：$∠ AFE+∠ EFC+∠ BFC=180°$，
由折叠的性质可知：$∠ EFC=∠ D=90°$，$CF=CD=AB=10$，
$\therefore ∠ AFE+∠ BFC=180° - 90°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ B=90°$，故$∠ BCF+∠ BFC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=∠ BCF$（同角的余角相等），
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BC=8$，$CF=10$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore \tan∠ BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \tan∠ AFE=\tan∠ BCF=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题采用等角代换的方法将待求三角函数值的角转化为易求解的直角三角形内的角，大大简化了计算过程，解题的核心是熟练掌握折叠的性质和直角三角形两锐角互余的性质。
【难度系数】
0.7
要求$\tan∠ AFE$，若直接求解$△ AEF$的边长计算较繁琐，我们可以通过等角代换简化计算：首先结合折叠性质可知$∠ EFC=∠ D=90°$，由此可得$∠ AFE$与$∠ BFC$互余；再结合矩形中$∠ B$为直角，可知$\mathrm{Rt}△ BCF$中$∠ BCF$与$∠ BFC$互余，根据同角的余角相等可推出$∠ AFE=∠ BCF$，因此只需求出$\tan∠ BCF$即可。接下来根据折叠性质得$CF=CD=AB=10$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中用勾股定理求出$BF$的长度，最后根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
根据图形可得：$∠ AFE+∠ EFC+∠ BFC=180°$，
由折叠的性质可知：$∠ EFC=∠ D=90°$，$CF=CD=AB=10$，
$\therefore ∠ AFE+∠ BFC=180° - 90°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ B=90°$，故$∠ BCF+∠ BFC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=∠ BCF$（同角的余角相等），
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BC=8$，$CF=10$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore \tan∠ BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \tan∠ AFE=\tan∠ BCF=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题采用等角代换的方法将待求三角函数值的角转化为易求解的直角三角形内的角，大大简化了计算过程，解题的核心是熟练掌握折叠的性质和直角三角形两锐角互余的性质。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$E$为$AC$边的中点，已知$BC=14$，$AD=12$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$。求：
(1)线段$DC$的长；
(2)$\tan∠ EDC$的值。
(1)线段$DC$的长；
(2)$\tan∠ EDC$的值。
答案
9. 解:(1)$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD=12$,
$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5},∴ AB=15,$
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9,$
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\because E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore ED=EC,∴ ∠ EDC=∠ C,$
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{12}{5}.$
$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5},∴ AB=15,$
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9,$
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\because E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore ED=EC,∴ ∠ EDC=∠ C,$
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{12}{5}.$
解析
【分析】
(1) 要求DC的长，已知BC的总长度，只需先求出BD的长度即可。AD是BC边上的高，因此△ABD是直角三角形，已知sinB和AD的长度，可先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到DC的长度。
(2) 要求$\tan∠EDC$的值，观察到E是$\mathrm{Rt}△ADC$斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得$ED=EC$，进而推出$∠EDC=∠C$，因此只需在$\mathrm{Rt}△ADC$中求出$\tan C$的值，即可得到$\tan∠EDC$的值。
【解析】
(1) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore △ABD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AD=12$，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AB=\dfrac{AD}{\dfrac{4}{5}}=15$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
又$\because BC=14$，$\therefore DC=BC-BD=14-9=5$。
(2) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore △ADC$是直角三角形，
$\because$ E为AC边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=EC$，
$\therefore ∠EDC=∠C$，
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$AD=12$，$DC=5$，
$\therefore \tan∠EDC=\tan C=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DC=5}$
(2) $\boldsymbol{\tan∠EDC=\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形性质结合的基础题，解题核心是通过直角三角形的性质对所求线段和角度进行转化，再结合三角函数定义计算，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要求DC的长，已知BC的总长度，只需先求出BD的长度即可。AD是BC边上的高，因此△ABD是直角三角形，已知sinB和AD的长度，可先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到DC的长度。
(2) 要求$\tan∠EDC$的值，观察到E是$\mathrm{Rt}△ADC$斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得$ED=EC$，进而推出$∠EDC=∠C$，因此只需在$\mathrm{Rt}△ADC$中求出$\tan C$的值，即可得到$\tan∠EDC$的值。
【解析】
(1) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore △ABD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AD=12$，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AB=\dfrac{AD}{\dfrac{4}{5}}=15$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
又$\because BC=14$，$\therefore DC=BC-BD=14-9=5$。
(2) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore △ADC$是直角三角形，
$\because$ E为AC边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=EC$，
$\therefore ∠EDC=∠C$，
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$AD=12$，$DC=5$，
$\therefore \tan∠EDC=\tan C=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DC=5}$
(2) $\boldsymbol{\tan∠EDC=\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形性质结合的基础题，解题核心是通过直角三角形的性质对所求线段和角度进行转化，再结合三角函数定义计算，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
六、巧构图形求值
10.阅读理解:为计算$\tan 15°$的值,我们可以构建$\mathrm{Rt}△ ACB$,如图所示,使得$∠ C=90°$, $∠ ABC=30°$,延长$CB$至点$D$,使$BD=AB$,连接$AD$,可得$∠ D=15°$,所以$\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$.
