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2. 如图4，AB为半圆的直径，C，D，E为半圆上的点，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$，$∠ BOE=55°$，则$∠ AOC$的度数为
15°
。答案
2. 15°
解析
【分析】
解题时首先明确：AB是半圆的直径，所以∠AOB是平角，度数为180°；再结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等的性质，已知$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$，可得这三段弧对应的圆心角相等，都等于已知的∠BOE=55°；最后用平角的度数减去三个相等圆心角的度数和，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵AB为半圆的直径，
∴$∠ AOB=180°$。
∵在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$，
∴$∠ COD=∠ DOE=∠ BOE=55°$。
∴$∠ AOC=∠ AOB-∠ COD-∠ DOE-∠ BOE$
$=180° - 3×55°$
$=180° - 165°$
$=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查同圆中弧与对应圆心角的等量关系，只要掌握相关性质，结合平角的度数即可快速求解，计算过程中注意不要漏算相同圆心角的个数。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确：AB是半圆的直径，所以∠AOB是平角，度数为180°；再结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等的性质，已知$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$，可得这三段弧对应的圆心角相等，都等于已知的∠BOE=55°；最后用平角的度数减去三个相等圆心角的度数和，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵AB为半圆的直径，
∴$∠ AOB=180°$。
∵在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EB}$，
∴$∠ COD=∠ DOE=∠ BOE=55°$。
∴$∠ AOC=∠ AOB-∠ COD-∠ DOE-∠ BOE$
$=180° - 3×55°$
$=180° - 165°$
$=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查同圆中弧与对应圆心角的等量关系，只要掌握相关性质，结合平角的度数即可快速求解，计算过程中注意不要漏算相同圆心角的个数。
【难度系数】
0.85
3. 在$\odot O$中，弦AB的长为$2\sqrt{3}$，圆心角$∠ AOB$为$120°$，则$\odot O$的半径为
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
要求圆的半径，已知弦长和对应的圆心角，首先圆的半径相等，可得△AOB是等腰三角形。我们可以过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理平分弦、平分对应圆心角的性质，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再结合直角三角形的勾股定理或者边角关系即可求出半径长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C：
1. 根据垂径定理，OC平分弦AB，也平分圆心角∠AOB，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
2. 设$\odot O$的半径为$r$，即$OA=r$，在$Rt△ AOC$中，$∠ OAC=30°$，因此$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$。
3. 根据勾股定理$OA^2=OC^2+AC^2$，代入数值可得：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(\sqrt{3})^2$，整理得$\frac{3}{4}r^2=3$，解得$r^2=4$，因为半径为正数，所以$r=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中基础计算题型，核心解题思路是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和直角三角形的性质求解，是圆心角、弦长相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
要求圆的半径，已知弦长和对应的圆心角，首先圆的半径相等，可得△AOB是等腰三角形。我们可以过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理平分弦、平分对应圆心角的性质，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再结合直角三角形的勾股定理或者边角关系即可求出半径长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C：
1. 根据垂径定理，OC平分弦AB，也平分圆心角∠AOB，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
2. 设$\odot O$的半径为$r$，即$OA=r$，在$Rt△ AOC$中，$∠ OAC=30°$，因此$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$。
3. 根据勾股定理$OA^2=OC^2+AC^2$，代入数值可得：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(\sqrt{3})^2$，整理得$\frac{3}{4}r^2=3$，解得$r^2=4$，因为半径为正数，所以$r=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中基础计算题型，核心解题思路是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和直角三角形的性质求解，是圆心角、弦长相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图5,AB为直径,AD=DC=BC,则∠CBA=
60°
.答案
4. 60°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB是圆的直径，可得半圆对应的圆心角为180°；已知AD=DC=BC，根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等，可将180°的平角平均分成3份，得到弧BC对应的圆心角的度数；再结合圆的半径相等，可判断△OBC的形状，进而求出∠CBA的度数。
【解析】
解：连接OD、OC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°。
∵ AD = DC = BC，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，即∠AOD = ∠DOC = ∠COB。
∴ ∠COB = 180° ÷ 3 = 60°。
又
∵ OC = OB（圆的半径相等），
∴ △OBC是等腰三角形，且顶角∠COB=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠CBA = ∠OBC = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
1. 同圆弦与圆心角的关系
2. 等边三角形的判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握同圆内弦、弧、圆心角的对应相等关系，结合特殊三角形的性质即可快速求解，考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：AB是圆的直径，可得半圆对应的圆心角为180°；已知AD=DC=BC，根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等，可将180°的平角平均分成3份，得到弧BC对应的圆心角的度数；再结合圆的半径相等，可判断△OBC的形状，进而求出∠CBA的度数。
【解析】
解：连接OD、OC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°。
∵ AD = DC = BC，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，即∠AOD = ∠DOC = ∠COB。
∴ ∠COB = 180° ÷ 3 = 60°。
又
∵ OC = OB（圆的半径相等），
∴ △OBC是等腰三角形，且顶角∠COB=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠CBA = ∠OBC = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
1. 同圆弦与圆心角的关系
2. 等边三角形的判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握同圆内弦、弧、圆心角的对应相等关系，结合特殊三角形的性质即可快速求解，考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图6,在$\odot O$中,已知$AD=BC$. 求证:$AB=CD$.
