题型2 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 60^{\circ}$,延长 $BC$ 到点 $D$,延长 $BA$ 到点 $E$,使 $AE = BD$,连接 $CE$,$DE$,使 $EC = DE$,求证：$\triangle ABC$ 是等边三角形。

1. 首先，延长$BD$到$F$，使$DF = BC$，连接$EF$：
因为$EC = DE$，所以$\angle ECD=\angle EDC$，则$\angle ECB=\angle EDF$。
在$\triangle EBC$和$\triangle EFD$中：
已知$BC = DF$，$\angle ECB=\angle EDF$，$EC = DE$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle EBC\cong\triangle EFD$。
所以$EB = EF$。
2. 然后，因为$\angle B = 60^{\circ}$：
由于$EB = EF$，$\angle B = 60^{\circ}$，根据“有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形”，可知$\triangle EBF$是等边三角形。
所以$EB=BF$。
3. 接着，因为$AE = BD$，$DF = BC$：
又$BF=BD + DF$，$EB=AE + AB$，且$EB = BF$，$AE = BD$，$DF = BC$。
所以$AB = BC$。
4. 最后：
因为$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = BC$。
根据“有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形”，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
综上，$\triangle ABC$是等边三角形得证。

题型3 如图,延长 $\triangle ABC$ 的各边,使得 $BF = AC$,$AE = CD = AB$,顺次连接 $D$,$E$,$F$,得到等边三角形 $DEF$。
求证：(1) $\triangle AEF \cong \triangle CDE$。
(2) $\triangle ABC$ 为等边三角形。

1. 证明$\triangle AEF\cong\triangle CDE$：
已知$AE = CD$，$AB = AE$，$BF = AC$，则$FA=EA + BF=AB + AC$，$CD = AB$，$EC=EA + AC=AB + AC$，所以$FA = EC$。
因为$\triangle DEF$是等边三角形，所以$EF = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle CDE$中：
$\left\{\begin{array}{l}AE = CD\\EF = DE\\FA = EC\end{array}\right.$（$SSS$判定定理：三边对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle AEF\cong\triangle CDE$。
2. 证明$\triangle ABC$为等边三角形：
由$\triangle AEF\cong\triangle CDE$，可得$\angle AEF=\angle CDE$。
因为$\angle DEC+\angle CDE = 60^{\circ}$（$\triangle DEF$是等边三角形，内角为$60^{\circ}$），所以$\angle DEC+\angle AEF = 60^{\circ}$。
则$\angle BCA=\angle DEC+\angle AEF = 60^{\circ}$（三角形外角性质：$\angle BCA$是$\triangle EAC$的外角，$\angle BCA=\angle DEC+\angle EAC$，这里$\angle EAC$与$\angle AEF$等角转换）。
同理可证$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$为等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形）。
综上，（1）已证$\triangle AEF\cong\triangle CDE$；（2）已证$\triangle ABC$为等边三角形。

1. 如图,在一个池塘两旁有一条笔直小路($B$,$C$ 为小路端点)和一棵小树($A$ 为小树位置)。测得的相关数据为 $\angle ABC = 60^{\circ}$,$\angle ACB = 60^{\circ}$,$BC = 48$ 米,则 $AC = $米。

48

在$\triangle ABC$中，
$\angle ABC = 60°$，$\angle ACB = 60°$，
$\angle BAC=180°-\angle ABC-\angle ACB=180° - 60° - 60°=60°$，
$\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC$，
$\triangle ABC$是等边三角形，
$AC=BC$，
$BC = 48$米，
$AC=48$米。
48

2. 如图,等边三角形纸片 $ABC$ 的边长为 $6$,$E$,$F$ 是边 $BC$ 上的三等分点。分别过点 $E$,$F$ 沿着平行于 $BA$,$CA$ 方向各剪一刀,则剪下的 $\triangle DEF$ 的周长是。

6

∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴∠B=∠C=60°，BC=6。
∵E，F是边BC上的三等分点，
∴BE=EF=FC=2。
∵DE//BA，
∴∠DEF=∠B=60°。
∵DF//CA，
∴∠DFE=∠C=60°。
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=60°。
∴△DEF是等边三角形。
∴△DEF的周长=3EF=3×2=6。
6

3. 如图,$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,若 $OA = OB$,$\angle A = 60^{\circ}$,且 $AB // CD$,求证：$\triangle OCD$ 是等边三角形。

证明:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B=60°.又
∵AB//DC,
∴∠A=∠C=60°,∠B=∠D=60°,
∴△OCD是等边三角形.

1. 等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.6条

C

2. 如图,直线 $l_1 //$ 直线 $l_2$,等边 $\triangle ABC$ 的顶点 $B$,$C$ 分别在 $l_1$,$l_2$ 上,当 $\angle 1 = 20^{\circ}$ 时,$\angle 2$ 的大小为()

A.$35^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

B

过点A作AD//l₁，交BC于点D。
∵l₁//l₂，AD//l₁，
∴AD//l₂。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵AD//l₁，
∴∠BAD=∠2。
∵AD//l₂，
∴∠CAD=∠1=20°。
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠2=∠BAC-∠CAD=60°-20°=40°。
B

3. 如图,以点 $O$ 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 $OA$ 交于点 $B$,再以点 $B$ 为圆心,$BO$ 的长为半径画弧,两弧交于点 $C$,画射线 $OC$,则 $\angle O$ 的度数为()

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

C

连接BC。
由作图可知，OB=OC，BC=BO，
故OB=OC=BC，
所以△OBC是等边三角形，
因此∠O=60°。
C

4. 在 $\triangle ABC$ 中,如果 $AB = AC$,$\angle A = \angle C$,那么 $\triangle ABC$ 的形状为。

等边三角形