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三、解答题
1. 如图8，AB是$\odot O$的直径，C，D，E都是圆上的点，求$∠ 1+∠ 2$的度数。
1. 如图8，AB是$\odot O$的直径，C，D，E都是圆上的点，求$∠ 1+∠ 2$的度数。
答案
1. 90°
解析
【分析】
首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。要计算∠1+∠2的度数，我们先找到两个角各自对应的圆心角：∠1对着弧AE，对应的圆心角是∠AOE；∠2对着弧BE，对应的圆心角是∠BOE。因为AB是圆的直径，所以∠AOE和∠BOE组成平角，和为180°，结合圆周角定理即可求出两个角的度数和。
【解析】
解：连接OE，
根据圆周角定理可得：
$∠ 1=\frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOE$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOE+∠ BOE=180°$，
∴$∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理，平角的性质
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用类题目，解题核心是将圆周角转化为对应的圆心角，结合直径对应的圆心角为平角的性质即可快速求解，要求熟练掌握圆周角和圆心角的转换方法。
【难度系数】
0.8
首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。要计算∠1+∠2的度数，我们先找到两个角各自对应的圆心角：∠1对着弧AE，对应的圆心角是∠AOE；∠2对着弧BE，对应的圆心角是∠BOE。因为AB是圆的直径，所以∠AOE和∠BOE组成平角，和为180°，结合圆周角定理即可求出两个角的度数和。
【解析】
解：连接OE，
根据圆周角定理可得：
$∠ 1=\frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOE$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOE+∠ BOE=180°$，
∴$∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理，平角的性质
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用类题目，解题核心是将圆周角转化为对应的圆心角，结合直径对应的圆心角为平角的性质即可快速求解，要求熟练掌握圆周角和圆心角的转换方法。
【难度系数】
0.8
2. 如图9,AB为$\odot O$的直径,AB=AC,BC交$\odot O$于点D. 求证:$BD=DC$. 
答案
2. 提示:连接AD.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB是$\odot O$的直径，可联想到圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”，因此考虑作辅助线连接AD，得到$AD⊥ BC$；再结合已知$AB=AC$，可知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可推出$BD=DC$。
【解析】
证明：连接$AD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$为等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=DC$。
【答案】
$BD=DC$，得证
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题关键是根据直径的性质构造直角辅助线，结合等腰三角形性质即可快速推导结论，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：AB是$\odot O$的直径，可联想到圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”，因此考虑作辅助线连接AD，得到$AD⊥ BC$；再结合已知$AB=AC$，可知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可推出$BD=DC$。
【解析】
证明：连接$AD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$为等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=DC$。
【答案】
$BD=DC$，得证
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题关键是根据直径的性质构造直角辅助线，结合等腰三角形性质即可快速推导结论，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
3. 如图10，$△ ABC$内接于$\odot O$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ A=60°$. 求$\odot O$的直径. 
答案
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要求⊙O的直径，可通过构造含直径的直角三角形求解：①利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将已知的∠A=60°转化到直角三角形中；②结合直径所对圆周角为直角的性质，得到直角三角形后，利用边角关系或勾股定理即可求出直径长度。首先作辅助线：过B作⊙O的直径BD，连接CD，得到Rt△BCD，再利用角度关系和已知边长计算BD。
【解析】
解：过点B作⊙O的直径BD，连接CD。
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ ∠D与∠A都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠D=∠A=60°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△BCD中，BC=12 cm，∠D=60°，
由正弦的定义得$\sin D=\frac{BC}{BD}$，
代入数据得$BD=\frac{BC}{\sin60°}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
（也可用勾股定理求解：由∠CBD=30°得$CD=\frac{1}{2}BD$，设CD为$x$，BD为$2x$，列方程$x^2+12^2=(2x)^2$，解得$x=4\sqrt{3}$，故$BD=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，结果一致。）
【答案】
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆中求线段长度的典型题，解题关键是通过构造直径得到直角三角形，将圆周角的性质与直角三角形的边角关系结合求解，需熟练掌握这类常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的直径，可通过构造含直径的直角三角形求解：①利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将已知的∠A=60°转化到直角三角形中；②结合直径所对圆周角为直角的性质，得到直角三角形后，利用边角关系或勾股定理即可求出直径长度。首先作辅助线：过B作⊙O的直径BD，连接CD，得到Rt△BCD，再利用角度关系和已知边长计算BD。
