1. 如图是二次函数$y = x^2 - x - 2$的图象,则当函数值$y ＜ 0$时,$x$的取值范围是()。

A.$x ＜ -1$
B.$x ＞ 2$
C.$x ＜ -1或x ＞ 2$
D.$-1 ＜ x ＜ 2$

【解析】：
首先，需要找到二次函数$y = x^2 - x - 2$与$x$轴的交点，即解方程$x^2 - x - 2 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来解。
这里，选择因式分解的方法：
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0$，
解得$x = 2$或$x = -1$。
这两个解就是二次函数与$x$轴的交点的横坐标。
接下来，根据二次函数的性质，知道函数在$x$轴上方的部分对应的$y$值大于0，在$x$轴下方的部分对应的$y$值小于0。
因此，要使$y ＜ 0$，$x$的取值范围应该在两个交点之间，即$-1 ＜ x ＜ 2$。
【答案】：D. $-1 ＜ x ＜ 2$。

2. 抛物线$y = -x^2 + 2kx + 2与x$轴的交点有()。
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.以上三项都不对

解：令$y = 0$，则方程为$-x^2 + 2kx + 2 = 0$，整理得$x^2 - 2kx - 2 = 0$。
计算判别式$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(-2) = 4k^2 + 8$。
因为$k^2 \geq 0$，所以$4k^2 + 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，抛物线与$x$轴有2个交点。
答案：C

3. 已知二次函数$y = x^2 - 2x - 3的图象与x轴的两交点为A, B$(点$A在点B$的左侧),则点$A$的坐标为,点$B$的坐标为。

解：令$y = 0$，则$x^2 - 2x - 3 = 0$。
因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$。
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
因为点$A$在点$B$的左侧，所以点$A$的坐标为$(-1, 0)$，点$B$的坐标为$(3, 0)$。
$(-1, 0)$；$(3, 0)$

4. 已知抛物线$y = ax^2 + x + c与x轴交点的横坐标为-1$,则$a + c = $。

解：因为抛物线$y = ax^2 + x + c$与$x$轴交点的横坐标为$-1$，所以当$x=-1$时，$y=0$。
将$x=-1$，$y=0$代入抛物线方程得：$a×(-1)^2 + (-1) + c = 0$，即$a - 1 + c = 0$，所以$a + c = 1$。
1
答案：$1$

5. 二次函数$y = kx^2 - 7x - 7的图象与x$轴有两个交点,则$k$的取值范围为。

解：二次函数$y = kx^2 - 7x - 7$的图象与$x$轴有两个交点，
则对应的一元二次方程$kx^2 - 7x - 7 = 0$有两个不相等的实数根。
所以需满足：
1. $k \neq 0$（保证是二次函数）；
2. $\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) ＞ 0$，
即$49 + 28k ＞ 0$，
$28k ＞ -49$，
$k ＞ -\frac{7}{4}$。
综上，$k$的取值范围为$k ＞ -\frac{7}{4}$且$k \neq 0$。
$k ＞ -\frac{7}{4}$且$k \neq 0$

6. 如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)的对称轴为直线x = 1$,与$x轴的一个交点坐标为(-1, 0)$,其部分图象如图所示。

下列结论：①$4ac ＜ b^2$；②$2a + b = 0$；③方程$ax^2 + bx + c = 0的两个根是x_1 = -1, x_2 = -3$；④$3a + c ＞ 0$；⑤当$x ＜ 0$时,$y随x$的增大而增大。
其中正确的结论是______。(填序号)

【解析】：本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系。
①：抛物线与$x$轴有两个交点，这意味着对应的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的判别式$\Delta=b^2 - 4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根，所以$b^2 - 4ac\gt0$，即$4ac\lt b^2$，故①正确。
②：对于二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
已知对称轴为直线$x = 1$，则$-\frac{b}{2a}=1$，两边同时乘以$2a$可得$b = - 2a$，移项得到$2a + b = 0$，故②正确。
③：已知抛物线的对称轴为直线$x = 1$，与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$。
根据抛物线的对称性，设另一个交点坐标为$(x_2,0)$，则$\frac{-1 + x_2}{2}=1$，解方程可得$x_2 = 3$。
所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根是$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，而不是$x_2 = -3$，故③错误。
④：由抛物线过点$(-1,0)$，将$x = -1$，$y = 0$代入$y = ax^2 + bx + c$中，可得$a - b + c = 0$。
又因为$b = - 2a$，将$b = - 2a$代入$a - b + c = 0$中，得到$a - (-2a) + c = 0$，即$3a + c = 0$，而不是$3a + c\gt0$，故④错误。
⑤：由抛物线开口向下（因为图象有最高点），对称轴为直线$x = 1$，根据二次函数的增减性可知，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，即当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大。
那么当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大，故⑤正确。
【答案】：①②⑤

7. 已知抛物线$y = x^2 + 4x + k - 1$。
(1)若抛物线与$x$轴有两个不同的交点,求$k$的取值范围。
(2)若抛物线的顶点在$x$轴上,求$k$的值。

(1)解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴方程$x^2 + 4x + k - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = 4^2 - 4×1×(k - 1) ＞ 0$，
$16 - 4k + 4 ＞ 0$，
$-4k ＞ -20$，
$k ＜ 5$。
(2)解：$y = x^2 + 4x + k - 1 = (x + 2)^2 + k - 5$，
∴顶点坐标为$(-2, k - 5)$，
∵顶点在x轴上，
∴$k - 5 = 0$，
$k = 5$。

8. 已知抛物线$y = 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3$。
(1)当$k$为何值时,抛物线与$x$轴有两个交点？
(2)当$k$为何值时,抛物线与$x$轴有唯一的交点？
(3)当$k$为何值时,抛物线与$x$轴没有交点？

【解析】：
本题主要考察二次函数与一元二次方程的关系，特别是判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的应用。
对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴的交点，即解方程$ax^2 + bx + c = 0$，其解的个数由判别式$\Delta$决定。
(1) 当抛物线与$x$轴有两个交点时，判别式$\Delta ＞ 0$。
(2) 当抛物线与$x$轴有唯一的交点时，判别式$\Delta = 0$。
(3) 当抛物线与$x$轴没有交点时，判别式$\Delta ＜ 0$。
对于给定的抛物线$y = 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3$，其对应的$a = 2(k + 1)$，$b = 4k$，$c = 2k - 3$。
首先，由于$a = 2(k + 1)$，我们需要保证$k \neq -1$，否则抛物线将退化为一条直线。
接下来，我们计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (4k)^2 - 4 × 2(k + 1) × (2k - 3) = 16k^2 - 16(k^2 - k - 3) = 16(k + 3)$
(1) 当$\Delta ＞ 0$时，即$16(k + 3) ＞ 0$，解得$k ＞ -3$且$k \neq -1$。
(2) 当$\Delta = 0$时，即$16(k + 3) = 0$，解得$k = -3$。
(3) 当$\Delta ＜ 0$时，即$16(k + 3) ＜ 0$，解得$k ＜ -3$。
【答案】：
(1) 当$k ＞ -3$且$k \neq -1$时，抛物线与$x$轴有两个交点。
(2) 当$k = -3$时，抛物线与$x$轴有唯一的交点。
(3) 当$k ＜ -3$时，抛物线与$x$轴没有交点。