3. 如图1，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ A=80°$，则$∠ C$的度数为()

A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$

3. C

【分析】
拿到本题首先提取题干关键条件：四边形ABCD内接于⊙O，由此可判定该四边形是圆内接四边形，结合所学知识可知圆内接四边形的核心性质为对角互补，即相对的两个内角之和为180°；观察待求角∠C与已知角∠A是四边形的一组对角，因此只需用180°减去∠A的度数，即可求出∠C的度数，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ A + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=80°$，代入得：
$∠ C = 180° - 80° = 100°$，
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形对角互补的性质，熟练识记该性质即可快速解题，无复杂变形和陷阱。
【难度系数】
0.9

4. 如图2,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,E是BC延长线上一点,若$∠ DCE=70°$,则$∠ BAD$的度数为()


A.$70°$
B.$110°$
C.$140°$
D.无法确定

4. A

【分析】
解题时先梳理已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE是BC延长线形成的外角，度数为70°，目标是求∠BAD的度数。我们可以从圆内接四边形的性质入手思考：思路1：直接运用圆内接四边形的外角等于它的内对角的性质，可直接得到两角相等关系；思路2：若暂时不记得外角性质，可先利用邻补角的定义求出∠BCD的度数，再结合圆内接四边形对角互补的性质，推导得到∠BAD的度数，两种路径都能顺利解题。
【解析】
∵ ∠DCE是BC延长线形成的角，
∴ ∠DCE + ∠BCD = 180°（邻补角的定义），
又
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴ ∠BAD = ∠DCE（同角的补角相等），
∵ ∠DCE=70°，
∴ ∠BAD=70°。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题，侧重考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握“圆内接四边形外角等于内对角”的性质可快速解题，也可通过补角的关系推导得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.85

5. 下列说法错误的是()

A.对角不互补的四边形一定没有外接圆
B.所有的四边形都有外接圆
C.圆内接平行四边形一定是矩形
D.圆内接梯形一定是等腰梯形

5. B

【分析】
本题考查圆内接四边形的判定与性质相关知识，解题思路如下：首先回忆核心结论：只有对角互补的四边形才有外接圆，圆内接四边形的对角互补；再结合平行四边形、梯形的特殊性质，逐一判断四个选项的正误，找出说法错误的选项即可。
【解析】
首先明确核心定理：①圆内接四边形的对角互补；②对角互补的四边形存在外接圆。
对各选项逐一分析：
A. 由定理②可知，有外接圆的四边形一定对角互补，因此对角不互补的四边形一定没有外接圆，该说法正确，不符合题意；
B. 只有对角互补的四边形才有外接圆，例如普通的非正方形菱形，对角相等但不互补，没有外接圆，因此不是所有四边形都有外接圆，该说法错误，符合题意；
C. 平行四边形的对角相等，若它是圆内接四边形，结合定理①可得对角既相等又互补，因此每个内角均为90°，即为矩形，该说法正确，不符合题意；
D. 梯形的上下底互相平行，因此同一腰上的两个角为同旁内角，和为180°；若它是圆内接四边形，结合定理①可推出梯形同一底上的两个内角相等，因此是等腰梯形，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质与判定
2. 平行四边形的性质
3. 梯形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握圆内接四边形对角互补的性质和对应的判定规则，结合常见特殊四边形的性质就能快速判断，做题时要注意审题，题目要求选出错误的说法，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 圆内接四边形ABCD中，∠A=50°，∠B=110°，则∠C=，∠D=。

1. 130°,70°

【分析】
遇到圆内接四边形求内角的问题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补（相对的两个内角之和为180°）。本题中∠A与∠C是一组对角，∠B与∠D是另一组对角，已知两个角的度数，分别用180°减去对应对角的度数，即可求出未知角的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A=50°$，$∠ B=110°$，代入计算：
$∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
$∠ D = 180° - ∠ B = 180° - 110° = 70°$
【答案】
$130°$，$70°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、角度运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆内接四边形对角互补性质的应用，牢记性质即可快速解题，计算量小。
【难度系数】
0.9

2. 圆内接四边形ABCD的四个内角度数之比∠A:∠B:∠C:∠D可以是:①1:2:3:4;②2:3:4:3;③2:4:3:5. 其中正确的有(填序号).

