登录
一、选择题
1. ⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是(
A.$30°$
B.$150°$
C.$30°$或$150°$
D.$60°$
1. ⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是(
C
)A.$30°$
B.$150°$
C.$30°$或$150°$
D.$60°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先根据弦长等于半径的条件，连接圆心和弦的两个端点，构造出圆心角所在的三角形，先求出圆心角的度数；再结合圆周角定理求解圆周角度数，注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，因此所对的圆周角有两种情况，不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵OA、OB是⊙O的半径，AB=半径，
∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论圆周角的度数：
1. 若圆周角的顶点在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
2. 若圆周角的顶点在劣弧AB上，此时该圆周角所对的弧为优弧AB，优弧AB对应的圆心角为360°-60°=300°，因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$×300°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角为30°或150°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；弦与弧的对应关系
【点评】
本题是易错题，很多学生容易只考虑到顶点在优弧上的圆周角，忽略劣弧对应的另一种圆周角的情况，解题时要全面考虑图形存在的所有可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据弦长等于半径的条件，连接圆心和弦的两个端点，构造出圆心角所在的三角形，先求出圆心角的度数；再结合圆周角定理求解圆周角度数，注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，因此所对的圆周角有两种情况，不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵OA、OB是⊙O的半径，AB=半径，
∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论圆周角的度数：
1. 若圆周角的顶点在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
2. 若圆周角的顶点在劣弧AB上，此时该圆周角所对的弧为优弧AB，优弧AB对应的圆心角为360°-60°=300°，因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$×300°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角为30°或150°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；弦与弧的对应关系
【点评】
本题是易错题，很多学生容易只考虑到顶点在优弧上的圆周角，忽略劣弧对应的另一种圆周角的情况，解题时要全面考虑图形存在的所有可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 下列说法错误的是(
A.等弧所对圆周角相等
B.同圆中,等弦所对的圆周角相等
C.同弧所对圆周角相等
D.同圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
B
)A.等弧所对圆周角相等
B.同圆中,等弦所对的圆周角相等
C.同弧所对圆周角相等
D.同圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
答案
2. B
解析
【分析】
这道题考查圆周角与弦、弧的对应关系，解题时需要结合圆周角定理及其推论逐个判断选项，尤其要注意一条弦在圆中对应两条不同的弧，对应的圆周角也有两种互补的情况。首先回忆相关性质：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；同圆中一条弦对应优弧、劣弧两类弧，对应的圆周角也分为互补的两类。再逐一验证选项即可找到错误说法。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等弧是指能完全重合的弧，仅存在于同圆或等圆中，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，说法正确；
B选项：同圆中，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，因此等弦所对的圆周角有两类，两类角互补，不一定相等，说法错误；
C选项：同弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半，因此同弧所对圆周角相等，说法正确；
D选项：同圆中，相等的圆周角对应的圆心角也相等，同圆内圆心角相等则所对的弧相等，说法正确。
本题要求选出错误的说法，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 弦弧角对应关系
【点评】
本题是圆周角性质的基础易错题，解题关键是注意弦对应的圆周角存在两种互补的情况，不要忽略优弧所对的圆周角，避免误判。
【难度系数】
0.7
这道题考查圆周角与弦、弧的对应关系，解题时需要结合圆周角定理及其推论逐个判断选项，尤其要注意一条弦在圆中对应两条不同的弧，对应的圆周角也有两种互补的情况。首先回忆相关性质：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；同圆中一条弦对应优弧、劣弧两类弧，对应的圆周角也分为互补的两类。再逐一验证选项即可找到错误说法。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等弧是指能完全重合的弧，仅存在于同圆或等圆中，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，说法正确；
B选项：同圆中，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，因此等弦所对的圆周角有两类，两类角互补，不一定相等，说法错误；
C选项：同弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半，因此同弧所对圆周角相等，说法正确；
D选项：同圆中，相等的圆周角对应的圆心角也相等，同圆内圆心角相等则所对的弧相等，说法正确。
本题要求选出错误的说法，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 弦弧角对应关系
【点评】
本题是圆周角性质的基础易错题，解题关键是注意弦对应的圆周角存在两种互补的情况，不要忽略优弧所对的圆周角，避免误判。
【难度系数】
0.7
3. 如图1,AB和CD都是$\odot O$的直径,$∠ AOC=50°$,则$∠ C$的度数等于(
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$50°$
B
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$50°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB和CD都是$\odot O$的直径，可得同圆半径相等，即OB=OC，因此$△ OBC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C$。再观察角的位置关系，$∠ AOC$是$△ OBC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合$∠ B=∠ C$即可建立等量关系求出$∠ C$；也可先通过圆周角定理求出$∠ B$的度数，再利用等腰三角形性质得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD都是$\odot O$的直径，
