5. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AD$ 是边 $BC$ 的高,则 $\angle BAD$ 的度数为。

30°

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
∵AD是边BC的高，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}×60°=30°$。
30°

6. 如图,$AD$ 是等边 $\triangle ABC$ 的中线,$AE = AD$,求 $\angle EDC$ 的度数。

解:
∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
∴∠ADC=90°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-\angle CAD}{2}$=75°,
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°.

7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // DC$,$DB$ 平分 $\angle ADC$,$\angle A = 60^{\circ}$。求证：$\triangle ABD$ 是等边三角形。

证明:
∵AB//DC,∠A=60°,
∴∠ADC=120°,
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°=∠A,
∴△ABD是等边三角形.

8. 下面给出的几种三角形：①有两个角为 $60^{\circ}$ 的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为 $60^{\circ}$ 的等腰三角形。其中是等边三角形的有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

①两个角为$60°$，第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个角都为$60°$，是等边三角形；
②三个外角都相等，则三个内角都相等，每个内角为$60°$，是等边三角形；
③一边上的高也是这边上中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形；
④有一个角为$60°$的等腰三角形，若顶角为$60°$，底角为$(180°-60°)÷2=60°$；若底角为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，三个角都为$60°$，是等边三角形。
综上，①②④是等边三角形，共3个。
B

9. 等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是。

120°

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 120^{\circ}$,$CD$ 平分 $\angle ACB$,$AE // DC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$,试说明 $\triangle ACE$ 是等边三角形。

解:
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°,
∴∠1=∠2=60°.
∵AE//DC,
∴∠3=∠2=60°,∠E=∠1=60°,
∴∠3=∠4=∠E=60°,
∴△ACE是等边三角形.

11. 如图,$O$ 是等边 $\triangle ABC$ 内一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,$\angle BOC = \alpha$。以 $OC$ 为一边作等边三角形 $OCD$,连接 $AD$。
(1) 当 $\alpha = 150^{\circ}$ 时,试判断 $\triangle AOD$ 的形状,并说明理由。
(2) 探究：当 $\alpha$ 为多少度时,$\triangle AOD$ 是等腰三角形？

解:
(1)△AOD是直角三角形，理由如下:
∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD.而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC.
∵∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD.在△BOC与△ADC中，
∵OC=CD,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,而∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°−60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(2)由题意得∠AOD=360°−110°−α−60°=190°−α.
∵△ADC≌△BOC,
∴∠ADC=∠BOC=α,
∴∠ADO=α−60°.
∵∠CBO=∠CAD,
∴∠OAD=∠OAC+∠OBC=120°−(∠BAO+∠ABO)=120°−(180°−∠AOB)=50°.①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°−α=α−60°,
∴α=125°;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α−60°=50°,
∴α=110°;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°−α=50°,
∴α=140°.综上所述，当α为110°,125°,140°时，△AOD 是等腰三角形.