2. ②

【分析】
解题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C是对角、∠B与∠D是对角，两组对角的和都等于180°，因此两组对角对应的比例份数之和也必须相等。接下来我们只需分别计算三个比例中，第一和第三项的份数和、第二和第四项的份数和，判断二者是否相等即可筛选出正确选项。
【解析】
根据圆内接四边形对角互补的性质可得：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，即∠A与∠C的比例份数和 = ∠B与∠D的比例份数和。
① 对比例1:2:3:4：∠A+∠C的份数为1+3=4，∠B+∠D的份数为2+4=6，4≠6，不符合要求；
② 对比例2:3:4:3：∠A+∠C的份数为2+4=6，∠B+∠D的份数为3+3=6，6=6，符合要求；
③ 对比例2:4:3:5：∠A+∠C的份数为2+3=5，∠B+∠D的份数为4+5=9，5≠9，不符合要求。
综上只有②正确。
【答案】
②
【知识点】
圆内接四边形的性质、比的应用
【点评】
本题是基础性质应用题，解题关键是抓住圆内接四边形对角互补的特点，通过对比对角的份数和即可快速判断，无需计算具体角度，解题效率更高。
【难度系数】
0.8

3. 如图3, 四边形ABCD内接于$\odot O$, AB为$\odot O$的直径, $∠ ADC=125°$, 连接AC, 则$∠ BAC$的度数为.

3. 35°

【分析】
解题时先从已知条件入手：①四边形ABCD内接于圆，优先想到圆内接四边形对角互补，可通过已知的∠ADC求出∠ABC的度数；②AB为圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
已知$∠ ADC=125°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 125° = 55°$。
又
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$，
∴$∠ BAC = 90° - 55° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和直径所对圆周角的特征，结合三角形内角和相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图4，AB，BC为$\odot O$的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点.若$∠ CBD=65°$，则$∠ AOC=$.

4. 130°

【分析】
要计算圆心角∠AOC的度数，我们可以利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此首先需要找到劣弧AC所对的圆周角的度数。已知∠CBD=65°是圆的外角，结合圆内接四边形的外角等于内对角的性质，可先得到劣弧AC对应的圆周角度数，再代入圆周角定理即可求出∠AOC的大小。
【解析】
在优弧AC上任取一点P，连接AP、CP。
∵ 四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴ ∠APC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
又
∵ ∠CBD + ∠ABC = 180°（平角的定义），
∴ ∠APC = ∠CBD = 65°。
∵ ∠AOC是劣弧AC所对的圆心角，∠APC是劣弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AOC = 2∠APC = 2×65° = 130°（圆周角定理）。
【答案】
130°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，平角定义
【点评】
本题属于圆性质的基础应用类题目，解题的关键是通过圆内接四边形的外角性质建立已知角和待求圆心角对应的圆周角的联系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5*. 如图5，△ABC内接于$\odot O$且$∠ ACB=90°$，弦CD平分$∠ ACB$，连接AD，BD. 若AB=5，AC=4，则BD=，CD=.

5. $\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{7}{2}\sqrt{2}$

【分析】
解题时先从已知的∠ACB=90°入手，根据圆周角定理的推论可判断AB是⊙O的直径，进而得到∠ADB=90°；再由CD平分∠ACB得到两个45°的角，结合同弧所对的圆周角相等，可推出△ABD是等腰直角三角形，代入AB的长度即可求出BD的长。求CD时，可过点A作CD的垂线，构造等腰直角△ACE和直角△ADE，分别求出CE、DE的长度，二者相加就是CD的长度。
【解析】
解：1. 求BD的长：
∵∠ACB=90°，且∠ACB是⊙O的圆周角，
∴AB是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°。
∵∠ACD与∠ABD同对弧AD，∠BCD与∠BAD同对弧BD，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD。
在Rt△ABD中，AB=5，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2BD^2=25$，
解得$BD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$（边长为正，舍去负解）。
2. 求CD的长：
过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠ACE=45°，∠AEC=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AC=4，
∴$CE=AE=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
在Rt△ADE中，$AD=BD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$AE=2\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{5\sqrt{2}}{2})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{2}-8}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$CD=CE+DE=2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及推论；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角性质与直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是先利用90°圆周角的性质判断直径，得到等腰直角三角形，再通过作辅助线构造特殊直角三角形求解未知线段，需要熟练掌握特殊角度直角三角形的边长计算规律。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 如图6，四边形ABCD内接于$\odot O$，且$∠ A=90°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。若$AB=8$，$AD=6$，求BC的长。

1. 如图所示，连接BD，
∵∠A=90°,AB=8,AD=6,
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}$=10.
∵四边形ABCD内接于⊙O,∠A=90°,
∴∠BCD=90°.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴BC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}BD$=$5\sqrt{2}$.

【分析】
解题时先观察已知条件：四边形ABCD是圆内接四边形且∠A=90°，首先想到圆内接四边形对角互补，同时90°的圆周角所对的弦是直径，因此先连接BD，先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度；再由圆内接四边形的性质推出∠BCD=90°，结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$可得BC=CD，即△BCD是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的边长关系就能求出BC的长度。
【解析】
解：连接BD，
∵∠A=90°，AB=8，AD=6，
∴由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠BCD + ∠A = 180°，
∴∠BCD=180°-90°=90°，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴BC=CD，△BCD为等腰直角三角形，
∴$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×10=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角定理推论
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线BD，结合圆的基本性质判断出Rt△ABD和等腰Rt△BCD，考查学生对圆基础性质的掌握程度和几何计算能力。
【难度系数】
0.7