1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为()
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm

B

在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
已知30°角所对的直角边为2 cm，设斜边为$c$，则$c = 2×2 = 4$ cm。
B

2. 如图,这是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB= 8米,∠A= 30°,则DE的长为()

A.4米
B.3米
C.2米
D.1米

C

∵BC⊥AC，∠A=30°，AB=8米，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$米。
∵D是AB中点，DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4=2$米。
C

3. 如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B= 30°,CD⊥AB,垂足为D,若AD= 1,则AC的长为。

2

在△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，则∠A=60°。
CD⊥AB，故∠ADC=90°，∠ACD=30°。
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1，
则AC=2AD=2×1=2。
2

题型1 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,BD= 5,则DC的长为。

1. 首先，连接$AD$：
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AD = BD$。
已知$BD = 5$，则$AD = BD = 5$，所以$\angle B=\angle BAD$。
2. 然后，求$\angle B$的度数：
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）。
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
那么$\angle BAD=\angle B = 30^{\circ}$。
3. 接着，求$\angle CAD$的度数：
$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD$，将$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle BAD = 30^{\circ}$代入可得$\angle CAD=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
4. 最后，求$DC$的长度：
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C = 30^{\circ}$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，即$AD=\frac{1}{2}DC$（这里$AD$是$30^{\circ}$角$\angle C$所对的直角边，$DC$是斜边）。
已知$AD = 5$，由$DC = 2AD$，可得$DC = 10$。
故答案为$10$。

题型2 如图,一艘轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险？说说你的理由。

方法归纳交流 当题目中有15°的角出现时,常构造______三角形解决问题。

1. 首先，求$\angle PAB$，$\angle PBC$，$\angle APB$的度数：
已知在$A$处测得小岛$P$在北偏西$15^{\circ}$的方向上，所以$\angle PAB = 15^{\circ}$；在$B$处测得小岛$P$在北偏西$30^{\circ}$的方向上，所以$\angle PBC = 30^{\circ}$。
根据三角形外角性质$\angle PBC=\angle PAB + \angle APB$，则$\angle APB=\angle PBC-\angle PAB$。
把$\angle PAB = 15^{\circ}$，$\angle PBC = 30^{\circ}$代入可得$\angle APB=30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}$。
2. 然后，根据等角对等边得出$AB = BP$：
因为$\angle PAB=\angle APB = 15^{\circ}$，所以$\triangle ABP$是等腰三角形，$AB = BP$。
已知轮船速度$v = 15$海里/时，航行时间$t = 2$小时，根据$s=vt$，可得$AB=15×2 = 30$海里，所以$BP = 30$海里。
3. 接着，过$P$作$PC\perp AB$于$C$：
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle PBC = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边是斜边的一半，设$PC = x$海里，则$BP = 2x$海里。
根据正弦函数定义$\sin\angle PBC=\frac{PC}{BP}$，在$Rt\triangle BPC$中，$\sin30^{\circ}=\frac{PC}{BP}$，因为$BP = 30$海里，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$PC=\frac{1}{2}BP$。
把$BP = 30$代入得$PC=\frac{1}{2}×30 = 15$海里。
4. 最后，判断是否触礁：
因为$15\lt18$。
解：轮船有触礁的危险。
理由：过$P$作$PC\perp AB$于$C$。
由题意得$\angle PAB = 15^{\circ}$，$\angle PBC = 30^{\circ}$，所以$\angle APB=\angle PBC - \angle PAB=30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}$，则$AB = BP$。
因为$AB = 15×2 = 30$海里，所以$BP = 30$海里。
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle PBC = 30^{\circ}$，根据$\sin\angle PBC=\frac{PC}{BP}$（$\angle PBC = 30^{\circ}$，$BP = 30$海里），$PC=\frac{1}{2}BP$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半），$PC = 15$海里。
又因为$15\lt18$，所以轮船有触礁的危险。
方法归纳交流：当题目中有$15^{\circ}$的角出现时，常构造等腰三角形（或含$30^{\circ}$角的直角三角形）解决问题。

题型3 如图,∠BAC= 30°,AG平分∠BAC,D为AG上一点,DE⊥AC于E,DF//AC,交AB于F。若DH⊥AB于H,DF= 10 cm,求DE的长。

1. 首先，利用角平分线的性质和已知角的度数：
因为$AG$平分$\angle BAC$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$\angle FAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 15^{\circ}$。
又因为$DF// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle ADF=\angle CAD$。
所以$\angle ADF = 15^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle DFH$的度数：
根据三角形外角性质，$\angle DFH=\angle FAD+\angle ADF$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
把$\angle FAD = 15^{\circ}$，$\angle ADF = 15^{\circ}$代入，得$\angle DFH=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 接着，在$Rt\triangle DFH$中：
因为$DH\perp AB$，在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，已知$DF = 10cm$，所以$DH=\frac{1}{2}DF$。
则$DH=\frac{1}{2}×10 = 5cm$。
4. 最后，利用角平分线的性质：
因为$AG$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AC$，$DH\perp AB$，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以$DE = DH$。
所以$DE$的长为$5cm$。