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1. 下列说法中错误的是 （
A.等腰三角形是轴对称图形
B.等腰三角形的两个底角相等
C.等腰三角形的角平分线、底边上的中线、高线互相重合
D.有两条边相等的三角形是等腰三角形
C
）A.等腰三角形是轴对称图形
B.等腰三角形的两个底角相等
C.等腰三角形的角平分线、底边上的中线、高线互相重合
D.有两条边相等的三角形是等腰三角形
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的相关概念与性质，解题时需要逐一对应知识点判断每个选项的表述是否准确。首先回忆等腰三角形的定义、基本性质、轴对称属性，尤其要注意“三线合一”的适用限定条件，避免误判表述不严谨的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：等腰三角形沿底边上的高所在直线对折，直线两旁的部分可以完全重合，属于轴对称图形，该表述正确，不符合题意；
B选项：根据等腰三角形“等边对等角”的性质，等腰三角形的两个底角相等，该表述正确，不符合题意；
C选项：等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，选项中没有添加“顶角”“底边”的限定，表述错误，符合题意；
D选项：该表述是等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形就是等腰三角形，表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质
3.三线合一的适用条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对等腰三角形相关性质的准确记忆，易错点是对“三线合一”的限定条件记忆不全，忽略“顶角”“底边”的限定就容易判断失误。
【难度系数】
0.7
这道题考查等腰三角形的相关概念与性质，解题时需要逐一对应知识点判断每个选项的表述是否准确。首先回忆等腰三角形的定义、基本性质、轴对称属性，尤其要注意“三线合一”的适用限定条件，避免误判表述不严谨的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：等腰三角形沿底边上的高所在直线对折，直线两旁的部分可以完全重合，属于轴对称图形，该表述正确，不符合题意；
B选项：根据等腰三角形“等边对等角”的性质，等腰三角形的两个底角相等，该表述正确，不符合题意；
C选项：等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，选项中没有添加“顶角”“底边”的限定，表述错误，符合题意；
D选项：该表述是等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形就是等腰三角形，表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质
3.三线合一的适用条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对等腰三角形相关性质的准确记忆，易错点是对“三线合一”的限定条件记忆不全，忽略“顶角”“底边”的限定就容易判断失误。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)若$AD$是$BC$边上的中线，$∠ BAC=50°$，则$∠ ADC=$，$∠ BAD=$.
(2)若$AD⊥ BC$，$BD=2\mathrm{cm}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
(1)若$AD$是$BC$边上的中线，$∠ BAC=50°$，则$∠ ADC=$，$∠ BAD=$.
(2)若$AD⊥ BC$，$BD=2\mathrm{cm}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
2.(1)90° 25° (2)4
解析
【分析】
解题前先识别图形特征：已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，解题核心是运用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合）。
针对(1)：已知AD是BC边上的中线，结合三线合一可知AD同时是BC边上的高、∠BAC的角平分线，据此可直接计算∠ADC和∠BAD的度数。
针对(2)：已知AD⊥BC，结合三线合一可知AD是BC边上的中线，即D为BC中点，由此可求出BC的长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质：
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC。
∴ ∠ADC=90°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
(2)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
∴ D是BC的中点，即BC=2BD。
∵ BD=2cm，
∴ BC=2×2=4cm。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$，$\boxed{25°}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，角度计算，线段长度计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，核心考查对“三线合一”性质的理解与直接运用，只要明确等腰三角形中底边上的中线、高、顶角平分线三者重合的对应关系，即可快速求解，是等腰三角形章节的常规基础题。
【难度系数】
0.9
解题前先识别图形特征：已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，解题核心是运用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合）。
针对(1)：已知AD是BC边上的中线，结合三线合一可知AD同时是BC边上的高、∠BAC的角平分线，据此可直接计算∠ADC和∠BAD的度数。
针对(2)：已知AD⊥BC，结合三线合一可知AD是BC边上的中线，即D为BC中点，由此可求出BC的长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质：
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC。
∴ ∠ADC=90°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
(2)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
∴ D是BC的中点，即BC=2BD。
∵ BD=2cm，
∴ BC=2×2=4cm。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$，$\boxed{25°}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，角度计算，线段长度计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，核心考查对“三线合一”性质的理解与直接运用，只要明确等腰三角形中底边上的中线、高、顶角平分线三者重合的对应关系，即可快速求解，是等腰三角形章节的常规基础题。
【难度系数】
0.9
3.如图，$△ ABC$的周长为16，且$AB=AC$，$AD⊥ BC$于点$D$，$△ ACD$的周长为12，那么$AD$的长为
4
。答案
3.4
解析
【分析】
首先明确△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，可结合等腰三角形三线合一的性质得到BD=CD。先利用△ABC的周长推导得出AC与CD的和，再代入△ACD的周长表达式，就能直接求出AD的长度，无需单独计算AC、CD的具体值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD$。
∵$△ ABC$的周长为16，
∴$AB+AC+BC=16$，
又
∵$AB=AC$，$BC=BD+CD=2CD$，
∴$2AC + 2CD = 16$，
化简得：$AC + CD = 8$。
∵$△ ACD$的周长为12，
∴$AC + CD + AD = 12$，
将$AC+CD=8$代入上式，得：
$8 + AD = 12$，
解得$AD=4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算，整体代换