1. 如图6,在$\odot O$中,已知$AD=BC$. 求证:$AB=CD$.
答案
1. 提示: 证明$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$.
解析
【分析】
要证明弦$AB=CD$，根据同圆中弧与弦的对等关系，可先证明两条弦对应的劣弧相等。已知$AD=BC$，依据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；观察图形可知，两段弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，就能得到待证弦对应的$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$相等，再根据同圆中相等的弧所对的弦相等，即可推出结论。
【解析】
证明：
$\because$ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
$\therefore$ 由同圆中相等的弦所对的劣弧相等，得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore$ 由同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$，得证
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等式的基本性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是利用同圆内弦和弧的相互转化建立已知与待证的联系，只需熟练掌握弧、弦的对应关系即可轻松解答，解题时注意公共弧的桥梁作用。
【难度系数】
0.8
要证明弦$AB=CD$，根据同圆中弧与弦的对等关系，可先证明两条弦对应的劣弧相等。已知$AD=BC$，依据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；观察图形可知，两段弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，就能得到待证弦对应的$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$相等，再根据同圆中相等的弧所对的弦相等，即可推出结论。
【解析】
证明：
$\because$ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
$\therefore$ 由同圆中相等的弦所对的劣弧相等，得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore$ 由同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$，得证
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等式的基本性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是利用同圆内弦和弧的相互转化建立已知与待证的联系，只需熟练掌握弧、弦的对应关系即可轻松解答，解题时注意公共弧的桥梁作用。
【难度系数】
0.8
2. 如图7,在$\odot O$中,AB,DE为$\odot O$的直径,C是$\odot O$上一点,且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$.
(1)BE与CE有什么数量关系?为什么?
(2)若$∠ BOE=60°$,则四边形OACE是什么特殊的四边形?请说明理由.
(1)BE与CE有什么数量关系?为什么?
(2)若$∠ BOE=60°$,则四边形OACE是什么特殊的四边形?请说明理由.
答案
2. (1) BE=CE, 理由略 (2) 连接OC.
∵∠BOE=60°, BE=CE,
∴∠COE=60°.
∵OC=OE,
∴△COE是等边三角形.
∵∠AOC=180°-60°-60°=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴OE=CE=OA=AC=OC,
∴四边形OACE是菱形.
∵∠BOE=60°, BE=CE,
∴∠COE=60°.
∵OC=OE,
∴△COE是等边三角形.
∵∠AOC=180°-60°-60°=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴OE=CE=OA=AC=OC,
∴四边形OACE是菱形.
