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6.如图,在△ABC中,BC＞BA,在BC上截取BD=BA,作∠ABC的平分线与AD交于点P,连结PC,若△ABC的面积为4cm²,则△BPC的面积为 (
A.0.5cm²
B.1cm²
C.1.5cm²
D.2cm²
D
)A.0.5cm²
B.1cm²
C.1.5cm²
D.2cm²
答案
6.D
解析
【分析】解题时先从已知条件入手：BD=BA说明△ABD是等腰三角形，BP是∠ABC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得P是AD的中点；再结合等底同高的三角形面积相等的规律，可推出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入已知面积即可求出结果。
【解析】
解：
∵BD=BA，BP平分∠ABC，
∴BP是等腰△ABD底边AD上的中线（等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合），即AP=PD。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$ S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD} $，$ S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD} $
∴$ S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC} $
已知$ S_{△ ABC}=4\mathrm{cm}^2 $，代入得：
$ S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}^2 $
【答案】D
【知识点】等腰三角形三线合一；等底同高三角形面积关系；三角形面积计算
【点评】本题属于三角形相关的基础常考题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到AD的中点P，再通过面积的和差关系推导出所求三角形与原三角形的面积比例，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵BD=BA，BP平分∠ABC，
∴BP是等腰△ABD底边AD上的中线（等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合），即AP=PD。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$ S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD} $，$ S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD} $
∴$ S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC} $
已知$ S_{△ ABC}=4\mathrm{cm}^2 $，代入得：
$ S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}^2 $
【答案】D
【知识点】等腰三角形三线合一；等底同高三角形面积关系；三角形面积计算
【点评】本题属于三角形相关的基础常考题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到AD的中点P，再通过面积的和差关系推导出所求三角形与原三角形的面积比例，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.8
7. 如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠E,AB=AE,BC=DE,M为CD中点.
求证:AM⊥CD.
求证:AM⊥CD.
答案
证明：连接AC，AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠B=∠E \\BC=DE\end{array} $
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD
∴△ACD是等腰三角形
∵M为CD中点，即AM是等腰△ACD底边CD上的中线
由等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠B=∠E \\BC=DE\end{array} $
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD
∴△ACD是等腰三角形
∵M为CD中点，即AM是等腰△ACD底边CD上的中线
由等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
解析
【分析】
要证明$AM⊥CD$，已知$M$是$CD$的中点，若能证明$△ ACD$是等腰三角形（即$AC=AD$），就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$AM⊥CD$。观察已知条件：$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=DE$，符合全等三角形的SAS判定条件，因此考虑连接$AC$、$AD$，先证明$△ ABC≌△ AED$，从而得到$AC=AD$，再结合等腰三角形的性质完成证明。
【解析】
证明：连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=DE\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ AED$（SAS）
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形
$\because M$为$CD$的中点，即$AM$是等腰$△ ACD$底边$CD$上的中线
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
【答案】
证明：连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=DE\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ AED$（SAS）
$\therefore AC=AD$
$\therefore△ ACD$是等腰三角形
$\because M$为$CD$中点，即$AM$是等腰$△ ACD$底边$CD$上的中线
由等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将已知的边、角相等条件转化为待证等腰三角形的腰相等，再结合等腰三角形的性质完成垂直的证明，解题思路清晰，属于几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明$AM⊥CD$，已知$M$是$CD$的中点，若能证明$△ ACD$是等腰三角形（即$AC=AD$），就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$AM⊥CD$。观察已知条件：$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=DE$，符合全等三角形的SAS判定条件，因此考虑连接$AC$、$AD$，先证明$△ ABC≌△ AED$，从而得到$AC=AD$，再结合等腰三角形的性质完成证明。
【解析】
证明：连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=DE\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ AED$（SAS）
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形
$\because M$为$CD$的中点，即$AM$是等腰$△ ACD$底边$CD$上的中线
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
【答案】
证明：连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=DE\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ AED$（SAS）
$\therefore AC=AD$
$\therefore△ ACD$是等腰三角形
$\because M$为$CD$中点，即$AM$是等腰$△ ACD$底边$CD$上的中线
由等腰三角形三线合一的性质，可得$AM⊥CD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将已知的边、角相等条件转化为待证等腰三角形的腰相等，再结合等腰三角形的性质完成垂直的证明，解题思路清晰，属于几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,点E为AC边上一点.