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质，借助整体代换的思想简化运算，避免单独求解线段长度带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
首先明确△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，可结合等腰三角形三线合一的性质得到BD=CD。先利用△ABC的周长推导得出AC与CD的和，再代入△ACD的周长表达式，就能直接求出AD的长度，无需单独计算AC、CD的具体值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD$。
∵$△ ABC$的周长为16，
∴$AB+AC+BC=16$，
又
∵$AB=AC$，$BC=BD+CD=2CD$，
∴$2AC + 2CD = 16$，
化简得：$AC + CD = 8$。
∵$△ ACD$的周长为12，
∴$AC + CD + AD = 12$，
将$AC+CD=8$代入上式，得：
$8 + AD = 12$，
解得$AD=4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算，整体代换
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质，借助整体代换的思想简化运算，避免单独求解线段长度带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB=AC，AD=AE.求证:BD=CE.
答案
证明：
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
又∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
又∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
解析
【分析】
要证明BD=CE，观察图形可知BD和CE都在底边BC上，题目给出了△ABC（AB=AC）和△ADE（AD=AE）两个等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质。我们可以过点A作BC的垂线，该垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，由此能得到两组相等的线段，再通过线段差的运算即可推出BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
又
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
1.等腰三角形三线合一性质
2.线段的和差运算
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，解题的关键是结合图形特征合理作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到相等线段，再通过线段的差运算推导结论，能有效巩固等腰三角形的核心性质。
【难度系数】
0.85
要证明BD=CE，观察图形可知BD和CE都在底边BC上，题目给出了△ABC（AB=AC）和△ADE（AD=AE）两个等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质。我们可以过点A作BC的垂线，该垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，由此能得到两组相等的线段，再通过线段差的运算即可推出BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
又
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
1.等腰三角形三线合一性质
2.线段的和差运算
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，解题的关键是结合图形特征合理作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到相等线段，再通过线段的差运算推导结论，能有效巩固等腰三角形的核心性质。
【难度系数】
0.85
5.如图，AB=AC，BD=DC，AE是△ABC的外角∠FAC的平分线，AE与AD是否垂直？为什么？
（第5题）
（第5题）答案
解：AE与AD垂直，理由如下：
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角），
即 $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ AE平分$∠ FAC$，
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
又∵ $∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
即 $∠ DAE = 90°$，
∴ $AE ⊥ AD$。
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角），
即 $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ AE平分$∠ FAC$，
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
又∵ $∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
即 $∠ DAE = 90°$，
∴ $AE ⊥ AD$。
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：①AB=AC，说明△ABC是等腰三角形；②BD=DC，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线；③AE是外角∠FAC的平分线。首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分顶角∠BAC；再结合AE是外角∠FAC的平分线，而∠BAC和∠FAC是邻补角，和为180°，可计算出∠CAD与∠CAE的和为90°，即可判断AE与AD垂直。
【解析】
AE与AD垂直，理由如下：
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角），
即 $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ AE平分$∠ FAC$，
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
又
∵ $∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
即 $∠ DAE = 90°$，
∴ $AE ⊥ AD$。
【答案】
$AE ⊥ AD$（或AE与AD互相垂直）
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到AD为顶角平分线，再结合角平分线定义和邻补角的特征推导夹角为90°即可完成证明，需要学生熟练掌握等腰三角形相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：①AB=AC，说明△ABC是等腰三角形；②BD=DC，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线；③AE是外角∠FAC的平分线。首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分顶角∠BAC；再结合AE是外角∠FAC的平分线，而∠BAC和∠FAC是邻补角，和为180°，可计算出∠CAD与∠CAE的和为90°，即可判断AE与AD垂直。
【解析】
AE与AD垂直，理由如下：
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角），
即 $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ AE平分$∠ FAC$，
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
又
∵ $∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
即 $∠ DAE = 90°$，
∴ $AE ⊥ AD$。
【答案】
$AE ⊥ AD$（或AE与AD互相垂直）
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到AD为顶角平分线，再结合角平分线定义和邻补角的特征推导夹角为90°即可完成证明，需要学生熟练掌握等腰三角形相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