解析
【分析】
(1) 要判断BE和CE的数量关系，可转化为判断二者所对的弧$\overset{\frown}{BE}$和$\overset{\frown}{CE}$是否相等：已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，结合AB、DE是直径，对顶角相等可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，即可推出弧相等进而得到弦相等。
(2) 要判断四边形OACE的形状，先连接OC，结合∠BOE=60°和(1)的结论可得∠COE=60°，先证△COE是等边三角形，再推导∠AOC=60°证△AOC是等边三角形，最终得到四边形四条边相等即可判定为菱形。
【解析】
(1) $BE=CE$，理由如下：
∵AB、DE为$\odot O$的直径，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴同圆中相等的弧所对的弦相等，故$BE=CE$。
(2) 四边形OACE是菱形，理由如下：
连接OC，
∵∠BOE=60°，由(1)知$BE=CE$，
∴相等的弦所对的圆心角相等，即∠COE=∠BOE=60°，
∵OC=OE（都是$\odot O$的半径），
∴△COE是等边三角形，
∴$CE=OE=OC$，
又
∵∠AOC=180°-∠BOE-∠COE=180°-60°-60°=60°，且OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴△AOC是等边三角形，
∴$AC=OA=OC$，
∴$OA=AC=CE=OE$，
∴四条边相等的四边形是菱形，即四边形OACE是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CE}$；(2) 四边形$\boldsymbol{OACE}$是菱形。
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等边三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题将圆的基本性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是熟练运用同圆中圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，结合等边三角形的性质推导边的等量关系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断BE和CE的数量关系，可转化为判断二者所对的弧$\overset{\frown}{BE}$和$\overset{\frown}{CE}$是否相等：已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，结合AB、DE是直径，对顶角相等可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，即可推出弧相等进而得到弦相等。
(2) 要判断四边形OACE的形状，先连接OC，结合∠BOE=60°和(1)的结论可得∠COE=60°，先证△COE是等边三角形，再推导∠AOC=60°证△AOC是等边三角形，最终得到四边形四条边相等即可判定为菱形。
【解析】
(1) $BE=CE$，理由如下：
∵AB、DE为$\odot O$的直径，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴同圆中相等的弧所对的弦相等，故$BE=CE$。
(2) 四边形OACE是菱形，理由如下：
连接OC，
∵∠BOE=60°，由(1)知$BE=CE$，
∴相等的弦所对的圆心角相等，即∠COE=∠BOE=60°，
∵OC=OE（都是$\odot O$的半径），
∴△COE是等边三角形，
∴$CE=OE=OC$，
又
∵∠AOC=180°-∠BOE-∠COE=180°-60°-60°=60°，且OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴△AOC是等边三角形，
∴$AC=OA=OC$，
∴$OA=AC=CE=OE$，
∴四条边相等的四边形是菱形，即四边形OACE是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CE}$；(2) 四边形$\boldsymbol{OACE}$是菱形。
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等边三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题将圆的基本性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是熟练运用同圆中圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，结合等边三角形的性质推导边的等量关系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图8，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的两点，且C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，若$∠ BAD=20°$，求$∠ ACO$的度数.
答案
3. 由垂径定理的推论,得OC⊥AD,则∠AOC=70°,
∴∠ACO=55°.
∴∠ACO=55°.
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，结合“C为$\overset{\frown}{AD}$的中点”的条件，回忆垂径定理推论，平分弧的半径垂直于该弧所对的弦，可得OC⊥AD；第二步，已知∠BAD=20°，结合垂直关系可推出∠AOC的度数；第三步，OA和OC都是圆的半径，长度相等，即△AOC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等的性质即可求出∠ACO的度数。
【解析】
解：
∵C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，OC是$\odot O$的半径，
∴由垂径定理的推论可得：$OC⊥ AD$，
∴$∠ BAD + ∠ AOC = 90°$，
已知$∠ BAD=20°$，代入得$∠ AOC=90° - 20°=70°$，
又
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$是等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACO=\frac{180° - ∠ AOC}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
垂径定理推论；等腰三角形性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题型，解题的核心是抓住弧中点的条件推导垂直关系，再结合等腰三角形的性质计算角度，此类题型是圆章节的高频基础考点，需要熟练掌握垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：第一步，结合“C为$\overset{\frown}{AD}$的中点”的条件，回忆垂径定理推论，平分弧的半径垂直于该弧所对的弦，可得OC⊥AD；第二步，已知∠BAD=20°，结合垂直关系可推出∠AOC的度数；第三步，OA和OC都是圆的半径，长度相等，即△AOC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等的性质即可求出∠ACO的度数。
【解析】
解：
∵C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，OC是$\odot O$的半径，
∴由垂径定理的推论可得：$OC⊥ AD$，
∴$∠ BAD + ∠ AOC = 90°$，
已知$∠ BAD=20°$，代入得$∠ AOC=90° - 20°=70°$，
又
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$是等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACO=\frac{180° - ∠ AOC}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
垂径定理推论；等腰三角形性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题型，解题的核心是抓住弧中点的条件推导垂直关系，再结合等腰三角形的性质计算角度，此类题型是圆章节的高频基础考点，需要熟练掌握垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