【解析】
解：过点B作⊙O的直径BD，连接CD。
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ ∠D与∠A都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠D=∠A=60°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△BCD中，BC=12 cm，∠D=60°，
由正弦的定义得$\sin D=\frac{BC}{BD}$，
代入数据得$BD=\frac{BC}{\sin60°}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
（也可用勾股定理求解：由∠CBD=30°得$CD=\frac{1}{2}BD$，设CD为$x$，BD为$2x$，列方程$x^2+12^2=(2x)^2$，解得$x=4\sqrt{3}$，故$BD=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，结果一致。）
【答案】
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆中求线段长度的典型题，解题关键是通过构造直径得到直角三角形，将圆周角的性质与直角三角形的边角关系结合求解，需熟练掌握这类常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 下列四边形中，一定有外接圆的是(
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
1. 下列四边形中，一定有外接圆的是(
B
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案
1. B
解析
【分析】
解题前首先要明确：一个四边形有外接圆的充要条件是该四边形的对角互补（即两组对角的和均为180°）。接下来我们只需逐一分析每个选项中四边形的对角是否一定满足互补的条件即可：先回忆各类特殊四边形的角的性质，再判断是否恒满足对角互补，符合条件的就是正确选项。
【解析】
我们根据“对角互补的四边形有外接圆”这一判定规则逐一分析选项：
A. 平行四边形的性质为对角相等，仅当平行四边形为矩形时对角才互补，普通平行四边形对角和不为180°，因此不一定有外接圆；
B. 矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和都是90°+90°=180°，满足对角互补的要求，因此矩形一定有外接圆；
C. 菱形的性质为对角相等，仅当菱形为正方形时对角才互补，普通菱形对角和不为180°，因此不一定有外接圆；
D. 梯形中只有等腰梯形满足对角互补，直角梯形、普通梯形均不满足对角互补，因此不一定有外接圆。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的判定
2. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是基础概念结合型考题，解题的核心是牢记有外接圆的四边形的判定条件，同时熟练掌握常见特殊四边形的角的性质，两类知识点结合即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确：一个四边形有外接圆的充要条件是该四边形的对角互补（即两组对角的和均为180°）。接下来我们只需逐一分析每个选项中四边形的对角是否一定满足互补的条件即可：先回忆各类特殊四边形的角的性质，再判断是否恒满足对角互补，符合条件的就是正确选项。
【解析】
我们根据“对角互补的四边形有外接圆”这一判定规则逐一分析选项：
A. 平行四边形的性质为对角相等，仅当平行四边形为矩形时对角才互补，普通平行四边形对角和不为180°，因此不一定有外接圆；
B. 矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和都是90°+90°=180°，满足对角互补的要求，因此矩形一定有外接圆；
C. 菱形的性质为对角相等，仅当菱形为正方形时对角才互补，普通菱形对角和不为180°，因此不一定有外接圆；
D. 梯形中只有等腰梯形满足对角互补，直角梯形、普通梯形均不满足对角互补，因此不一定有外接圆。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的判定
2. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是基础概念结合型考题，解题的核心是牢记有外接圆的四边形的判定条件，同时熟练掌握常见特殊四边形的角的性质，两类知识点结合即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠D的度数为(
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
B
)A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
答案
2. B
解析
【分析】
本题可根据圆内接四边形的性质求解，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A、∠B、∠C的比例关系，首先找到互为对角的∠A和∠C，二者之和为180°，我们可以通过设参数的方式先求出每份角度的大小，再根据∠B与∠D互为对角、二者互补的关系求出∠D的度数。
【解析】
设∠A的度数为x，则根据比例可得∠B=2x，∠C=3x。
∵ 圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
代入得：$x + 3x = 180°$，
解得$x = 45°$，
∴ $∠ B = 2x = 2×45° = 90°$，
又
∵ ∠B和∠D为圆内接四边形的一组对角，满足对角互补，
∴ $∠ D = 180° - ∠ B = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例设参计算；多边形内角和
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题关键是利用对角的互补关系先求出比例参数，再计算所求角度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据圆内接四边形的性质求解，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A、∠B、∠C的比例关系，首先找到互为对角的∠A和∠C，二者之和为180°，我们可以通过设参数的方式先求出每份角度的大小，再根据∠B与∠D互为对角、二者互补的关系求出∠D的度数。
【解析】
设∠A的度数为x，则根据比例可得∠B=2x，∠C=3x。
∵ 圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
代入得：$x + 3x = 180°$，
解得$x = 45°$，
∴ $∠ B = 2x = 2×45° = 90°$，
又
∵ ∠B和∠D为圆内接四边形的一组对角，满足对角互补，
∴ $∠ D = 180° - ∠ B = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例设参计算；多边形内角和
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题关键是利用对角的互补关系先求出比例参数，再计算所求角度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
