2. 如图7，CD是$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，且$AD// OB$. 若$∠ BAD=110°$，求$∠ D$的度数. 图7

2. 如图,连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形,且∠BAD=110°,
∴∠C=70°.
∵OB=OC,
∴∠BOC=180°-2×70°=40°.
∵AD//OB,
∴∠D=∠BOC=40°.

【分析】
要计算∠D的度数，已知AD//OB，可得∠D和∠BOC是同位角，二者相等，因此只需求出∠BOC的度数即可。已知∠BAD=110°，我们可以通过连接BC构造圆内接四边形ABCD，利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠C的度数；再结合OB、OC都是圆的半径，二者相等，△OBC是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数，最后结合平行线的性质就能得到∠D的度数。
【解析】
解：如图，连接BC，
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，且$∠ BAD=110°$，
根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ C = 180°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$，
∵OB和OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OBC = ∠ C = 70°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BOC = 180° - 2×70° = 40°$，
又
∵$AD// OB$，根据两直线平行，同位角相等，
∴$∠ D = ∠ BOC = 40°$。
【答案】
$∠ D$的度数为$\boxed{40°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题关键是正确作出辅助线构造圆内接四边形，把已知角和待求角通过圆心角、平行线性质建立关联，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

【拓展思考】
问题提出:我们知道,同弧或等弧所对的圆周角都相等,且等于这条弧所对的圆心角的一半.那么,在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系?
(1)初步思考:如图8,AB是$\odot O$的弦,$∠ AOB=100°$,点$P_1$、$P_2$分别是优弧AB和劣弧AB上的点,则$∠ AP_1B=$,$∠ AP_2B=$;
(2)继续探究:如图9,AB是$\odot O$的弦,圆心角$∠ AOB=m(0°＜m＜180°)$,求弦AB所对的圆周角$∠ APB$的度数(用$m$的代数式表示);
(3)问题解决:如图10,已知线段AB,$∠ ACB=135°$,且点C在线段AB的上方,用尺规作图的方法作出满足条件的所有点C所组成的图形(不写作法,保留作图痕迹).

(1) 50°,130°
(2) 在优弧AB上:$∠ APB=(\frac{m}{2})$;在劣弧AB上:$∠ APB=180°-(\frac{m}{2})$
(3) 如图,①作线段AB的垂直平分线,交AB于点P;
②以点P为圆心,以$\frac{1}{2}AB$为半径作圆,交垂直平分线于点O;
③以O为圆心,以OA为半径作圆,则劣弧AB(实线部分且不包含A、B两个端点)就是所满足条件的点C所组成的图形.

【分析】
本题围绕同一条弦所对的圆周角与圆心角的关系展开，解题思路如下：
(1) 第一问已知圆心角∠AOB的度数，求优弧、劣弧上的圆周角，直接运用圆周角定理，再结合圆内接四边形对角互补的性质即可求解；
(2) 第二问是一般化推导，注意弦AB对应两条弧（优弧、劣弧），需要分类讨论两种情况下圆周角对应的圆心角，再用圆周角定理计算即可；
(3) 第三问是轨迹作图，已知∠ACB=135°，结合(2)的结论可推出弦AB对应的圆心角为90°，据此确定圆心位置，再画出满足点C在AB上方的弧即可。
【解析】
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，点$P_1$在优弧AB上，所对的圆心角为$∠AOB=100°$，因此$∠AP_1B=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$。
由于四边形$AP_1BP_2$是$\odot O$的内接四边形，对角互补，因此$∠AP_2B=180°-∠AP_1B=180°-50°=130°$。
(2) 弦AB对应两条弧，需分类讨论：
① 当点P在优弧AB上时，$∠APB$所对的弧为劣弧AB，对应圆心角为$m$，由圆周角定理得$∠APB=\frac{1}{2}m$；
② 当点P在劣弧AB上时，$∠APB$所对的弧为优弧AB，对应圆心角为$360° - m$，由圆周角定理得$∠APB=\frac{1}{2}(360° - m)=180°-\frac{m}{2}$。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为$\frac{m}{2}$或$180°-\frac{m}{2}$。
(3) 作图步骤如下（保留作图痕迹）：
① 作线段AB的垂直平分线，交AB于点P；
② 以点P为圆心，以$\frac{1}{2}AB$为半径作圆，交垂直平分线于点O；
③ 以O为圆心，以OA为半径作圆，劣弧AB（AB上方的实线部分，不含A、B端点）即为所求图形。
【答案】
(1) $50°$，$130°$
(2) 当点P在优弧AB上时，$∠ APB=\frac{m}{2}$；当点P在劣弧AB上时，$∠ APB=180°-\frac{m}{2}$
(3)
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，尺规作图
【点评】
本题从特殊到一般探究了同弦所对圆周角的性质，考查了分类讨论思想的应用，作图题需要结合圆周角和圆心角的关系反推圆心位置，能有效锻炼逻辑推理和动手实践能力，解题时注意不要漏记弦所对圆周角有两种情况。
【难度系数】
0.7