类比这种方法,请你计算$\tan 22.5°$的值.
10.阅读理解:为计算$\tan 15°$的值,我们可以构建$\mathrm{Rt}△ ACB$,如图所示,使得$∠ C=90°$, $∠ ABC=30°$,延长$CB$至点$D$,使$BD=AB$,连接$AD$,可得$∠ D=15°$,所以$\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$.
类比这种方法,请你计算$\tan 22.5°$的值.
答案
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$∠ C=90°,∠ ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ D=22.5°.$
设 $AC=BC=1$,
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
解析
【分析】
所求的22.5°是特殊角45°的一半，我们可以类比题干求tan15°的方法解题：第一步构造含45°角的直角三角形；第二步延长直角边构造等腰三角形，利用等腰三角形性质和三角形外角性质得到22.5°的锐角；第三步设合适的边长，根据正切的定义写出tan22.5°的表达式，最后通过分母有理化化简得到结果。
【解析】
1. 构造图形：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
2. 推导角度：因为$BD=AB$，所以$∠ BAD=∠ D$，又因为$∠ ABC=∠ BAD+∠ D=2∠ D=45°$，因此$∠ D=22.5°$。
3. 计算边长：设$AC=BC=1$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}$，所以$BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=BC+BD=1+\sqrt{2}$。
4. 求正切值：在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，分母有理化后得到$\sqrt{2}-1$。
【答案】
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$∠ C=90°,∠ ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ D=22.5°.$
设 $AC=BC=1$,
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 等腰三角形的性质
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于类比探究类题目，通过迁移题干的构造思路，将半角的三角函数值转化为特殊直角三角形的边长比求解，考查了知识迁移能力和数形结合思想，能帮助掌握构造法求特殊半角三角函数值的方法。
【难度系数】
0.7
所求的22.5°是特殊角45°的一半，我们可以类比题干求tan15°的方法解题：第一步构造含45°角的直角三角形；第二步延长直角边构造等腰三角形，利用等腰三角形性质和三角形外角性质得到22.5°的锐角；第三步设合适的边长，根据正切的定义写出tan22.5°的表达式，最后通过分母有理化化简得到结果。
【解析】
1. 构造图形：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
2. 推导角度：因为$BD=AB$，所以$∠ BAD=∠ D$，又因为$∠ ABC=∠ BAD+∠ D=2∠ D=45°$，因此$∠ D=22.5°$。
3. 计算边长：设$AC=BC=1$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}$，所以$BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=BC+BD=1+\sqrt{2}$。
4. 求正切值：在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，分母有理化后得到$\sqrt{2}-1$。
【答案】
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$∠ C=90°,∠ ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ D=22.5°.$
设 $AC=BC=1$,
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 等腰三角形的性质
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于类比探究类题目，通过迁移题干的构造思路，将半角的三角函数值转化为特殊直角三角形的边长比求解，考查了知识迁移能力和数形结合思想，能帮助掌握构造法求特殊半角三角函数值的方法。
【难度系数】
0.7
