【例题1】二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0, a, b, c是常数)中自变量x与函数y$的对应值如下表所示。
| $x$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
| $y$ | $-2$ | $-\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{7}{4}$ | $2$ | $\frac{7}{4}$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $-2$ |
(1)判断该二次函数图象的开口方向,并指出它的顶点。
(2)一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0, a, b, c是常数)的两个根x_1, x_2$的取值范围是下列选项中的()。
A. $-\frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ 0, \frac{3}{2} ＜ x_2 ＜ 2$
B. $-1 ＜ x_1 ＜ -\frac{1}{2}, 2 ＜ x_2 ＜ \frac{5}{2}$
C. $-\frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ 0, 2 ＜ x_2 ＜ \frac{5}{2}$
D. $-1 ＜ x_1 ＜ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ＜ x_2 ＜ 2$
思路导引 (1)首先根据二次函数图象的对称性来确定对称轴,再判断开口方向和顶点。
(2)方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0, a, b, c是常数)的两个根x_1, x_2是函数y = ax^2 + bx + c当y = 0时x$的值。
解：(1)该二次函数图象的开口向下,顶点是$(1, 2)$。
(2)C。

思路导引 (1)首先根据二次函数图象的对称性来确定对称轴,再判断开口方向和顶点。
(2)方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0, a, b, c是常数)的两个根x_1, x_2是函数y = ax^2 + bx + c当y = 0时x$的值。
解：(1)该二次函数图象的开口向下,顶点是$(1, 2)$。
(2)C。

【例题2】已知抛物线$y = x^2 + (2k + 1)x - k^2 + k$,完成下列各题。
(1)求证：此抛物线与$x$轴有两个不同的交点。
(2)当$k = 0$时,求此抛物线与$x$轴的交点。

思路导引 (1)要证明此抛物线与$x$轴有两个不同的交点,只要证明方程$x^2 + (2k + 1)x - k^2 + k = 0$有两个不相等的实数根即可。
(2)通过列方程求解即可。
(1)证明：$\because \Delta = b^2 - 4ac = (2k + 1)^2 - 4 × (-k^2 + k) = 8k^2 + 1 ＞ 0$,
$\therefore方程x^2 + (2k + 1)x - k^2 + k = 0$有两个不相等的实数根。
$\therefore此抛物线与x$轴有两个不同的交点。
(2)解：当$k = 0$时,原抛物线为$y = x^2 + x$。
由$y = 0$,得$x^2 + x = 0$。解得$x_1 = 0, x_2 = -1$。
$\therefore此抛物线与x轴的交点为(0, 0), (-1, 0)$。