∴OB=OC（同圆的半径相等），
∴$∠ B=∠ C$（等腰三角形两个底角相等）。
∵$∠ AOC$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOC=∠ B+∠ C=2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知$∠ AOC=50°$，代入得：
$2∠ C=50°$，
解得$∠ C=25°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形性质结合的常考题，解题的核心是找准角之间的等量关系，解题思路较为灵活，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AB和CD都是$\odot O$的直径，可得同圆半径相等，即OB=OC，因此$△ OBC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C$。再观察角的位置关系，$∠ AOC$是$△ OBC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合$∠ B=∠ C$即可建立等量关系求出$∠ C$；也可先通过圆周角定理求出$∠ B$的度数，再利用等腰三角形性质得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD都是$\odot O$的直径，
∴OB=OC（同圆的半径相等），
∴$∠ B=∠ C$（等腰三角形两个底角相等）。
∵$∠ AOC$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOC=∠ B+∠ C=2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知$∠ AOC=50°$，代入得：
$2∠ C=50°$，
解得$∠ C=25°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形性质结合的常考题，解题的核心是找准角之间的等量关系，解题思路较为灵活，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图2,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠ B=70°$,则$∠ A$的度数等于(
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先观察题干给出的弧相等的条件，回忆圆周角的相关性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，据此可以得到∠C与∠B的大小关系；再结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴ 两条弧所对的圆周角∠C=∠B=70°（同圆中相等的弧所对的圆周角相等）
∵ 三角形ABC的内角和为180°
∴ $∠ A=180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
弧与圆周角的关系；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用同圆中弧与圆周角的对应关系得到相等的角，再结合三角形内角和即可求解，熟练掌握圆周角的基本性质是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干给出的弧相等的条件，回忆圆周角的相关性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，据此可以得到∠C与∠B的大小关系；再结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴ 两条弧所对的圆周角∠C=∠B=70°（同圆中相等的弧所对的圆周角相等）
∵ 三角形ABC的内角和为180°
∴ $∠ A=180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
弧与圆周角的关系；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用同圆中弧与圆周角的对应关系得到相等的角，再结合三角形内角和即可求解，熟练掌握圆周角的基本性质是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
5*. 如图3，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上，若∠PCB=130°，则∠PBA的度数等于(
A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
B
)A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题按以下步骤思考：1. 先利用直径对应半圆弧度数为180°，结合三段弧相等的条件，算出$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$的度数均为60°；2. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知∠PCB=130°，求出它所对优弧的度数，进而推出劣弧$\overset{\frown}{PC}$的度数；3. 确定∠PBA所对的弧的度数，再次用圆周角定理即可求出∠PBA的度数。
【解析】
解：
∵AD是半圆O的直径，
∴半圆弧$\overset{\frown}{ABCD}$的度数为180°，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=180°÷3=60°$。
∵∠PCB是圆周角，且∠PCB=130°，钝角圆周角对应优弧，
∴∠PCB所对的优弧$\overset{\frown}{PAB}$的度数为$2×130°=260°$，
∵整圆圆周的度数为360°，
∴劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数为$360°-260°=100°$，
又
∵$\overset{\frown}{BC}=60°$，
∴$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{PB}-\overset{\frown}{BC}=100°-60°=40°$，
∵点P在$\overset{\frown}{CD}$上，
∴$\overset{\frown}{PD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{PC}=60°-40°=20°$，
∠PBA为圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{PDA}$，$\overset{\frown}{PDA}$的度数为$\overset{\frown}{PD}+\overset{\frown}{DA}=20°+180°=200°$，
根据圆周角定理可得：$∠ PBA=\frac{1}{2}×200°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧的度数计算，圆的基本性质
【点评】
本题核心考查圆周角定理的灵活应用，解题关键是准确匹配圆周角和它所对的弧，注意区分钝角圆周角对应优弧、锐角圆周角对应劣弧的规律，易错点是误将钝角圆周角对应劣弧导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题按以下步骤思考：1. 先利用直径对应半圆弧度数为180°，结合三段弧相等的条件，算出$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$的度数均为60°；2. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知∠PCB=130°，求出它所对优弧的度数，进而推出劣弧$\overset{\frown}{PC}$的度数；3. 确定∠PBA所对的弧的度数，再次用圆周角定理即可求出∠PBA的度数。
