【例题3】已知抛物线$y = -x^2 + 4x - 3与x轴交于A, B$两点(点$A在点B$的左侧),顶点为$P$。
(1)求$A, B, P$三点的坐标。

(2)在如图所示的直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当$x$取何值时,函数值$y ＞ 0$。
(3)确定此抛物线与直线$y = -2x + 6$的公共点的个数,并说明理由。

解：(1)令$y = 0$,解方程$-x^2 + 4x - 3 = 0$,得$x_1 = 1, x_2 = 3$,则点$A的坐标为(1, 0)$,点$B的坐标为(3, 0)$。将$y = -x^2 + 4x - 3$配方,得$y = -(x - 2)^2 + 1$,得顶点$P的坐标为(2, 1)$。

(2)如图,当$1 ＜ x ＜ 3$时,$y ＞ 0$。
(3)由题意,得$\begin{cases}y = -x^2 + 4x - 3 \\ y = -2x + 6\end{cases} $
消元,得$x^2 - 6x + 9 = 0$。
$\because \Delta = 0$,$\therefore$方程的两根相等。
$\therefore此抛物线与直线y = -2x + 6$只有一个公共点。

1. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的部分图象如图所示,则关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0$的解为()。

A.$x_1 = -4, x_2 = 2$
B.$x_1 = -3, x_2 = -1$
C.$x_1 = -4, x_2 = -2$
D.$x_1 = -2, x_2 = 2$

【解析】：
从题目给出的二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象可以看到，该函数图象与$x$轴的一个交点为$(2,0)$，且对称轴为直线$x=-1$。
根据二次函数图象的对称性，知道二次函数图象关于对称轴对称。
因此，可以通过已知交点$(2,0)$和对称轴$x=-1$来找到另一个交点。
设另一个交点的横坐标为$x$，由于对称轴为$x=-1$，且已知一个交点为$(2,0)$，那么有$\frac{2+x}{2}=-1$。
解这个方程，得到$x=-4$。
所以，二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点分别为$(-4,0)$和$(2,0)$。
因此，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是这两个交点的横坐标，即$x_1=-4$，$x_2=2$。
【答案】：
A.$x_1=-4$，$x_2=2$。

2. 抛物线$y = x^2 + 3x - 1与x$轴交点的情况是()。
A.有三个交点
B.没有交点
C.有一个交点
D.有两个交点

【解析】：
本题主要考察二次函数与$x$轴交点的情况，这可以通过考察对应的一元二次方程的根的情况来确定。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其与$x$轴的交点即为一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
根据判别式的定义，$\Delta = b^2 - 4ac$。
将给定的二次函数$y = x^2 + 3x - 1$的系数代入判别式，得到：
$\Delta = 3^2 - 4 × 1 × (-1) = 9 + 4 = 13$
由于$\Delta ＞ 0$，根据一元二次方程的根的判别法则，方程$x^2 + 3x - 1 = 0$有两个不相等的实数根。
因此，抛物线$y = x^2 + 3x - 1$与$x$轴有两个交点。
【答案】：
D. 有两个交点。

3. 方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的两根为-3和1$,那么抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的对称轴为。

【解析】：
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，特别是二次函数的对称轴与其对应的一元二次方程的根之间的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根的和为 $-\frac{b}{a}$。
由题意知，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根为 -3 和 1，所以两根之和为 $-3 + 1 = -2$。
因此，有 $-\frac{b}{a} = -2$。
但在此题中，我们主要关心的是抛物线的对称轴。
对于抛物线 $y = ax^2 + bx + c$，其对称轴的方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
由于 $-\frac{b}{a} = -2$，我们可以得到 $-\frac{b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$。
所以，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = -1$。
【答案】：
直线 $x = -1$

4. 解一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$,并直接写出二次函数$y = x^2 - 2x - 8的图象与x$轴的交点坐标。

【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法以及二次函数与$x$轴交点的求解。
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，可以通过因式分解或者求根公式来求解。
这里，选择因式分解法，将方程$x^2 - 2x - 8 = 0$因式分解为$(x-4)(x+2)=0$，
从而得到方程的解。
对于二次函数$y = x^2 - 2x - 8$与$x$轴的交点，即求解方程$x^2 - 2x - 8 = 0$的根，
因为当$y=0$时，二次函数与$x$轴相交，此时的$x$值即为交点的横坐标。
【答案】：
解：
对于方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得：$(x-4)(x+2)=0$，
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
因此，二次函数$y = x^2 - 2x - 8$的图象与$x$轴的交点坐标为：$(4,0)$和$(-2,0)$。