(1)如图 1,若∠α=35°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠β=
(2)如图 2,若∠α=46°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠β=
★(3)如图 3,D为BC上任意一点.请你思考,若AD=AE,则∠α和∠β之间有什么关系?请你写出来,并说明你的理由.
(1)如图 1,若∠α=35°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠β=
17.5°
.(2)如图 2,若∠α=46°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠β=
23°
.★(3)如图 3,D为BC上任意一点.请你思考,若AD=AE,则∠α和∠β之间有什么关系?请你写出来,并说明你的理由.
答案
8.(1)17.5° (2)23° (3)$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$ 理由略
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的相关性质求解角度关系，解题思路如下：
1. （1）（2）问中，首先利用等腰△ABC“三线合一”的性质，明确AD作为BC边上的高同时也是顶角平分线，可得∠DAC=∠α、∠ADC=90°；再结合AD=AE可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和算出∠ADE的度数，最后通过∠ADC=∠ADE+∠β的和差关系求出∠β。
2. （3）问为一般情况推导，先根据AD=AE得到∠ADE=∠AED，再结合三角形外角的性质，分别表示出∠ADC和∠AED的角度关系，利用等腰△ABC中∠B=∠C做等量代换，消去公共角后即可推导∠α和∠β的数量关系。
【解析】
(1)
∵AB=AC，AD是BC边上的高
∴AD平分∠BAC，且∠ADC=90°，即∠DAC=∠α=35°
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-35°)÷2=72.5°
又
∵∠ADC=∠ADE+∠β=90°
∴∠β=90°-72.5°=17.5°
(2) 同理，
∵AB=AC，AD是BC边上的高
∴∠DAC=∠α=46°，∠ADC=90°
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-46°)÷2=67°
∴∠β=90°-67°=23°
(3) 关系为$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β ①
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠β ②
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
将②代入①得：$∠ B + ∠ α = (∠ C + ∠ β) + ∠ β$
消去等量∠B和∠C，可得$∠ α=2∠ β$，即$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$
【答案】
(1)$17.5°$；(2)$23°$；(3)$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况到一般情况逐步设问，重点考查等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质的灵活应用，需要熟练掌握角度和差、外角的等量关系，通过代换推导角的数量关系，是等腰三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形的相关性质求解角度关系，解题思路如下：
1. （1）（2）问中，首先利用等腰△ABC“三线合一”的性质，明确AD作为BC边上的高同时也是顶角平分线，可得∠DAC=∠α、∠ADC=90°；再结合AD=AE可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和算出∠ADE的度数，最后通过∠ADC=∠ADE+∠β的和差关系求出∠β。
2. （3）问为一般情况推导，先根据AD=AE得到∠ADE=∠AED，再结合三角形外角的性质，分别表示出∠ADC和∠AED的角度关系，利用等腰△ABC中∠B=∠C做等量代换，消去公共角后即可推导∠α和∠β的数量关系。
【解析】
(1)
∵AB=AC，AD是BC边上的高
∴AD平分∠BAC，且∠ADC=90°，即∠DAC=∠α=35°
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-35°)÷2=72.5°
又
∵∠ADC=∠ADE+∠β=90°
∴∠β=90°-72.5°=17.5°
(2) 同理，
∵AB=AC，AD是BC边上的高
∴∠DAC=∠α=46°，∠ADC=90°
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-46°)÷2=67°
∴∠β=90°-67°=23°
(3) 关系为$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β ①
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠β ②
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
将②代入①得：$∠ B + ∠ α = (∠ C + ∠ β) + ∠ β$
消去等量∠B和∠C，可得$∠ α=2∠ β$，即$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$
【答案】
(1)$17.5°$；(2)$23°$；(3)$∠ β =\frac{1}{2}∠ α$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况到一般情况逐步设问，重点考查等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质的灵活应用，需要熟练掌握角度和差、外角的等量关系，通过代换推导角的数量关系，是等腰三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