【解析】
解：
∵AD是半圆O的直径，
∴半圆弧$\overset{\frown}{ABCD}$的度数为180°，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=180°÷3=60°$。
∵∠PCB是圆周角，且∠PCB=130°，钝角圆周角对应优弧，
∴∠PCB所对的优弧$\overset{\frown}{PAB}$的度数为$2×130°=260°$，
∵整圆圆周的度数为360°，
∴劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数为$360°-260°=100°$，
又
∵$\overset{\frown}{BC}=60°$，
∴$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{PB}-\overset{\frown}{BC}=100°-60°=40°$，
∵点P在$\overset{\frown}{CD}$上，
∴$\overset{\frown}{PD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{PC}=60°-40°=20°$，
∠PBA为圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{PDA}$，$\overset{\frown}{PDA}$的度数为$\overset{\frown}{PD}+\overset{\frown}{DA}=20°+180°=200°$，
根据圆周角定理可得：$∠ PBA=\frac{1}{2}×200°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧的度数计算，圆的基本性质
【点评】
本题核心考查圆周角定理的灵活应用，解题关键是准确匹配圆周角和它所对的弧，注意区分钝角圆周角对应优弧、锐角圆周角对应劣弧的规律，易错点是误将钝角圆周角对应劣弧导致计算错误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 如图4,点A,B,C是$\odot O$上的三点,若$∠ BOC=56°$,则$∠ A$的度数为
1. 如图4,点A,B,C是$\odot O$上的三点,若$∠ BOC=56°$,则$∠ A$的度数为
28°
.答案
1. 28°
解析
【分析】
首先观察两个角的位置特征：∠BOC的顶点在圆心O，是弧BC所对的圆心角；∠A的顶点在圆周上，是弧BC所对的圆周角。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此只需将圆心角的度数除以2，就能求出圆周角∠A的度数。
【解析】
解：
∵点A、B、C是$\odot O$上的三点
∴∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC$
又
∵$∠ BOC=56°$
∴$∠ A=\frac{1}{2}×56°=28°$
【答案】
28°
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，主要考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断两个角对应同一段弧，属于该知识点的常考基础题。
【难度系数】
0.9
首先观察两个角的位置特征：∠BOC的顶点在圆心O，是弧BC所对的圆心角；∠A的顶点在圆周上，是弧BC所对的圆周角。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此只需将圆心角的度数除以2，就能求出圆周角∠A的度数。
【解析】
解：
∵点A、B、C是$\odot O$上的三点
∴∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC$
又
∵$∠ BOC=56°$
∴$∠ A=\frac{1}{2}×56°=28°$
【答案】
28°
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，主要考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断两个角对应同一段弧，属于该知识点的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 如图5,已知AB是$\odot O$的直径,CD是弦,若$∠ BCD=36°$,则$∠ ABD$的度数为
54°
.答案
2. 54°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，看到AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ADB=90°，即△ADB是直角三角形，两个锐角互余；第二步，观察已知角∠BCD和待求角的关联，发现∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得到∠BAD=∠BCD=36°；第三步，在直角三角形ADB中，利用两锐角和为90°，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠BAD和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=36°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-36°=54°。
【答案】
54°
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合直角三角形的内角特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，看到AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ADB=90°，即△ADB是直角三角形，两个锐角互余；第二步，观察已知角∠BCD和待求角的关联，发现∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得到∠BAD=∠BCD=36°；第三步，在直角三角形ADB中，利用两锐角和为90°，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠BAD和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=36°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-36°=54°。
【答案】
54°
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合直角三角形的内角特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知半径为5的$\odot O$中，弦AB的长为$5\sqrt{2}$，弦AC的长为5，则$∠ BAC$的度数是
15°或105°
。答案
3. 15°或105°
解析
【分析】
解题时首先考虑圆中已知弦长和半径，可通过连接圆心与弦的端点构造三角形，利用边长判断三角形形状，得到弦与半径的夹角；其次注意题目未给出图形，两条弦相对于半径OA的位置有同侧、异侧两种情况，需分类讨论计算∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OA、OB、OC
∵⊙O的半径为5，
∴OA=OB=OC=5
①在△OAC中，OA=OC=AC=5，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°
②在△OAB中，OA=OB=5，AB=5√2
∵OA²+OB²=5²+5²=50，AB²=(5√2)²=50
∴OA²+OB²=AB²，即△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°
分两种情况讨论：
情况1：当AB、AC在OA的同侧时，∠BAC=∠OAC-∠OAB=60°-45°=15°
情况2：当AB、AC在OA的异侧时，∠BAC=∠OAC+∠OAB=60°+45°=105°
综上，∠BAC的度数为15°或105°。
【答案】
15°或105°
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理逆定理，分类讨论思想
【点评】
本题容易因忽略弦的位置不确定性漏解，解题时要注意无图几何题往往存在多解情况，需结合图形的所有可能位置分类讨论。
【难度系数】
0.6
解题时首先考虑圆中已知弦长和半径，可通过连接圆心与弦的端点构造三角形，利用边长判断三角形形状，得到弦与半径的夹角；其次注意题目未给出图形，两条弦相对于半径OA的位置有同侧、异侧两种情况，需分类讨论计算∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OA、OB、OC
∵⊙O的半径为5，
∴OA=OB=OC=5
①在△OAC中，OA=OC=AC=5，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°
②在△OAB中，OA=OB=5，AB=5√2
∵OA²+OB²=5²+5²=50，AB²=(5√2)²=50
∴OA²+OB²=AB²，即△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°
分两种情况讨论：
情况1：当AB、AC在OA的同侧时，∠BAC=∠OAC-∠OAB=60°-45°=15°
情况2：当AB、AC在OA的异侧时，∠BAC=∠OAC+∠OAB=60°+45°=105°
综上，∠BAC的度数为15°或105°。
【答案】
15°或105°
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理逆定理，分类讨论思想
【点评】
本题容易因忽略弦的位置不确定性漏解，解题时要注意无图几何题往往存在多解情况，需结合图形的所有可能位置分类讨论。
【难度系数】
0.6
4. 如图6, AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ BAC=30°$,点P在线段OB上运动.设$∠ ACP=x$,则x的取值范围是
$30°≤x≤90°$
.答案
4. $30°≤x≤90°$
解析
【分析】
解决这类动点求角度取值范围的问题，核心思路是找到动点的两个极端临界位置，分别计算临界位置对应的角度值，即可得到取值范围。本题中点P在线段OB上运动，两个临界点分别是P与O重合、P与B重合：
1. 当P与O重合时，利用圆的半径相等可得等腰三角形，计算此时的最小角度；
2. 当P与B重合时，利用直径所对圆周角是直角的性质，计算此时的最大角度，最终得到x的范围。
【解析】
分两种临界情况讨论：
1. 当点P与点O重合时：
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，$△ OAC$是等腰三角形
∴ $∠ ACP=∠ BAC=30°$，此时x取最小值$30°$
2. 当点P与点B重合时：
∵ AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$
即$∠ ACP=90°$，此时x取最大值$90°$
∵ 点P在线段OB上运动，角度随P的移动在两个临界值之间变化
∴ x的取值范围是$30°\le x\le90°$
【答案】
$30°\le x\le90°$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题型，重点考察动点问题中临界位置的分析能力，解题关键是准确找到临界点结合圆的性质计算极值，难度较低，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解决这类动点求角度取值范围的问题，核心思路是找到动点的两个极端临界位置，分别计算临界位置对应的角度值，即可得到取值范围。本题中点P在线段OB上运动，两个临界点分别是P与O重合、P与B重合：
1. 当P与O重合时，利用圆的半径相等可得等腰三角形，计算此时的最小角度；
2. 当P与B重合时，利用直径所对圆周角是直角的性质，计算此时的最大角度，最终得到x的范围。
【解析】
分两种临界情况讨论：
1. 当点P与点O重合时：
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，$△ OAC$是等腰三角形
∴ $∠ ACP=∠ BAC=30°$，此时x取最小值$30°$
2. 当点P与点B重合时：
∵ AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$
即$∠ ACP=90°$，此时x取最大值$90°$
∵ 点P在线段OB上运动，角度随P的移动在两个临界值之间变化
∴ x的取值范围是$30°\le x\le90°$
【答案】
$30°\le x\le90°$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题型，重点考察动点问题中临界位置的分析能力，解题关键是准确找到临界点结合圆的性质计算极值，难度较低，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5. 如图7,在$\odot O$中,$∠ ACB=∠ D=60°$,$AC=3$,则$△ ABC$的周长为
9
. 答案
5. 9
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。观察到∠D与∠BAC是同弧BC所对的圆周角，因此可以得到∠BAC=∠D=60°，结合已知的∠ACB=60°，可判定△ABC为等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠D = 60°，
又
∵ ∠ACB = 60°，
∴ 在△ABC中，∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ △ABC的三个内角均为60°，即△ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = 3，
∴ △ABC的周长 = 3×3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
圆周角定理、等边三角形判定、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，将圆周角定理和等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用圆周角的性质推导三角形内角的度数，进而判定三角形的类型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。观察到∠D与∠BAC是同弧BC所对的圆周角，因此可以得到∠BAC=∠D=60°，结合已知的∠ACB=60°，可判定△ABC为等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠D = 60°，
又
∵ ∠ACB = 60°，
∴ 在△ABC中，∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ △ABC的三个内角均为60°，即△ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = 3，
∴ △ABC的周长 = 3×3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
圆周角定理、等边三角形判定、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，将圆周角定理和等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用圆周角的性质推导三角形内角的度数，进而判定三角形的类型。
【难度系数】
0.8
